b) X. 4- 3- 2- 1- Examen Nat Sc Eco 2018 Session normale Sujet de maths

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896

Examen Nat Sc Eco 2018 Session normale Sujet de maths

Exercice 1(4,5 pts)

On considère la suite numérique

 

Un définie par :

 

0

1

3 2

+5

 3

 



  

 ⁿ ⁿ U

U U n IN

1-

Calculer U et ₁ U ₂

2-

a) Montrer par récurrence que :



^{ }n IN



^{; U}n ^¹⁵ . b) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



1

1 5

   3 

n n n

U U U

c) Vérifier que pour tout nIN ; ¹ 5 0

3U_n 

d) Déduire que la suite

 

Un est croissante et qu’elle est convergente

3-

On pose : V_n U_n15 ; pour tout nIN . a) Montrer que pour tout nIN ; ₁ ²

  3

n n

V V .

b) Calculer son premier terme V₀ ; puis montrer que: 2 ( 12)

3

     

n

Vn ; pour tout nIN.

4-

a) Calculer U en fonction de n. _n b) Calculer lim

 n

n U .

Exercice 2 : (4 pts) (Donner tous les résultats sous forme de fractions)

Un Sac contient huit boules (indiscernables au toucher): trois boules Rouges ; trois boules Blanches et deux boules Vertes . .

On tire de façon aléatoire simultanément trois boules du Sac . On considère les événements suivants :

A «Les trois boules tirées sont Blanches »

B «Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux » C «Aucune boule tirées Blanche n’est parmi le tirage »

1- a) Montrer que :   1

56 P A b) Calculer P B  etP C  .

2- Soit X la variable aléatoire liée au nombre de boules Blanches tirées.

a) Recopier puis compléter le tableau ci-dessous en justifiant vos réponses :

xi 0 1 2 3

( _i)

P Xx

b)

Calculer l’espérance mathématique

E(X)

de la variable aléatoire

X.

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Problème : (11,5 pts)

On considère la fonction numérique f définie sur



^0;



^{par :} ^{f x}^{( )} ^x ¹ ^ln^x

  x ;et soit

 

Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé



O i j; ;



^.

1- Calculer  

0

lim

x _ f x

 ; Puis donner une interprétation géométrique à ce résultat.

2- a) Calculer lim  

x_ f x . b) Montrer que :  

lim 1

x

f x

 x  . c) Calculer ^lim



 



x_ f x x ; Puis donner une interprétation géométrique à ce résultat.

3- a) Montrer que : f x( ) 1 ¹ ¹₂ x x

    ; pour toutx0 .

b) Calculer f(1); puis dresser le tableau de variation de f sur



^0;



^.

c) Déduire le signe de f x( )sur chacun des intervalles

 

^0;1 ^et



^1;^



^.

d) Déterminer l’équation de la tangente ( )T à

 

Cf au point d’abscisse1.

4- Dans la figure ci-dessous

 

Cf est la courbe représentative de la fonction f dans le repère



O i j; ;



. a) En utilisant une intégration par partie montrer que :

1^eln( )x dx1



b) Montrer que l’aire de la partie hachurée dans la figure est égale à ¹( ² 1) .

2 e  u a (u a. est unité de mesure de la surface).