Universit´e A. Mira de B´ejaia Facult´e de la Technologie D´epartement ST 2
23 septembre 2012
Examen de rattrapage de Maths 3
Exercice 1 : (4 points)
Etudier la nature de chacune des s´eries suivantes :
a)
∑∞ n=0
n+ 1
2n+ 1 b)
∑∞ n=0
2n n!
c)
∑∞ n=0
n2+ 1
n5 + 2n+ 3 d)
∑∞ n=1
(−1)n
√n .
Exercice 2 : (4 points)
En utilisant les d´eveloppements limit´es, ´etudier la nature de la s´erie num´erique suivante :
∑∞ n=1
e
(−1)n
√n −e−
(−1)n
√n
2
.
Rappels : Le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0, `a l’ordre 3, de la fonction x 7→ ex est donn´e par :
ex = 1 +x+x2 2 + x3
6 +o(x3),
o`u o(x3) s’´ecrit aussi sous la forme x3ε(x), avec ε(x)→0 quandx→0.
Exercice 3 : (8 points)
Pour tout n∈N∗ et tout x∈[1,+∞[, soit :
fn(x) = logx nxn.
1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn)n sur [1,+∞[.
2. Pour tout n∈N∗, ´etudier les variations de la fonction fn.
3. En d´eduire la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn)n sur [1,+∞[.
4. Soit
S(x) =
∑∞ n=1
fn(x).
— Montrer que S est continue sur [1,+∞[.
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Exercice 4 : (4 points) - choisir entre 1. et 2.
1.
Consid´erons la s´erie num´erique :∑∞ n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3).
(a) D´eterminer deux nombres r´eels a etb pour que l’on ait : 1
n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) = a
n(n+ 1)(n+ 2) + b
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3). (b) Utiliser cette derni`ere identit´e pour calculer la somme partielle :
Sn =
∑n k=1
1
k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3).
(c) En d´eduire la convergence de la s´erie propos´ee tout en pr´ecisant sa somme.
2.
Consid´erons la s´erie enti`ere :S(x) =
∑∞ n=0
xn n+ 1.
(a) D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere.
(b) D´eterminer le domaine de convergence de cette s´erie enti`ere.
(c) Calculer la sommeS(x).
BONNE CHANCE
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