MVA912 - Examen de rattrapage - Année 2020 1/2
Année 2020 http ://maths.cnam.fr D´epartement IMATH
MVA912 - Examen de rattrapage
Samedi 2 0 j u i n 2020 Durée de l'épreuve : 2 heures
à rendre dans les 15 minutes suivant la fin de l'épreuve par mail à rodolphe.touze@lecnam.net
Important : Remplissez l’en-tˆete de toutes vos pages selon le mod`ele suivant :
MVA912 Examen de rattrapage
Votre nom et pr´enom : . . . Votre n◦ de carte CNAM : . . . Votre groupe d’ED : . . . (jour, heure, salle ) Nom de l’enseignant : R. Touzé
𝑷𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆𝒔 𝟏 𝒆𝒕 𝟐∶
𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛,𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡é,é𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑥 𝑏𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑢 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑′é𝑡𝑢𝑑𝑒,
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é,𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒𝑠,𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é,𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒,𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡, 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠,𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡é/𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑡é/𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑′𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛,𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠,𝑡𝑟𝑎𝑐é 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒.
Exercice 1 ( 4 p o i n t s )
𝐸𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙è𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥)=𝑙𝑛 𝑥!−1
Exercice 2 ( 4 p o i n t s )
𝐸𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙è𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑓 𝑥 =𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥!
Exercice 3 ( 4 p o i n t s )
1°) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝐾= 1
𝑥(𝑥−1)!(𝑥−2)
!!
!!
𝑑𝑥 2°) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝐿= 𝑐𝑜𝑠!𝑥
!
!
!
𝑑𝑥
3°) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑀= 𝑥𝑒!
!"(!)
! 𝑑𝑥
MVA912 - Examen de rattrapage - Année 2020 2/2
Exercice 4 ( 3 p o i n t s )
1°) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝐼= 1
𝑥(𝑥−1)!(𝑥!+1)𝑑𝑥
2°) Résoudre l’équation 𝐸 ∶𝑦!=!(!!!)! !(!!!!)𝑦
Exercice 5 ( 3 p o i n t s )
1°) Calculer le module et l'argument des nombres complexes 𝑧!,𝑧! 𝑒𝑡 𝑍 avec : 𝑧! =−1−𝑖, 𝑧! =− 3+𝑖, 𝑍 =𝑧!
𝑧! 2°) 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℂ,𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛∶𝑧! = 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍 =𝑧!
𝑧!
Exercice 6 ( 6 p o i n t s )
1°) 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℝ∗,𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐸! ∶ 𝑦!+1 𝑥𝑦= 2
𝑥! 2°) 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℝ,𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐸! ∶ 𝑦!!+2𝑦!+𝑦=𝑒!!
3°) 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑟 ℝ,𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐸! ∶ 𝑦!!−3𝑦!+2𝑦=2sinh 𝑡 +𝑡−𝑠𝑖𝑛(𝑡)
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