CY Cergy Paris Université Algèbre linéaire, bilinéaire et intégration
Licence 2 MIPI 2020-2021
Examen de rattrapage
La durée de cet examen est de une heure et trente minutes. Les trois exercices sont indé- pendants. L’usage des calculatrices ainsi que de tout autre appareil électronique est interdit.
Questions de cours.(3 points)
1. Donner la définition d’une forme quadratiqueQsur unR-espace vectorielEde dimension finie.
2. Soitg∈ C0([0,+∞[,R). Donner la définition de la convergence de l’intégrale généralisée
∫+∞
0 g(x)dx.
3. Soit h :R×[0,1] → R. Donner une condition suffisante sur la fonction h pour que la fonctionH :x7→H(x) =∫1
0 h(x, y)dy soit bien définie et continue sur R. Exercice 1.(6 points)
Considérons l’espace vectorielR3 muni de son produit scalaire canoniquehx, yi=x1y1+ x2y2+x3y3, et intéressons-nous à la matrice
A=
2 −2 0
−2 3 −2 0 −2 4
.
1.a. Déterminer une base orthonormée du noyau de la matriceA.
b. La matriceA est-elle inversible ?
2.a. Calculer le polynôme caractéristiquePA de la matrice A.
b. En déduire que la matriceA a trois valeurs propres réellesλ1,λ2 etλ3. c. La matriceA est-elle diagonalisable ?
3.a. Déterminer des bases orthonormées de chacun des espaces propres de la matriceA.
b. En déduire une matrice inversibleP telle que P−1AP =
λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3
.
c. Calculer l’inverseP−1 de la matrice P.
Exercice 2.(4 points)
Considérons la forme bilinéaire définie sur l’espace vectorielR3 par
B(x, y) =x1y1+ 5x2y2−x3y3−x1y2−x2y1+x1y3+x3y1−3x2y3−3x3y2. 1.a. Écrire la matrice M de la forme bilinéaire B dans la base canonique B = (e1, e2, e3) deR3.
1
b. La forme bilinéaireB est-elle symétrique ?
2.a. À l’aide de la méthode de réduction de Gauss, déterminer la signature de la forme quadratiqueQassociée à la forme bilinéaireB.
b. Quel est le rang de la forme quadratiqueQ?
c. La forme bilinéaireB est-elle un produit scalaire sur R3? 3.a. Soit
˜
e1 =e1, ˜e2 = e1+e2
2 et e˜3= e1−e2−2e3 2√
3 .
Vérifier que la familleB˜= (˜e1,˜e2,˜e3) est une base deR3. b. Écrire la matriceM˜ de la forme bilinéaireB dans la base B.˜ Exercice 3.(7 points)
Soit
∀x >0, f(x) = sin(√ x) x+ sin(x) +ex−1. 1.a. Vérifier que
∀x >0, x+ sin(x)>0 et ex−1>0.
b. La fonctionf est-elle bien définie sur ]0,+∞[? Est-elle continue sur ]0,+∞[? 2.a. Montrer que
f(x) ∼
x→0
1 3√
x. b. L’intégrale généralisée∫2
0 f(x)dx est-elle convergente ? 3.a. Vérifier que
∀x≥2, x+ sin(x)≥1.
b. En déduire que
∀x≥2, |f(x)| ≤e−x. c. L’intégrale généralisée∫+∞
2 f(x)dxest-elle convergente ? d. L’intégrale généralisée∫+∞
0 f(x)dxest-elle convergente ?
2
