Corrig´ e S´ erie 12 - Chocs et collisions

Physique avancée I 28 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet

Corrig´ e S´ erie 12 - Chocs et collisions

1. Paintball

a) On utilise la seconde loi de Newton : m₁a= ΣF^ext =−ηv.

En projetant sur l’axe horizontal, on obtient m₁x¨=−ηx, ce qui revient `˙ a ´ecrire :

m₁v˙ =−ηv (1)

On r´esoud cette ´equation diff´erentielle de la fa¸con suivante : m₁dv

dt =−ηv =⇒ dv

v =− η m₁dt Z v(t)

v1

dv v =

Z t 0

− η m₁dt lnv(t)

v₁ =− η m₁t v(t)

v₁ = exp

− η m₁t

(2)

Et finalement :

v(t) = v₁exp

− η m₁t

(3) b) On int`egre une fois la vitesse pour d´eterminer la position en fonction du temps (´equation

horaire) : Z x(t)

x0

dx= Z t

0

v(t⁰)dt⁰ = Z t

0

v1exp

− η m₁t⁰

dt⁰ =−v1

m₁ η exp

− η m₁t

+v1

m₁

η (4) Ce qui donne x(t) en consid´erant x₀ = 0 :

x(t) = −v1

m₁ η exp

− η m₁t

+v1

m₁

η (5)

On voit que la limite de cette expression, correspondant `a la port´ee maximale, tend vers : x_max = lim

t→∞x(t) = lim

t→∞

−v₁m1

η e⁻

η m1t

+v₁m1

η

=v₁m1

η (6)

c) On cherche maintenant le temps n´ecessaire pour parcourir la distance dsuppos´ee inf´erieure

`

a v₁^m_η¹, afin de l’injecter dans l’expression de la vitesse : d=x(t₂) =−v₁m1

η e⁻

η m1t2

+v₁m1

η e^−mη1t2 =v₁^m_η¹ −d

v₁^m_η¹ = 1− ηd m₁v₁ t₂ =− m₁

η ln

1− ηd m1v1

(7)

Puis on l’injecte dans l’expression de la vitesse (3) : v(t₂) =v₂ =v₁exp

− η m₁t₂

=v₁exp η

m₁ m₁

η ln

1− ηd m₁v₁

=v₁

1− ηd m₁v₁

=v₁−ηd m₁ (8)

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d) i) Choc mou; on a donc conservation de la quantit´e de mouvement, mais pas de l’´energie.

La vitesse v⁰ de l’ensemble cible et bille ´eclat´ee est donn´ee par : m₁v₂ = (m₁ +M₂)v⁰ =⇒ v⁰ = m₁v₂

m1+M2

(9) Pour calculer l’amplitude A des oscillations, on peut utiliser la conservation de l’´energie :

1

2(m₁+M₂)v⁰² = 1 2kA² 1

2(m₁+M₂)

m₁v₂ m₁+M₂

2

= 1 2kA²

(10)

Et donc :

A= m₁v₂

pk(m₁+M₂) = m₁

v₁− ηd m₁

pk(m₁+M₂) (11) Pour d´eterminer la pulsation, posons l’´equation de Newton : m_tota= ΣF.

(m₁+M₂)¨x=−kx =⇒ x¨+ k

m₁+M₂x= 0 (12) On identife ainsi la pulsation ω=

r k m₁+M₂.

ii) Choc ´elastique; il y a donc conservation de la quantit´e de mouvement et de l’´energie, respectivement :

m₁v₂ =m₁v₂⁰ +M₂v⁰ =⇒ v⁰₂ = m₁v₂−M₂v⁰ m1

1

2m₁v₂² = 1

2m₁v⁰²₂ +1

2M₂v⁰² =⇒ m₁v₂² =m₁

m₁v₂−M₂v⁰ m1

2

+M₂v⁰²

(13)

Apr`es quelques ´etapes alg´ebriques, on arrive `a l’expressions de v⁰ : v⁰ = 2v₂

M₂ m₁ + 1

= 2m₁v₂

m₁ +M₂ (14)

Pour calculer l’amplitude Ades oscillations, on peut `a nouveau invoquer la conservation de l’´energie :

1

2M₂v⁰² = 1

2kA² =⇒ A= rM₂

k v⁰ = rM₂

k

2m₁v₂ m1+M2

(15) Pour d´eterminer la pulsation des oscillations, on utilise comme pr´ec´edemment la seconde loi de Newton : m_tota= ΣF.

M₂x¨=−kx =⇒ x¨+ k M2

x= 0 (16)

Et on identifie finalement la pulsation ω = r k

M₂. 2. Lutte suisse

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a) Avant le choc on a : p₁ =m₁v₁ =m₁v₁e_x

p₂ =m₂v₂ =−m₂v₂(cosαe_x+ sinαe_y) (17) On a un choc mou, donc les deux lutteurs restent attach´es apr`es le choc et on a la conservation de la quantit´e de mouvement :

p₃ = (m₁+m₂)v₃ =p₁+p₂ (18) On en d´eduit la norme dev₃ :

v₃ = 1

m₁+m₂kp₁ +p₂k=

pp²₁+p²₂+ 2p₁·p₂ m₁+m₂ =

pm²₁v₁²+m²₂v²₂−2m₁m₂v₁v₂cosα

m₁+m₂ (19) Pour le calcul de l’angle, on a la formule suivante :

tanβ = v_3y v_3x = p_3y

p_3x = p_1y+p_2y

p_1x+p_2x =⇒ tanβ = −m₂v₂sinα m₁v₁−m₂v₂cosα

=⇒ β = arctan

m₂v₂sinα m₂v₂cosα−m₁v₁

(20)

b) Calcul de l’´energie dissip´ee pendant le choc. L’´energie cin´etique avant le choc s’´ecrit : E_cⁱ = 1

2m₁v₁²+1

2m₂v₂² (21)

Apr`es le choc :

E_c^f = 1

2(m₁+m₂)v₃² = m²₁v₁²+m²₂v₂²−2m₁m₂v₁v₂cosα

2(m₁+m₂) (22)

L’´energie dissip´ee s’´ecrit donc :

∆E_c=E_cⁱ−E_c^f = 1

2m₁v₁²+1

2m₂v²₂− m²₁v₁²+m²₂v₂²−2m₁m₂v₁v₂cosα

2(m1+m2) (23)

∆E_c= m1m2(v₁²+v²2 2v1v2cosα) 2(m₁+m₂) = 1

2µkv₁−v₂k² avecµ= m1m2

m₁ +m₂ (24) On remarque que l’´energie dissip´ee est maximale lorsque α = 0, c’est-`a-dire lorsqu’on a un choc frontal entre les deux lutteurs.

3. Retour en Terre du Milieu

Nous sommes ici dans le cas d’un choc mou, avec n´eanmoins une condition sur la vitesse finale du bac : celle-ci doit ˆetre horizontale. On utilisera donc la conservation de la composante horizontale de la quantit´e de mouvement pour r´esoudre cet exercice. L’´energie correspondant `a la composante verticale de la quantit´e de mouvement est dissip´ee par les remous de l’eau.

Pla¸cons un rep`ere cart´esien Oxy tel que l’axe Ox soit horizontal et dirig´e vers le large, et l’axeOy soit dirig´e vers le ciel. La quantit´e de mouvement totale avant le choc est :

P_tot = 3m₁v⁰ +m₂v⁰+M ·0 (25)

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+

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avec ||v||cosα = ||v⁰||cosα = vcosα car pour un mouvement balistique l’acc´el´eration est verticale et donc la composante horizontale de la vitesse est constante.

On projette selon e_x :

P_tot,x = 3m₁vcosα+m₂vcosα+ 0∼= 742.5m·kg·s⁻¹ (26) Apr`es le choc mou, la quantit´e de mouvement totale selon Ox, P⁰tot,x s’´ecrit :

P⁰_tot,x = (3m₁+m₂ +M)v_bac (27)

o`uv<sub>bac</sub> est la vitesse du bac apr`es le choc.

La quantit´e de mouvement totale selon Oxest conserv´ee : Ptot,x =P⁰tot,x

Et donc la vitesse du bac apr`es le choc vaut : v_bac= P⁰tot,x

(3m₁+m₂+M) = Ptot,x

(3m₁+m₂+M) = 3m1vcosα+m2vcosα (3m₁+m₂+M)

∼= 1.217 m·s⁻¹ (28) Que les hobbits sautent tous en mˆeme temps ou l’un apr`es l’autre ne change strictement rien au probl`eme.

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