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Niveau : Quatrième année sciences techniques

Cours X : Etude théorique des filtres RC et CR en régime sinusoïdal Professeur : Tawfik Baccari

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1) Amplitude et phase initiale de la tension de sortie du filtre

u = u = u − R i − u = 0

i = C

⟹ u + RC = u ; En régime sinusoïdal, u (t) = U sin(ωt + φ ) u (t) = U sin(ωt + φ )

⟹ U sin(ωt + φ ) + RCω U sin(ωt + φ +^π) = U sin(ωt + φ ) La résolution par la méthode de Fresnel donne :

Le théorème de Pythagore donne : U =

( ω) et tg φ − φ = RCω.

2) Transmittance et gain du filtre En régime sinusoïdal: T(N) = =

( ω) =

( π )

G(N) = 20 logT = −10 log(1 + (2πRCN) ) Exploitation :

⎆ ^ω→ = 1 et _{ω→ ∞} → 0

ω→ = 0 et _{ω→ ∞} → −∞ ⟹ le circuit RC est un filtre passif passe-bas de transmittance maximale unitaire (T = 1)

⎆ La représentation graphique de la courbe de réponse en transmittance (ou en gain) dépend du domaine des fréquences :

 Pour des valeurs faibles, on utilise une représentation linéaire

 Pour des fréquences élevées, on utilise un diagramme de Bode.

3) Expression de la fréquence de coupure et largeur de la bande passante a) A partir de l’expression de T(N)

T(N ) =

√ =

√ =

( π ) ⟹ (2πRCN) = 1 ⟹ N =

π . b) A partir de l’expression de G(N)

G(N ) = G − 3 dB = −3 dB ⟹ −3 = −10 log(1 + (2πRCN)²)⟹ log(1 + (2πRCN) ) = 0,3

⟹ 1 + (2πRCN) = 10 ^, ⟹ (2πRCN) = 10 ^, − 1⟹ (2πRCN) = 1 ⟹ N =

π .

⎆ La fréquence de coupure du filtre RC est une fréquence de coupure haute.

⎆ La largeur de la bande passante est ∆N = N_CH− N_CB= N_C− 0 = ¹

2πRC : la fréquence de coupure et la largeur de la bande passante diminue lorsque R ou C augmente.

NB : T(N) = =

( )

Niveau : Quatrième année sciences techniques

Cours X : Etude théorique des filtres RC et CR en régime sinusoïdal Professeur : Tawfik Baccari

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1) Amplitude et phase initiale de la tension de sortie du filtre

u = u = R i u − − u = 0 q(t) = ∫ u dt

⟹ u + ∫ u dt = u ; En régime sinusoïdal, u (t) = U sin(ωt + φ ) u (t) = U sin(ωt + φ )

⟹ U sin(ωt + φ ) +

ω U sin(ωt + φ −^π) = U sin(ωt + φ ) La résolution par la méthode de Fresnel donne :

Le théorème de Pythagore donne : U =

ω

et tg φ − φ =

ω. 2) Fonction de transfert et gain du filtre

En régime sinusoïdal:

T(N) = =

( _ω)

=

(_π )

G(N) = 20 logT = −10 log(1 + (

π ) )

Exploitation : ^ω→ = 0 et _{ω→ ∞} → 1

ω→ = −∞ et _{ω→ ∞} → 0 ⟹ le circuit RC est un filtre passif passe-haut de transmittance maximale unitaire (T = 1)

3) Expression de la fréquence de coupure et largeur de la bande passante a) A partir de l’expression de T(N)

T(N ) =

√ =

√ =

( π )

⟹ (π ) = 1 ⟹ N =

π . b) A partir de l’expression de G(N)

G(N ) = G − 3 dB = −3 dB ⟹ −3 = −10 log(1 + ( ¹

2πRCN)²)⟹ log(1 + (

π ) ) = 0,3 ⟹ 1 + (

π ) = 10 ^, ⟹ ( π ) = 1 ⟹ N =

π .

⎆ La fréquence de coupure du filtre RC est une fréquence de coupure basse.

⎆ La largeur de la bande passante est ∆N = |N_CH− N_CB| = ¹

2πRC : la fréquence de coupure et la largeur de la bande passante diminue lorsque R ou C augmente.

NB :

⎆ T(N) = =

( )

⎆ Un filtre RC et un filtre CR possèdent la même expression de fréquence de coupure.

GBF

M

E S

R C

Y Y

u = u u = u