2 Rappels sur les filtres d’ordre 1

Filtres passifs Rappels de cours

1 G´ en´ eralit´ es

Contrairement aux filtres actifs, les filtres passifs ne contiennent pas d’ampli-op.

Toute la compr´ehension des filtres est bas´ee sur les trois imp´edances complexes:

ZC = 1

jCω ZR=R ZL=jLω C comporte ω au d´enominateur, R n’a rien, et L comporteω au num´erateur.

Ainsi, `aT BF,|Z<sub>C</sub>|>>|Z<sub>R</sub>|>>|Z<sub>L</sub>| et `aT HF,|Z_C|<<|Z_R|<<|Z_L|. On en conclut : Un filtre passe-bas s’obtient aux bornes deCd’un circuit RC ouRLC

Un filtre passe-bas s’obtient aux bornes deR d’un circuitRL Un filtre passe-hauts’obtient aux bornes de Rd’un circuit RC.

Un filtre passe-hauts’obtient aux bornes de L d’un circuitRLou RLC Un filtre passe-bandes’obtient aux bornes de R d’un circuitRLC Les imp´edancescomplexesnous renseignent sur le d´ephasage.

ZC est proportionnel `a −j , ZR est r´eel positif et ZL est proportionnel `a j: cela donne les d´ephasages respectifs des tensions u_C, u_R, u_L les unes par rapport aux autres. La repr´esentation de Fresnel , ¸c-`a-d la repr´esentation des tensions complexes dans le plan complexe est un moyen ”visuel” de retenir et de comprendre. Il ne faut pas h´esiter `a l’exploiter.

C est toujours en retard deπ/2 par rapport `a R, lui-mˆeme en retard deπ/2 par rapport `aL, (pour des

´

el´ements en s´erie).

Dans la suiteve=Vecosωtetvs=Vscos(ωt+ϕ)

2 Rappels sur les filtres d’ordre 1

Ils ne comportent que 2 types d’´el´ements: (R, L), ou (R, C).

2.1 Formes canoniques

Compte-tenu de ce qui a ´et´e mentionn´e dans les g´en´eralit´es, un filtre passe-bas du premier ordre s’obtient aux bornes de C d’un circuit RC s´erie ou bien aux bornes de R d’un circuitRLs´erie.

La fonction de transfert s’´ecrit:

H = 1 1 +j_ω^ω

0

avec ω₀ = R

L ou ω₀ = 1 RC

Les asymptotesT BF etT HF se coupent en ω₀. La pente est de −20dB par d´ecade.

Il n’y a jamais de r´esonance car le module ne d´epasse pas 1. La pulsation de coupure qui est d´efinie par un module ´egal `a Gmax/√

2 est iciω0 . La fr´equence de coupure correspond `a ω0/2π

Pour le d´ephasage, la repr´esentation de Fresnel montre que l’´el´ement en sortie est toujours en retard , donc ϕ <0.

Pour le circuit (RC) par exemple : `a T BF , la tension aux bornes deC l’emporte sur celle aux bornes de R ; la tension de sortie est donc quasiment ´egale `a la tension d’entr´ee, d’o`u un d´ephasage nul. A T HF, c’est l’inverse, la tension aux bornes de R l’emporte sur celle aux bornes deC ete'u_R; alors on observe un d´ephasage de−π/2 entreuC ete. On peut faire le mˆeme type de raisonnement avec le circuit (RL).

Physique PC* 1

Filtres passifs Rappels de cours

Pour le filtre passe-haut, la fonction de transfert s’´ecrit : H = 1

1 +^ω_jω⁰ avec ω₀ = R

L ou ω₀ = 1 RC

Mˆeme remarques sauf que les r´esultats sur le d´ephasage sont ”renvers´es”. L’´el´ement en sortie est toujours en avance par rapport au signal d’entr´ee. Le d´ephasage varie de +π/2 `a 0 en passant par +π/4 enω₀ . 2.2 D´erivateur - int´egrateur

La sortie ”d´erive” l’entr´ee si elle est proportionnelle `a ω.

La sortie ”int`egre” l’entr´ee si elle est inversement proportionnelle `a ω

En effet la d´eriv´ee d’un cosωtentraˆıne le facteurω et l’int´egration un facteur 1/ω.

On voit que la fonction de transfert du passe-basH= _1+j¹ω ω0

devient inversement proportionnelle `aω `a T HF; on obtient un int´egrateur.

De mˆemeH = ₁₊¹ω0 jω

du passe-haut devient proportionnelle `a ω `a T BF : on obtient un d´erivateur.

En r´esum´e :

D´erivateur: signal de sortie proportionnel `aω (pente +20 dB par d´ecade) Int´egrateur : signal inversement proportionnel `a ω (pente -20 dB / d´ecade)

3 Rappels sur les filtres d’ordre 2

3.1 Formes canoniques

Ils sont en g´en´eral obtenus avec les 3 ´el´ementsR,L etC, mais on peut trouver ce genre de filtre avec une association en parall`ele de 2 types d’´el´ements comme R etC par exemple.

Leur fonction de transfert poss`ede automatiquement un terme en ω².

Reconnaˆıtre la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre :

H= A₀

1 +jQ ω

ω0 −^ω_ω⁰

ω0 s’appelle la pulsation propre du circuit. Qa la dimension d’un nombre.

Comme pour les filtres du premier ordre, un passe-bas s’obtient aux bornes de C , un passe-bande aux bornes de Ret un passe-haut aux bornes de L, d’un circuitR, L, C s´erie. C’est l’association des 3 ´el´ements en s´erie qui conduit au second ordre.

3.2 Fr´equence de coupure, bande passante

On appelle fr´equence de coupure d’un filtre, la fr´equence pour laquelle le module de la fonction de transfert du filtre atteint sa valeur maximale divis´ee par√

2 :

|H(f_c)|= |H_max|

√ 2

Pour un filtre passe-bande, la fr´equence o`u le module est max est la fr´equence propref<sub>0</sub> . il existe deux fr´equences de coupure fc1 et fc2 de part et d’autre de f0, on parle alors de bande passante `a -3dB (car 20log(1/√

2) =−3). La largeur de cette bande passante est donn´ee par (avec ∆f =f_c2−f_c1) : Q= f0

∆f

Physique PC* 2

Filtres passifs Rappels de cours

3.3 Filtre obtenu avec un circuit RLC aux bornes de C

La fonction de transfert de ce filtre est :

HC = 1

1 +jRCω−LCω² = 1 1 +j _Q¹ _ω^ω

0 − ^ω2

ω₀²

avec ω₀ = 1

√

LC et Q= Lω₀

R = 1

RCω₀ = 1 R

rL C

Le filtre est unpasse-bas du deuxi`eme ordre.

On observe une r´esonance pourQ >1/√ 2.

La tension aux bornes de C est l’analogue du

d´eplacement d’une masse attach´ee `a un ressort : `a basse fr´equence l’amplitude du d´eplacement tend vers l’

amplitude de l’excitation, `a haute fr´equence le d´eplacement tend vers 0 car la masse n’arrive pas `a suivre l’excitation et `a la r´esonance le d´eplacement est maximal. On parle de r´esonance en tension aux bornes de C ou en d´eplacement en raison de cette analogie.

Noter sur les courbes que la r´esonance a lieu l´eg`erement avant la pulsation propre ω₀. Elle a lieu en ω_r=ω₀q

1−_2Q¹₂. On v´erifie sur cette formule queω_r n’existe que siQ >1/√ 2.

La valeur maximale `a la r´esonance est donn´ee par : Gmax = ^{q Q}

1− ¹

4Q2

.

Il n’est pas utile de connaˆıtre cette relation par coeur mais on peut toutefois v´erifier qu’`a la limite de la r´esonance (Q= 1/√

2), la valeur maximale est 1.

Par contre, on peut retenir que pourQ >2 G_max'Q (`a mieux que 3%pr`es).

Puisqu’on pr´el`eve aux bornes de C,la phase du filtre aux bornes de C est toujours n´egative.

A T BF, la majeure partie de la tension d’entr´ee se retrouve aux bornes de C ( car |Z_C|>> |Z_R|>>

|Z_L|); le d´ephasage est donc nul. Cela satisfait `a l’id´ee d’un mouvement en phase avec l’excitation dans le cas analogue d’une masse accroch´ee `a un ressort.

A T HF, la majeure partie de la tension d’entr´ee se retrouve aux bornes de L; la tension de sortie (bornes de C) est donc d´ephas´ee de−πavec celle d’entr´ee. Cela s’interpr`ete bien avec l’analogie m´ecanique:

le ressort est en opposition avec l’excitation.

On pourra remarquer que la fonction de transfert en ω0 est proportionnelle `a −j ce qui traduit un d´ephasage de−π/2. Ce r´esultat se retrouve ais´ement sans passer par la fonction de transfert, mais simple- ment par construction dans le plan complexe: ω<sub>0</sub> correspond `a l’´egalit´e des modules des tensions aux bornes de L et deC. La tension d’entr´ee se r´eduit alors exactement `a la tension aux bornes deR. Cela rend bien compte d’un d´ephasage de−π/2 entrevC etvR, ¸c-`a-d entre vC etve.

Rq : Enω₀ les signaux d’entr´ee et de sortie sont exactement en quadrature (et non pas en phase).

Enω_r, pour des valeurs de Q >2, les signaux sont quasiment en quadrature.

Physique PC* 3

Filtres passifs Rappels de cours

3.4 Filtre obtenu avec un circuit RLC aux bornes de R La fonction de transfert de ce filtre est :

H_R= _{1+jRCω−LCω}^jRCω 2 = ^j

1 Q

ω ω0

1+j_Q¹ _ω^ω

0−^ω2

ω2 0

= ¹

1+jQ ω

ω0−^ω0

ω

Le filtre obtenu est unpasse-bandedu deuxi`eme ordre. La fonction de transfert passe toujours par un maximum.

La tension aux bornes de R est l’analogue de la vitesse d’une masse attach´ee `a un ressort : `a basse fr´equence et `a haute fr´equence la vitesse tend vers 0 tandis qu’`a la r´esonance elle est maximale. On parle de r´esonance en intensit´e ou en vitesse en raison de cette analogie. Mais on remarquera que le module de H_R ne d´epasse jamais 1:

|H_R|_max= 1 en ω0

.

La largeur de la bande passante est ∆ωtelle que Q= ω0

∆ω = f0

∆f

On pr´el`eve aux bornes de R. La repr´esentation dans le plan complexe montre que le d´ephasage entre VR etVe peut alors varier entre−π/2 et +π/2.

AT BF, la tension aux bornes deC domine: v_e'v_C;v_R est donc en avance de +π/2 par rapport `a v<sub>e</sub>. A T HF, la tension aux bornes deL domine: v<sub>e</sub>'v<sub>L</sub>;v<sub>R</sub> est donc en retard de −π/2 par rapport `av_e. En ω0, les signaux d’entr´ee et de sortie sont en phase. Cette valeur peut ˆetre rep´er´ee pr´ecis´ement `a l’oscillo en se pla¸cant en mode XY puisqu’on observe alors une droite .

De par la d´efinition de la ”coupure” , on a H= 1/(1 +j) ouH = 1/(1−j) aux fr´equences de coupure;

ainsi le dephasage est −π/4 et +π/4.

3.5 Filtre obtenu avec un circuit RLC aux bornes de L La fonction de transfert de ce filtre est :

H_R= _{1+jRCω−LCω}^−LCω2 2 =

−^ω2

ω2 0

1+j_Q¹ _ω^ω

0−^ω2

ω2 0

Le filtre obtenu est unpasse-hautdu deuxi`eme ordre.

La r´esonance a lieu pour Q >1/√ 2

Puisqu’on observe aux bornes deL, le d´ephasage est toujours positif.

A T BF, la tension d’entr´ee est domin´ee parv_C, ce qui conduit `aϕ'+π

A T HF, la tension d’entr´ee est domin´ee parvL, ce qui conduit `aϕ'0

Les signaux d’entr´ee et de sortie sont en quadrature (et non pas en phase) en ω_r.

Physique PC* 4