Loi binomiale S 1
Loi binomiale Echantillonnage
Pour reprendre contact n°1 à 5 p 225
I. Épreuve et schéma de Bernoulli A. Épreuve de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès (𝑆) et l’autre échec (𝑆̅).
Exemples :
1) Le jeu du pile ou face : On considère par exemple comme succès "obtenir pile" et comme échec "obtenir face".
2) On lance un dé et on considère par exemple comme succès "obtenir un six" et comme échec "ne pas obtenir un six".
3) Extraire une carte d’un jeu de 32 cartes et considérer comme succès « obtenir un as » et comme échec « obtenir une autre carte qu’un as ».
B. Loi de Bernoulli Définition
Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur Ω={𝑆; 𝑆̅} des issues d’une épreuve de Bernoulli.
On associe au succès 𝑆 une probabilité 𝑝 (0 ≤ 𝑝 ≤ 1).
La probabilité de l’échec 𝑆̅ est donc 1 − 𝑝.
𝑝 s’appelle le paramètre de la loi de Bernoulli.
Exemples
1) A l’épreuve de Bernoulli du jeu du pile ou face est associée la loi de Bernoulli de paramètre 1
2
2) A l’épreuve de Bernoulli « obtenir un six » au lancer de dé est associée la loi de Bernoulli de paramètre 1
6 et on associe la probabilité 5
6 à l’échec.
3) A l’épreuve de Bernoulli « obtenir un as dans un jeu de 32 cartes » est associée la loi de Bernoulli de paramètre 4
32=1
8. A l’échec, on associe donc la probabilité 7
8
Propriété
Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝, la variable aléatoire X, prenant la valeur 1 si S se produit et 0 sinon a la loi de probabilité ci-contre.
Son espérance est 𝑬(𝑿) = 𝒑 et sa variance 𝑽(𝑿) = 𝒑(𝟏 − 𝒑)
On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
C. Schéma de Bernoulli Définition
Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Exemple
Une urne contient 3 boules rouges et 1 boule verte. On tire successivement et avec remise 3 boules.
Pour chacun des tirages, obtenir une boule verte est considéré comme un succès.
On représente cette situation à l’aide de l’arbre ci-contre.
Les issues de cette répétition sont des listes : (V ; V ; V), (V ; V ; R), (V ; R ; V)…
Remarque
Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s’agit plus d’un schéma de Bernoulli car les expériences répétées ne sont plus identiques ni indépendantes.
Exercices n°14 – 15 p 246
Issue 𝑺 𝑺̅
Probabilité 𝑝 1 − 𝑝
𝑘 𝟎 𝟏
𝑃(𝑋 = 𝑘) 1 − 𝑝 𝑝
Loi binomiale S 2 II. Coefficients binomiaux
A. Définition et cas particuliers Définition
On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Pour tout entier 𝑘, 0 ≤𝑘 ≤𝑛, le nombre de chemins réalisant 𝑘 succès est noté (𝑛𝑘) (lire « 𝑘 parmi 𝑛 »).
Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Propriétés
Pour tout n entier, 𝑛 ≥ 1, (𝒏𝟎) = 𝟏 et (𝒏𝒏) = 𝟏
Démonstration
Dans l’arbre, il n’y a qu’un seul chemin qui conduit à 0 succès lors des n répétitions : 𝑆̅𝑆̅𝑆̅ … 𝑆̅
Dans l’arbre, il n’y a qu’un seul chemin qui conduit à 𝑛 succès lors des n répétitions : 𝑆𝑆𝑆 … 𝑆
B. Symétrie des coefficients binomiaux Propriété
Pour tous entiers 𝑛 et 𝑘, 𝑛 ≥ 1, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 (𝒏𝒌) = (𝒏−𝒌𝒏 )
Démonstration
Si 𝑛 = 0, alors 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 donne 𝑘 = 0 et l’égalité est vérifiée.
Si 𝑛 > 0, alors sur l’arbre représentant le schéma de 𝑛 épreuves de Bernoulli, (𝑛𝑘)est le nombre de chemins réalisant 𝑘 succès, donc aussi 𝑛 − 𝑘 échecs. Par ailleurs, (𝑛−𝑘𝑛 ) est le nombre de chemins qui réalisent 𝑛 − 𝑘 succès. Par symétrie de l’arbre, on a donc (𝑛𝑘) = (𝑛−𝑘𝑛 )
C. Triangle de Pascal Propriété
Pour tous entiers 𝑛 et 𝑘, 𝑛 ≥ 1, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 (𝒏𝒌) + (𝒌+𝟏𝒏 ) = (𝒏+𝟏𝒌+𝟏)
Démonstration
Lors de la réalisation de 𝑛 +1 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, le nombre de chemins réalisant 𝑘 + 1 succès est (𝑛+1𝑘+1). Parmi ces chemins, il y en a de deux types :
- Ceux qui commencent par un succès ; il faut donc ensuite 𝑘 succès en 𝑛 épreuves. Leur nombre est (𝑛𝑘).
- Ceux qui commencent par un échec ; il faut donc ensuite 𝑘 + 1 succès en 𝑛 épreuves. Leur nombre est (𝑘+1𝑛 ) Donc (𝑛+1𝑘+1) = (𝑛𝑘) + (𝑘+1𝑛 )
TRIANGLE DE PASCAL
On peut calculer les (𝑛𝑘) de proche en proche à l’aide du tableau ci-contre : - n convient que (00) = 1
- On place des 1 dans la colonne « 𝑘 = 0 » et la diagonale.
- On obtient un autre nombre du tableau en additionnant le nombre juste au - dessus et celui situé à gauche (𝒏𝒌) + (𝒌+𝟏𝒏 )sur la ligne précédente(𝒏+𝟏𝒌+𝟏)
Exercices n°16 à 19 p 246
Loi binomiale S 3 III. Loi binomiale
A. Définition de la loi binomiale Définition
On considère un schéma de Bernoulli, répétition de 𝑛 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre 𝑝.
On noté X la variable aléatoire qui associe à cette répétition de 𝑛 épreuves, le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres 𝒏 et 𝒑. On la note (𝒏 ;𝒑)
Exemple
On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. On note X la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus. X suit la loi binomiale (𝟑 ;𝟏
𝟐)
B. Loi de probabilité Propriété
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝, alors pour tout entier 𝑘, 0 ≤ 𝑘≤ 𝑛 𝑷(𝑿 = 𝒌) = (𝒏𝒌) 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌
Démonstration
Un chemin de l’arbre réalisant 𝑘 succès de probabilité 𝑝 et 𝑛 − 𝑘 échecs de probabilité 1 − 𝑝, conduit à une issue dont la probabilité est donnée par 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘. Or il y a (𝑛𝑘) chemins réalisant k succès
Donc 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
C. Espérance et variance de la loi binomiale
Propriétés (admises)
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝, alors 𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑 𝑽(𝑿) = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) Exercices n°20 à 25 – 29 – 30 p 246 - 247
IV. Prise de décision à partir d’une fréquence A. Intervalle de fluctuation
Dans une population où la proportion d’individus présentant le caractère C est 𝑝, on prélève un échantillon de taille 𝑛. Que peut-on dire de la fréquence 𝑓 de C sur cet échantillon ?
En classe de seconde
On a observé que sur un grand nombre d’échantillons de taille 𝑛 simulés, 95 % au moins fournissent une fréquence 𝑓 appartenant à l’intervalle 𝑝 − 1
𝑛; 𝑝 + 1
𝑛 , sous certaines conditions de 𝑛 et 𝑝.
Propriété
Pour 𝑛 ≥ 25 et 0,2 ≤ 𝑝 ≤ 0,8, lorsqu’on prélève au hasard un échantillon de taille n dans une population où la proportion d’un caractère est p, la fréquence f du caractère sur cet échantillon appartient à l’intervalle 𝑝 − 1
𝑛; 𝑝 + 1
𝑛 avec une propriété supérieure ou égale à 0,95.
Loi binomiale S 4 En classe de première
Le tirage au hasard dans la population d’un individu qui peut présenter le caractère C avec une probabilité p est une épreuve de Bernoulli de paramètre p, où le succès S est l’issue : « Avoir le caractère C ».
Le prélèvement au hasard d’un échantillon de taille n dans cette population s’assimile à un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, et la variable aléatoire X, qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre d’individus présentant le caractère c, suit la loi binomiale de (𝑛 ; 𝑝)
La variable aléatoire 𝐹 =𝑋
𝑛 représente alors la fréquence aléatoire du succès S sur un échantillon de taille n.
D’après les résultats de seconde, on a 𝑃 𝑝 −1
𝑛≤ 𝐹 ≤ 𝑝 −1
𝑛 ≥ 0,95 et on dit que 𝑝 −1
𝑛; 𝑝 +1
𝑛 est un intervalle de fluctuation de 𝐹 au seuil de 95 %.
Définition
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale (𝑛 ; 𝑝) et 𝐹 = 𝑋
𝑛 la variable aléatoire qui représente la fréquence aléatoire du succès.
Un intervalle de fluctuation de F au seuil de 95 % est un intervalle : - de la forme 𝑎𝑛;𝑏𝑛 , où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers compris entre 0 et 𝑛.
- tel que 𝑃 𝑎
𝑛 ≤ 𝐹 ≤ 𝑏
𝑛 ≥ 0,95 , ce qui est équivalent à 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) ≥ 0,95 En pratique, on s’efforce d’obtenir l’intervalle 𝑎
𝑛;𝑏
𝑛 de plus faible amplitude. Pour cela, il suffit de chercher les plus petits entiers 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑷(𝑿 ≤ 𝒂) > 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 et 𝑷(𝑿 ≤ 𝒃) ≥ 𝟎, 𝟗𝟕𝟓
Exercices n°31 - 32 p 248
B. Détermination d’un intervalle de fluctuation à l’aide de la loi binomiale
C. Prise de décision à partir d’un échantillon On cherche à savoir si une pièce est équilibrée.
On fait l’hypothèse que la pièce est équilibrée, donc que la probabilité d’obtenir Pile est 𝑝 = 0,5.
On lance 𝑛 fois cette pièce et on détermine la fréquence 𝑓 de Pile sur l’échantillon obtenu.
On se fixe une seuil, par exemple 95 %, et on détermine l’intervalle de fluctuation I au seuil de 95% à l’aide de la loi binomiale (𝑛 ; 𝑝).
On prend une décision :
o Si 𝑓 n’est pas dans I, on rejette l’hypothèse de pièce équilibrée avec un risque de se tromper dans 5 % des cas.
o Si 𝑓 appartient à I, on ne rejette pas l’hypothèse de pièce équilibrée (on ne dit pas qu’on
« l’accepte » car le risque de se tromper en l’acceptant est inconnu).
Exercices n°34 – 35 p 249 Exercices n°57 – 59 – 60 – 61 – 62 – 63 – 64 – 65 p 252 – 253
