L.S.Marsa Elriadh
Liste 26
M : Zribi4 ème Maths Exercices
Exercice 1 :
soit f la fonction définie par f(x)=
1
² 1
²
x x
x pour x[-1,1]
1/ montrer que f réalise une bijection de [-1,1] sur un intervalle J que l’on précisera.
2/ soit g la fonction définie sur [-1,1] par g(x)=f(x)-x
a/ montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution [-1,1]
b/ vérifier que ]2
3,1[
c/ en déduire que la droite :y=x coupe la courbe de f en un point unique
3/ a/ tracer les courbes et ’ respectives de f et f-1 dans un même repère orthonormé
4/ montrer que pour tout xJ : f-1(x)=
x x x
x
) 2 )(
2 3 (
) 1 ( 2
Exercice 2:
soit la fonction f définie sur IR par : f(x)= 1
² 2 2
x
x x
. 1/ montrer que f est dérivable sur IR et calculer f’(x).
2/ étudier les variations de f.
3/ a/ montrer que f possède une fonction réciproque f –1 définie sur un intervalle I à préciser.
b/ montrer que f –1(x)= -1+
1 ² x
x ; xI.
4/ soit g la fonction définie sur IR par : g(x)=f(x)-x .
étudier les variation de g et montrer qu’il existe un unique réel ]0,1[
tel que g()=0.
5/ soit U la suite définie sur IN par : U0=0 et Un+1 = f(Un) , nIN.
a/ montrer que pour tout nIN : 0 Un.
b/ étudier les variations de U ; en déduire que U est convergente et calculer sa limite.
Exercice 3
soit f : ]-,[ R
x tg ( x 2)
1/ étudier et représenter graphiquement f.
2/ démontrer que f est une bijection de ]-,[ sur R. calculer f-1(1) et (f-1)’(1).
3/ démontrer que f-1 est dérivable sur R et expliciter (f-1)’(x) pour tous x R.
Retrouver (f-1)’(1).
L.S.Marsa Elriadh
Liste 26
M : Zribi4 ème Maths Exercices
4/ soit g : ]-,[ R x cosx
Démontrer que fog est dérivable sur ]-,[ et calculer (fog)’(x).
Exercice 4
soit f : [0, /2] R x cos x
1/ montrer que f est une bijection de [0, 2
] sur un intervalle I que l’on précisera et construire sa courbe dans un repère orthonormé ( , , )O i j 2/ étudier la continuité et la dérivabilité de f-1 et construire sa courbe ’ danse le même repère que .
3/ lorsque cela est possible , calculer (f-1)’(x) . Exercice 5:
On considère la fonction définie sur 0, 2
par f(x)= sin 2
sin x x . 1) Montrer que f est dérivable sur 0,
2
et calculer f’(x) pour tout x 0,
2
.
2) Etudier la dérivabilité de f à gauche en
2
.
3) Montrer que f réalise une bijection de 0, 2
sur
0,
.4) Montrer que f –1 est dérivable sur
0,
et que x
0,
, (f –1)’(x)= 44 4
x x
.
2) Pour tout x 0, on pose g(x)=f –1( 2x )+f –1( 2
x ).
a- Calculer f –1( 2).
b- Montrer que g est dérivable sur
0,
et calculer g’(x).c- Montrer que x 0, g(x)=
2
.
