Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence
Mathématiques Année 2010–2011
FEUILLE D’EXERCICES no5 Exponentielles de matrices
Exercice 1 – Soit A∈Mn,n(K). Montrer que det(expA) = exp(TrA).
Exercice 2 – Trouver dansM2,2(R) deux matrices A etB vérifiant exp(A+B)6= expAexpB et expAexpB 6= expBexpA.
Exercice 3 – Montrer le théorème du cours qui dit que si A et B ∈ Mn,n(K) commutent, alors
exp(A+B) = expAexpB = expBexpA.
Exercice 4 – Montrer que A ∈ Mn,n(K) est diagonalisable si et seulement si expA l’est.
Exercice 5 – Montrer que siM ∈Mn,n(K)est diagonalisable, il existe un poly- nôme P ∈K[X]tel que
expM =P(M).
Exercice 6 – SoitA=
3 −1 1
2 0 1
−2 1 0
.Calculer les puissances successives de A, puis expA.
Exercice 7 – Calculer expA dans les cas suivants
A=
7 −3 3 1
, A=
3 2 2 1 0 1
−1 1 0
, A=
4 1 1
6 4 2
−10 −4 −2
.
Exercice 8 – Soit A∈Mn,n(K). Montrer que
k→∞lim
In+ A k
k
= expA.
Exercice 9 – Soient A, B ∈Mn,n(K). Montrer que
k→∞lim
exp A
k
exp B
k k
= exp(A+B).
Exercice 10 – Résoudre dans Mn,n(C)l’équation expM =In.
Exercice 11 – Montrer que l’image de Mn,n(K) par exp est GLn(K) si K = C mais que ceci est faux si K =R.
