Exercice 1 10 points
O, −→ u , −→
v
est un repère orthonormal direct du plan complexe.
SoitA le point d’affixe1 +i.
Au pointM d’affixez, on associe le pointM′ d’affixez′ telle quez′= 1
2(z+iz).
1/ On posez=x+iy etz′=x′+iy′ avecx,y,x′ ety′ réels.
1. 1. Démontrer les égalités suivantes : x′ = 1
2(x+y)et y′ = 1
2(x+y). En déduire que le point M′ appartient à la droite(OA).
1. 2. Déterminer l’ensemble des pointsM du plan tels queM =M′. 1. 3. Démontrer que pour tout pointM du plan les vecteurs−−−−→
MM′ et−−→
OA sont orthogonaux.
2/ Soitrla rotation de centreOet d’angle π
2.M1 est le point d’affixez1image de M parr,M2 le point d’affixez2=z, M3 le point d’affixez3tel que le quadrilatèreOM1M3M2 soit un parallélogramme.
2. 1. Dans cette question uniquementM a pour affixe 4 +i, placer les pointsM,M1,M2,M3. 2. 2. Exprimerz1 en fonction dez, puisz3en fonction dez.
2. 3. OM1M3M2est-il un losange ? Justifier.
2. 4. Vérifier quez′−z= 1 2iz3. En déduire queMM′=1
2OM3.
3/ DémontrerM,M1,M2 etM3appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement siMM′= 1 2OM.
Donner alors la mesure en radians de l’angle géométriqueM′OM.
Exercice 2 10 points
On considère la fonctionf définie sur[0 ; +∞[par
f(x) = ln(x+ 3) x+ 3 .
1/ Montrer que f est dérivable sur [0 ; +∞[. Étudier le signe de sa fonction dérivée f′, et dresser le tableau de ses variations (on admettra que sa limite en+∞est nulle).
2/ On définit la suite(un)n0 par son terme généralun=
n+1
n
f(x)dx.
2. 1. Justifier que, si nxn+ 1, alorsf(n+ 1)f(x)f(n).
2. 2. Montrer, sans chercher à calculerun, que, pour tout entier natureln, f(n+ 1)unf(n).
2. 3. En déduire que la suite(un)est convergente et déterminer sa limite.
3/ SoitF la fonction définie sur[0 ; +∞[par
F(x) = [ln(x+ 3)]2.
3. 1. Justifier la dérivabilité sur[0 ; +∞[de la fonctionF et déterminer, pour tout réel positifx, le nombreF′(x).
3. 2. On pose, pour tout entier natureln, In=
n
0
f(x)dx.
CalculerIn.
4/ On pose, pour tout entier natureln, Sn=u0+u1+· · ·+un−1. CalculerSn. La suite(Sn)est-elle convergente ?
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