TP12

ECO1 LMA 2016-2017

Suites r´ eelles et r´ ecurrence

TP12

Exercice 1 Onconsid`erelasuite(u_n)_n∈Nd´efinieparu₀= 0 et pour tout entier natureln, u_n+1=u²_n+ 1.

1. Construire une proc´edure en langage Scilab qui, ´etant donn´e un entier n∈N, calculeu_n. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n,un ≥n.

3. En d´eduire le comportement asymptotique de (un)_n∈N.

4. Construire une proc´edure en langage Scilab qui permet de d´eterminer le plus petitn∈Ntel queun≥10⁵.

Exercice 2 On consid`ere les deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N d´efinies par a0 = 1, b0 = 2, ainsi que par les relations:

∀n∈N, a_n+1=p

a_nb_n et b_n+1=a_n+b_n

2 . (1)

1. Montrer que, pour toutn∈N,an et bn sont bien d´efinies et strictement positifs.

2. Construire une proc´edure en langage Scilab qui, ´etant donn´e un entier n∈N, calculea_n etb_n. 3. (a) Montrer que: ∀n∈N,bn+1−an+1= 1

2

√bn−√ an

2

. En d´eduire que: ∀n∈N, an≤bn.

(b) Montrer que: ∀n∈N,an+1−an= √ bn−√

an

√ an. En d´eduire que la suite (a_n)_n∈Nest croissante.

(c) Montrer que: ∀n∈N,b_n+1−b_n= 1

2(a_n−b_n).

En d´eduire que la suite (b_n)_n∈Nest d´ecroissante.

4. (a) Montrer que la suite (a_n)_n∈Nest major´ee par 2.

En d´eduire qu’elle converge vers une limite finie qu’on notera`1. (b) Montrer que la suite (bn)_n∈N est minor´ee par 1.

En d´eduire qu’elle converge vers une limite finie qu’on notera`2. (c) En passant `a la limite dans les relations (1), montrer que`1=`2.

On a ainsi d´emontr´e que les suites (an)_n∈N et(bn)_n∈N convergent vers la mˆeme limite ` et que:

∀n∈N, an ≤`≤bn.

5. Construire une proc´edure en langage Scilab qui, ´etant donn´e unε >0, calcule une approximation de``a εpr`es.

Exercice 3 Soit (un)_n∈Nla suite d´efinie paru0= 1 et, pour tout entier natureln,un+1= 2u²_n 1 + 5u_n. 1. Construire une proc´edure en langage Scilab qui, ´etant donn´e un entier n∈N, calculeu_n. 2. Montrer que pour tout entier naturel n,un est bien d´efinie et un ≥0.

3. En d´eduire la monotonie de la suite (un)_n∈N.

4. La suite (un)_n∈Nest-elle convergente? Si oui, d´eterminer sa limite.

5. Montrer que, pour tout entier naturel n,un+1≤2un

5 . 6. En d´eduire que, pour tout entier natureln,un≤

2 5

ⁿ . 7. D´eterminer un entierN v´erifiant, pour toutn≥N,un ≤10⁻⁹.

8. Construire une proc´edure en langage Scilab qui permet de d´eterminer le plus petitn∈Ntel queun≤10⁻⁹. Comparer avec le r´esultat obtenu `a la question pr´ec´edente.

1