Seconde – Lycée Desfontaines – Melle Remédiation A12 – A13– A14
I –
1. Etude de signe : Etudions en fonction de x le signe de l’expression (2x−3)(-x-1)
Avec une droite graduée…
Pour éviter les couleurs on remplace la couleur verte par le symbole "-" et la couleur rouge par le symbole
"+" dans un tableau de signe…en commençant par symboliser la droite graduée comme ceci :
x -õ 0 +õ Signe de 2x−3 :
Représenter en vert les valeurs de x pour lesquelles l’expression est négative et en rouge les valeurs de x pour lesquelles l’expression est positive.
2x−3
Signe d e−x-1 :
Représenter en vert les valeurs de x pour lesquelles l’expression en négative et en rouge les valeurs de x pour lesquelles l’expression est positive.
−x-1
Signe du produit (2x−3)(-x-1) : Déduire du signe des deux facteurs ci-dessus le signe du produit en fonction des valeurs de x et représenter le résultat trouvé en utilisant le m^me code de couleur…
(2x−3) × (-x-1)
x x -3x+2 x−2
2. A la question "Résoudre l’inéquation (2x−3)(-x−1)Â0 " que pouvez-vous répondre ? x∈∈∈∈ ] – ∞∞∞∞ ; – 1 ] ∪∪∪∪ [ 1,5 ; + ∞∞∞∞ [ .
3. Résoudre l’inéquation –x(2x−3)<2x−3.
Indice : cette inéquation est équivalente à une inéquation type produit c’est-à-dire de la forme A(x)×B(x)<0.
–x(2x−3)<2x−3 ñ –x(2x−3)–(2x–3)<0 ñ (2x– 3)(–x– 1)<0
Do nc, d ’après 1. , –x(2x−3)<2x−3 ssi x∈∈∈∈ ] – ∞∞∞∞ ; – 1 [ ∪∪∪∪ ] 1,5 ; + ∞∞∞∞ [ .
II - Ne perdez pas de temps avec la droite graduée et les couleurs…
sachant que la règle des signes est la même pour un quotient que pour un produit utilisez directement un tableau de signe…
1. Etudier le signe du quotient -3x+2 x−2 .
2 est la valeur interdite.
Remarque : attention à ne pas oublier la double barre !
Conclusion : -3x+2
x−2 < 0 ssi x ∈ ] – ∞ ; 2
3 [ ∪ ]2 ; + ∞ [ . -3x+2
x−2 > 0 ssi x ∈ ] 2 3 ; 2 [.
-3x+2
x−2 = 0 ssi x ∈
2 3;2 . x - õ 2
3 2 +õ
-3x+2 x−2 -3x+2 x−2
2 -1
-2
-3 0 1 x
2 -1
-2
-3 0 1 x
2 -1
-2
-3 0 1 x
2 -1
-2
-3 0 1 x
Conclusion :
(2x−3)(-x−1)<0 ssi x∈∈∈∈ ] – ∞∞∞∞ ; – 1 [ ∪∪∪∪ ] 1,5 ; + ∞∞∞∞ [ . (2x−3)(-x−1)>0 ssi x∈∈∈∈ ] – 1 ; 1,5 [ .
(2x−3)(-x−1)=0 ssi x∈∈∈∈ { – 1 ; 1,5}.
1,5
1,5 - 1
- 1
- 1 1,5
+
+ +
- -
- -
- -
0 0
0 0
+ 0 - - - +
-
0
+ -
- 0
2. Résoudre l’inéquation -2x x−2Ã1.
Indice : cette inéquation est équivalente à une inéquation type quotient c’est-à-dire de la forme A(x) B(x) Ã0.
-2x
x−2Ã1 ñ -2x
x−2 – 1 ≥ 0 ñ -2x x−2 – x−2
x−2 ≥ 0 – 2 x – (x – 2)
x – 2 ≥ 0 ñ – 3 x + 2 x – 2 ≥ 0 Donc, d’après 1. , -2x
x−2Ã1 ssi x ∈ ] 2 3 ; 2 [.
III – A vous de jouer…
1. Résoudre l’inéquation (x+1)2>25
(x+1)2>25 ñ (x+1)2−25>0 ñ (x + 1 – 5) (x + 1 + 5) > 0 ñ (x – 4) (x + 6) > 0.
Etudions le signe du produit (x−4)(x+6)
Ainsi
(x+1)2>25 ssi x∈∈∈∈ ] – ∞∞∞∞ ; – 6[ ∪∪∪∪ ] 4 ; + ∞∞∞∞ [ .
2. Etudier le signe du quotient -x(x−1) x+1
Ainsi,
-x(x+1x−1)>0 ssi x☻]-õ;-1[∟]0;1[-x(x−1)
x+1 <0 ssi x☻]-1;0[∟]1;+õ[ -x(x−1)
x+1 =0 ssi x☻{-1;0}
3. Résoudre l’inéquation 1
x+xÃ2 1
x+xÃ2 ñ 1
x+x– 2 Ã0 ñ 1 x + x2
x – 2 x
x ≥ 0 ñ x2 – 2 x + 1
x ≥ 0 ñ (x−1)2 x Ã0 Etudions le signe du produit (x−1)2
x :
Ainsi 1
x+xÃ2 ssi x∈∈∈∈ ] 0 ; + ∞∞∞∞ [.
x - õ – 6 4 +õ x−4
x+6
(x−4)(x+6)
x - õ - 1 0 1 +õ
-x x−1
x+1
-x(x−1) x+1
x - õ 0 1 +õ
(x−1 )2 x
(x−1)2 x
