Fonction cube
Fonction cube, cours, 2nde
Définition :
On appelle fonction cube la fonction définie sur ]− ∞; +∞[ par f :x7→x3. Représentation graphique :
Propriété :
• Le cube d’un nombre réel négatif est un nombre réel négatif (règle des signes pour les produits). La fonction cube est de signe négatif sur ]− ∞; 0].
• Le cube d’un nombre réel positif est un nombre réel positif (règle des signes pour les produits). La fonction cube est de signe positif sur[0; +∞[.
Propriété et définition :
Pour tout réel x, f(−x) = −f(x). La fonction est dite impaire. Sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O;~i;~j) est symétrique par rapport à l’origine O du repère.
Preuve :
Pour tout réelx,f(−x) = (−x)3 =−x3 =−f(x)etM(x;x3)etM(−x,−x3)appartiennent à la courbe et sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
Propriété et définition :
Pour tout réela, l’équationx3 =aadmet une unique solution appeléeracine cubique de a et notée √3
a.
Preuve :
Voir chapitre sur les variations de fonctions.
http: // mathsfg. net. free. fr 1
Fonction cube
Propriété :
Pour tous les réels x:
• Si0≤x≤1, alors0≤x3 ≤x2 ≤x≤1;
• si 1≤x, alors 1≤x≤x2 ≤x3.
Preuve :
• Si 0≤x≤1, alors :
x3 −x2 =x2(x−1)avec x2 ≥0 etx−1≤0 donc x3−x2 ≤0 c’est à dire x3 ≤x2.
De plus, x2−x=x(x−1)avec x≥0et x−1≤0 donc x2−x≤0 c’est à dire x2 ≤x.
D’où 0≤x3 ≤x2 ≤x≤1.
• Si 1≤x, alors :
x3 −x2 =x2(x−1)avec x2 ≥0 etx−1≥0 donc x3−x2 ≥0 c’est à dire x3 ≥x2.
De plus, x2−x=x(x−1)avec x≥0et x−1≥0 donc x2−x≥0 c’est à dire x2 ≥x.
D’où 1≤x≤x2 ≤x3.
http: // mathsfg. net. free. fr 2
