Memo pour les puissances 10

(1)

Memo pour les puissances 10

^`^emes

(Denise Vella-Chemla, 15.8.18) On rappelle le nombre de solutions de x

¹⁰

≡ 1 (mod n) :

premiers compos´ es

ou puissances de premiers

dernier chif f re 1 10 solutions autre chose que 10 dernier chif f re 3, 5, 7 2 solutions autre chose que 2

On a quelque soit n :

x

^2k

≡ (n − x)

^2k

(mod n) et

x

^2k+1

≡ n − x

^2k+1

(mod n).

Modulo 11 (premier) :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1

3 1 8 5 9 4 7 2 6 3 10

4 1 5 4 3 9 9 3 4 5 1

5 1 10 1 1 1 10 10 10 1 10

6 1 9 3 4 5 5 4 3 9 1

7 1 7 9 5 3 8 6 2 4 10

8 1 3 5 9 4 4 9 5 3 1

9 1 6 4 3 9 2 8 7 5 10

10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Modulo 21 (compos´e impair) :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 1 4 9 16 4 15 7 1 18 16 16 18 1 7 15 4 16 9 4 1

3 1 8 6 1 20 6 7 8 15 13 8 6 13 14 15 1 20 15 13 20

4 1 16 18 4 16 15 7 1 9 4 4 9 1 7 15 16 4 18 16 1

5 1 11 12 16 17 6 7 8 18 19 2 3 13 14 15 4 5 9 10 20

6 1 1 15 1 1 15 7 1 15 1 1 15 1 7 15 1 1 15 1 1

7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8 1 4 9 16 4 15 7 1 18 16 16 18 1 7 15 4 16 9 4 1

9 1 8 6 1 20 6 7 8 15 13 8 6 13 14 15 1 20 15 13 20

10 1 16 18 4 16 15 7 1 9 4 4 9 1 7 15 16 4 18 16 1

∗ ∗ ∗ ∗

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1

3 1 8 1 12 8 8 5 5 1 12 5 12

4 1 3 3 9 1 9 9 1 9 3 3 1

5 1 6 9 10 5 2 11 8 3 4 7 12

6 1 12 1 1 12 12 12 12 1 1 12 1

7 1 11 3 4 8 7 6 5 9 10 2 12

8 1 9 9 3 1 3 3 1 3 9 9 1

9 1 5 1 12 5 5 8 8 1 12 8 12

10 1 10 3 9 12 4 4 12 9 3 10 1

∗ ∗

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 . . .

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 . . .

2 1 4 9 16 25 3 16 31 15 1 22 12 4 31 27 25 25 27 31 4 12 22 1 15 31 16 3 . . .

3 1 8 27 31 26 18 13 17 3 10 11 12 19 5 9 4 29 24 28 14 21 22 23 30 16 20 15 . . .

4 1 16 15 25 31 9 25 4 27 1 22 12 16 4 3 31 31 3 4 16 12 22 1 27 4 25 9 . . .

5 1 32 12 1 23 21 10 32 12 10 11 12 10 23 12 1 32 21 10 23 21 22 23 21 1 23 12 . . .

6 1 31 3 4 16 27 4 25 9 1 22 12 31 25 15 16 16 15 25 31 12 22 1 9 25 4 27 . . .

7 1 29 9 16 14 30 28 2 15 10 11 12 7 20 27 25 8 6 13 26 21 22 23 18 31 5 3 . . .

8 1 25 27 31 4 15 31 16 3 1 22 12 25 16 9 4 4 9 16 25 12 22 1 3 16 31 15 . . .

9 1 17 15 25 20 24 19 29 27 10 11 12 28 26 3 31 2 30 7 5 21 22 23 6 4 14 9 . . .

10 1 1 12 1 1 12 1 1 12 1 22 12 1 1 12 1 1 12 1 1 12 22 1 12 1 1 12 . . .

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . . .

1

(2)

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 1 4 2 2 4 1

3 1 1 6 1 6 6

4 1 2 4 4 2 1

5 1 4 5 2 3 6

6 1 1 1 1 1 1

7 1 2 3 4 5 6

8 1 4 2 2 4 1

9 1 1 6 1 6 6

10 1 2 4 4 2 1

∗ ∗

Modulo 27 (puissance de premier) :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

2 1 4 9 16 25 9 22 10 0 19 13 9 7 7 9 13 19 0 10 22 9 25 16 9 4 1

3 1 8 0 10 17 0 19 26 0 1 8 0 10 17 0 19 26 0 1 8 0 10 17 0 19 26

4 1 16 0 13 4 0 25 19 0 10 7 0 22 22 0 7 10 0 19 25 0 4 13 0 16 1

5 1 5 0 25 20 0 13 17 0 19 23 0 16 11 0 4 8 0 10 14 0 7 2 0 22 26

6 1 10 0 19 19 0 10 1 0 1 10 0 19 19 0 10 1 0 1 10 0 19 19 0 10 1

7 1 20 0 22 14 0 16 8 0 10 2 0 4 23 0 25 17 0 19 11 0 13 5 0 7 26

8 1 13 0 7 16 0 4 10 0 19 22 0 25 25 0 22 19 0 10 4 0 16 7 0 13 1

9 1 26 0 1 26 0 1 26 0 1 26 0 1 26 0 1 26 0 1 26 0 1 26 0 1 26

10 1 25 0 4 22 0 7 19 0 10 16 0 13 13 0 16 10 0 19 7 0 22 4 0 25 1

∗ ∗

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 . . .

1 4 9 16 25 36 49 7 24 43 7 30 55 25 54 28 4 39 19 1 42 28 16 6 55 49 45 43 43 . . .

1 8 27 7 11 45 1 56 45 31 20 18 31 8 12 49 11 18 19 20 27 46 26 30 7 20 18 7 50 . . .

1 16 24 28 55 42 7 49 6 25 49 45 4 55 9 43 16 39 19 1 54 43 28 36 4 7 30 25 25 . . .

1 32 15 55 47 24 49 50 54 22 26 27 52 29 21 4 44 18 19 20 51 34 17 9 43 11 12 16 41 . . .

1 7 45 49 7 30 1 1 30 49 1 39 49 7 30 7 7 39 19 1 45 7 49 45 49 1 39 49 49 . . .

1 14 21 25 35 9 7 8 42 34 11 12 10 41 51 55 5 18 19 20 33 40 44 54 28 26 27 4 53 . . .

1 28 6 43 4 54 49 7 36 55 7 30 16 4 24 25 28 39 19 1 9 25 43 42 16 49 45 55 55 . . .

1 56 18 1 20 39 1 56 39 37 20 18 37 56 18 1 20 18 19 20 18 37 20 39 1 20 18 1 56 . . .

1 55 54 4 43 6 7 49 9 28 49 45 25 43 42 16 55 39 19 1 36 16 4 24 25 7 30 28 28 . . .

∗ ∗ . . .

Modulo 9 (puissance de premier) :

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 4 0 7 7 0 4 1

3 1 8 0 1 8 0 1 8

4 1 7 0 4 4 0 7 1

5 1 5 0 7 2 0 4 8

6 1 1 0 1 1 0 1 1

7 1 2 0 4 5 0 7 8

8 1 4 0 7 7 0 4 1

9 1 8 0 1 8 0 1 8

10 1 7 0 4 4 0 7 1

∗ ∗

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

2 1 4 9 16 25 7 20 6 23 13 5 28 24 22 22 24 28 5 13 23 6 20 7 25 16 9 4 1

3 1 8 27 6 9 13 24 19 4 14 26 17 22 18 11 7 12 3 15 25 10 5 16 20 23 2 21 28

4 1 16 23 24 16 20 23 7 7 24 25 1 25 20 20 25 1 25 24 7 7 23 20 16 24 23 16 1

5 1 3 11 9 22 4 16 27 5 8 14 12 6 19 10 23 17 15 21 24 2 13 25 7 20 18 26 28

6 1 6 4 7 23 24 25 13 16 22 9 28 20 5 5 20 28 9 22 16 13 25 24 23 7 4 6 1

7 1 12 12 28 28 28 1 17 28 17 12 17 28 12 17 1 12 17 12 1 12 28 1 1 1 17 17 28

8 1 24 7 25 24 23 7 20 20 25 16 1 16 23 23 16 1 16 25 20 20 7 23 24 25 7 24 1

9 1 19 21 13 4 22 20 15 6 18 2 12 5 3 26 24 17 27 11 23 14 9 7 25 16 8 10 28

10 1 9 5 23 20 16 24 4 25 6 22 28 7 13 13 7 28 22 6 25 4 24 16 20 23 5 9 1

∗ ∗

2

(3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . . .

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . . .

2 1 4 9 16 25 36 10 25 3 22 4 27 13 1 30 22 16 12 10 10 . . .

3 1 8 27 25 8 21 31 5 27 25 5 12 13 14 21 1 38 21 34 5 . . .

4 1 16 3 22 1 9 22 1 9 16 16 27 13 1 3 16 22 27 22 22 . . .

5 1 32 9 10 5 15 37 8 3 4 20 12 13 14 6 22 23 18 28 11 . . .

6 1 25 27 1 25 12 25 25 27 1 25 27 13 1 12 1 1 12 25 25 . . .

7 1 11 3 4 8 33 19 5 9 10 2 12 13 14 24 16 17 21 7 32 . . .

8 1 22 9 16 1 3 16 1 3 22 22 27 13 1 9 22 16 27 16 16 . . .

9 1 5 27 25 5 18 34 8 27 25 8 12 13 14 18 1 38 18 31 8 . . .

10 1 10 3 22 25 30 4 25 9 16 10 27 13 1 36 16 22 12 4 4 . . .

∗ ∗ . . .

Modulo 6 (compos´e pair) :

1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 1 4 3 4 1

3 1 2 3 4 5

4 1 4 3 4 1

5 1 2 3 4 5

6 1 4 3 4 1

7 1 2 3 4 5

8 1 4 3 4 1

9 1 2 3 4 5

10 1 4 3 4 1

∗ ∗

Modulo 8 (compos´e pair) :

1 2 3 4 5 6 7

1 1 2 3 4 5 6 7

2 1 4 1 0 1 4 1

3 1 0 3 0 5 0 7

4 1 0 1 0 1 0 1

5 1 0 3 0 5 0 7

6 1 0 1 0 1 0 1

7 1 0 3 0 5 0 7

8 1 0 1 0 1 0 1

9 1 0 3 0 5 0 7

10 1 0 1 0 1 0 1

∗ ∗ ∗ ∗