Probabilit´es (INCOMPLET)

Probabilit´es (INCOMPLET)

Pascal Maillard ¹

9 f´ evrier 2019

1. avec des modifications et ajouts d’Olivier H´ enard

2

Table des mati` eres

0 Pr´ eliminaires 5

0.1 Bibliographie conseill´ ee . . . . 5

0.2 Bagage math´ ematique . . . . 5

0.2.1 S´ eries de fonctions et int´ egrales ` a param` etre . . . . 6

0.2.2 S´ eries enti` eres . . . . 7

0.2.3 Th´ eor` emes de Fubini et Tonelli . . . . 8

0.3 Rappels du cours de probas en L2 . . . . 9

0.3.1 Probabilit´ es . . . . 9

0.3.2 Variables al´ eatoires . . . . 10

0.3.3 Par la suite. . . . . . . 10

1 Variables al´ eatoires r´ eelles 13 1.1 D´ efinition et axiomes . . . . 13

1.1.1 Axiomes des probabilit´ es . . . . 14

1.2 Ev´ ´ enements . . . . 16

1.3 Fonction de r´ epartition . . . . 17

1.4 Classes de variables al´ eatoires . . . . 19

1.5 Quelques variables al´ eatoires discr` etes importantes . . . . 22

1.5.1 Loi de Dirac . . . . 22

1.5.2 Loi uniforme . . . . 23

1.5.3 Loi de Bernoulli . . . . 23

1.5.4 Loi binomiale . . . . 24

1.5.5 Loi de Poisson . . . . 24

1.5.6 Loi g´ eom´ etrique . . . . 25

1.5.7 Autres lois discr` etes . . . . 25

1.6 Quelques variables al´ eatoires continues importantes . . . . 26

1.6.1 Loi uniforme . . . . 26

1.6.2 Loi normale (ou gaussienne) . . . . 26

1.6.3 Loi exponentielle . . . . 28

1.6.4 Loi gamma . . . . 28

1.6.5 Loi de Cauchy . . . . 28

1.6.6 Autres lois ` a densit´ e . . . . 29

1.7 Loi d’une fonction d’une variable al´ eatoire . . . . 29

3

4 TABLE DES MATI ` ERES

2 Esp´ erance et moments 35

2.1 Esp´ erance d’une variable al´ eatoire . . . . 35

2.1.1 Variable al´ eatoire positive ou nulle . . . . 35

2.1.2 Variable al´ eatoire sign´ ee . . . . 36

2.2 Esp´ erance d’une fonction d’une variable al´ eatoire . . . . 37

2.3 Moments et quantit´ es associ´ ees . . . . 39

2.3.1 Esp´ erance . . . . 39

2.3.2 Variance . . . . 40

2.3.3 Asym´ etrie . . . . 42

2.3.4 Kurtosis . . . . 43

2.4 Fonction g´ en´ eratrice des moments . . . . 43

2.5 In´ egalit´ es . . . . 45

2.5.1 In´ egalit´ e de Markov . . . . 46

2.5.2 In´ egalit´ e de Tchebychev . . . . 46

2.5.3 In´ egalit´ e de Jensen . . . . 47

2.5.4 Une formule g´ en´ erale pour l’esp´ erance d’une variable al´ eatoire positive 47

Chapitre 0

Pr´ eliminaires

0.1 Bibliographie conseill´ ee

Pour le contenu du cours :

— Ross, S. , Initiation aux probabilit´ es, Presses polytechniques et universitaires romandes

— Bogaert, P. , Probabilit´ es pour scientifiques et ing´ enieurs, de boeck

Pour les pr´ eliminaires en math´ ematiques et en probabilit´ es en particulier, voir ci-dessous.

0.2 Bagage math´ ematique

Les probabilit´ es mettent ` a l’œuvre un grand nombre d’outils math´ ematiques, surtout du domaine de l’analyse. Pour profiter pleinement du cours, il est donc imp´ eratif de rafraˆıchir ses connaissances en analyse et d’ˆ etre ` a l’aise en calcul. En particulier, il est important de revoir les sujets suivants qui ont ´ et´ e trait´ es en L1-L2 (liste non exhaustive) :

— suites et limites

— sommes et s´ eries : convergence (absolue ou non), somme t´ elescopique, changement d’indice, double sommes, s´ eries enti` eres, valeurs des s´ eries classiques : somme des en- tiers, s´ erie g´ eom´ etrique, . . .

— fonctions : continuit´ e, d´ efinition de la d´ eriv´ ee, d´ erivation des produits, des compos´ ees, des fonctions r´ eciproques, DLs, d´ eveloppement de Taylor, propri´ et´ es des fonctions clas- siques (polynˆ omes, exponentielle, logarithme, fonctions trigonom´ etriques, et fonctions trigonom´ etriques inverses), comportement asymptotique

— int´ egration : int´ egrale sur un intervalle born´ e, int´ egrale impropre, int´ egration par par- ties, changement de variables

— s´ eries de fonctions et int´ egrales ` a param` etre : convergence simple/uniforme/normale,

´

echange limite ←→ somme, limite ←→ int´ egrale, d´ erivation sous les signes somme et int´ egrale

Ces sujets sont bien expos´ es dans un grand nombre de livres et de notes de cours. Le dernier sujet (s´ eries de fonctions et int´ egrales ` a param` etre) est peut-ˆ etre moins bien trait´ e, c’est pourquoi nous donnons ci-dessous les r´ esultats ` a retenir.

Nous aurons ´ egalement besoin de r´ esultats sur les sujets suivants trait´ es dans le cours d’Int´ egration en L3 :

— th´ eor` emes de Fubini et Tonelli : interversion s´ erie ←→ s´ erie, s´ erie ←→ int´ egrale, int´ egrale ←→ int´ egrale

5

6 CHAPITRE 0. PR ´ ELIMINAIRES

— int´ egrales multiples : int´ egration sur un domaine de R ^d , changement de coordonn´ ees Nous anticipons d´ ej` a les th´ eor` emes de Fubini et Tonelli que nous donnons ci-dessous. En ce qui concerne les int´ egrales multiples, nous allons patienter.

0.2.1 S´ eries de fonctions et int´ egrales ` a param` etre

Nous nous int´ eressons ` a des quantit´ es ayant une des formes suivantes : X

k∈ N

f _n,k

Z ∞

−∞

f n (y) dy

X

k∈ N

f _k (x) Z ∞

−∞

f (x, y) dy

Dans ce tableau, n, k ∈ N , y ∈ R et x ∈ I avec I un intervalle. On peut aussi consid´ erer d’autres int´ egrales telles que ^R _−∞ ^a ou ^R _a ^b pour a, b ∈ R mais on peut se ramener au cas ci- dessus en posant f _n (y) = 0 ou f(x, y) = 0 en dehors du domaine d’int´ egration. Pour les deux quantit´ es de la premi` ere ligne du tableau, on souhaite alors avoir des conditions sous lesquelles on a le droit d’´ echanger le signe somme ou int´ egrale et le signe lim <sub>n→∞</sub> , c’est-` a-dire :

Q : a-t-on lim

n→∞

X

k∈ N

f _n,k = ^X

k∈ N

n→∞ lim f _n,k ou lim

n→∞

Z ∞

−∞

f _n (y) dy = Z ∞

−∞

n→∞ lim f _n (y) dy ? De mani` ere analogue, pour les deux quantit´ es de la deuxi` eme ligne du tableau, on souhaite avoir des conditions sous lesquelles on a le droit d’´ echanger le signe somme ou int´ egrale et le signe lim x→x

, ou, autrement dit,

Q’ : les quantit´ es ^X

k∈ N

f _k (x) ou Z ∞

−∞

f(x, y) dy sont-elles continues en x ? Pour ces deux derni` eres quantit´ es, on souhaite ´ egalement savoir si on a le droit de d´ eriver (par rapport ` a x) sous les signes somme ou int´ egrale, c’est-` a-dire :

Q” : a-t-on d dx

X

k∈ N

f k (x) = ^X

k∈ N

d

dx f k (x) ou d dx

Z ∞

−∞ f (x, y) dy = Z ∞

−∞

∂

∂x f(x, y) dy ? La cl´ e pour r´ epondre ` a ces questions est la notion de convergence normale. On l’´ enonce s´ epar´ ement pour les quantit´ es de la premi` ere colonne et celles de la deuxi` eme colonne du tableau ci-dessus.

D´ efinition 0.1 (Convergence normale). On dit que les s´ eries ^P _k∈

N f n,k ou ^P _k∈

N f k (x) convergent normalement s’il existe une suite (g _k ) _{k∈ N} de nombres positifs telle que

1. ^P _k∈

N g _k < ∞ et

2. |f _n,k | < g k pour tout n ∈ N (ou |f _k (x)| < g k pour tout x ∈ I).

De mani` ere analogue, on dit que les int´ egrales ^R _−∞ ^∞ f n (y) dy ou ^R _−∞ ^∞ f (x, y) dy convergent normalement s’il existe une fonction (positive) g : R → R + telle que

1. ^R _−∞ ^∞ g(y) dy < ∞ et

2. |f _n (y)| < g(y) pour tout n ∈ N (ou |f (x, y)| < g(y) pour tout x ∈ I).

0.2. BAGAGE MATH ´ EMATIQUE 7 Les th´ eor` emes suivants donnent alors les r´ eponses aux questions pr´ ec´ edantes :

Theor` eme 0.2. Supposons qu’une des quantit´ es du tableau ci-dessus converge normalement.

Alors la r´ eponse ` a la question Q ou Q’ concernant cette quantit´ e est

oui

.

Theor` eme 0.3. 1. Supposons que f _k : I → R est d´ erivable pour tout k. Supposons de plus que

(a) ^P _n∈

N f _k (x) converge simplement (i.e. converge pour tout x ∈ I), et (b) ^P _n∈

N d

dx f _k (x) converge normalement.

Alors la r´ eponse ` a la question Q” concernant ^P _n∈

N f _k est

oui

.

2. Supposons que f (x, y) : I × R → R admet une d´ eriv´ ee partielle par rapport ` a x pour tout y. Supposons de plus que

(a) ^R _−∞ ^∞ f (x, y) dy converge pour tout x ∈ I , et (b) ^R _−∞ ^∞ _∂x ^∂ f (x, y) dy converge normalement.

Alors la r´ eponse ` a la question Q” concernant ^R _−∞ ^∞ f (x, y) dy est

oui

. 0.2.2 S´ eries enti` eres

En probabilit´ es, on rencontre assez souvent des s´ eries enti` eres, et les r´ esultats pr´ ec´ edents s’appliquent alors tr` es simplement. Une s´ erie enti` ere est formellement not´ ee <sup>P</sup> <sub>n≥0</sub> a n z <sup>n</sup> , o` u (a _n ) _{n∈ N} est une suite de nombres r´ eels (ou complexes). La somme de la s´ erie enti` ere est la fonction qui ` a tout complexe z tel que ^P a _n z ⁿ converge, associe

f(z) = ^X

n

a ⁿ z ⁿ .

Quelques exemples importants de s´ eries enti` eres figurent dans le Tableau 1.

La premi` ere question ` a se poser est de savoir o` u converge cette somme. ` A cet effet, on introduit :

D´ efinition 0.4 (Rayon et disque de convergence). On appelle rayon de convergence de la s´ erie enti` ere le r´ eel R d´ efini par

R = sup{r ≥ 0 : ^X

n

|a _n |r ⁿ est born´ ee}

et on appelle disque de convergence de la s´ erie enti` ere ^P a n r ⁿ le disque ouvert D R = {z ∈ C : |z| < R} de rayon R est de centre 0.

On peut alors fournir une r´ eponse ` a la question pr´ ec´ edente : une s´ erie enti` ere converge absolument sur son disque de convergence. De plus la convergence est normale sur tout disque ferm´ e inclus dans le disque de convergence, en particulier sur D r = {z ∈ C : |z| ≤ r}, avec r < R. Par d´ efinition, la s´ erie diverge grossi` erement en dehors de D r ; sur le cercle de convergence D _r \ D _r enfin, la situation est bien plus d´ elicate et aucune possibilit´ e ne peut ˆ etre exclue.

Concernant la d´ erivation terme ` a terme, le cadre des s´ eries enti` eres est particuli` erement

commode comme le montre le th´ eor` eme suivant :

8 CHAPITRE 0. PR ´ ELIMINAIRES

1 1 − z =

∞

X

n=0

z ⁿ = 1 + z + z ² + z ³ + · · · R = 1

exp(z) =

∞

X

n=0

z ⁿ

n! = 1 + z + z ² 2 + z ³

6 + · · · R = ∞

ln(1 + z) =

+∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ z ⁿ

n = z − z ² 2 + z ³

3 − z ⁴

4 + · · · R = 1 n ∈ N, (1 + x) ⁿ =

n

X

k=0

n k

!

x ^k = 1 + nz + n(n − 1)

2 z ² + · · · + nz ⁿ⁻¹ + z ⁿ R = ∞ α ∈ R \ N , (1 + z) ^α =

∞

X

n=0

α (α − 1) . . . (α − n + 1)

n! z ⁿ = 1 + αz + α(α − 1)

2 z ² + · · · R = 1 cos z =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ z ²ⁿ

(2n)! = 1 − x ² 2! + x ⁴

4! − x ⁶

6! + · · · R = ∞ sin z =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ z ²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! = z − z ³ 3! + z ⁵

5! − z ⁷

7! + · · · R = ∞ arctan z =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ z ^{2 n+1}

2 n + 1 = z − z ³ 3 + z ⁵

5 − z ⁷

7 + · · · R = 1

Table 1 – Quelques s´ eries enti` eres importantes et leur rayon de convergence R.

Theor` eme 0.5. La somme f (z) = <sup>P</sup> <sub>n</sub> a <sup>n</sup> z <sup>n</sup> de la s´ erie enti` ere est ind´ efiniment d´ erivable sur son disque de convergence D _R . Sa d´ eriv´ ee est la somme de la s´ erie d´ eriv´ ee terme ` a terme, qui a mˆ eme rayon de convergence :

∀z ∈ D R , f ⁰ (z) =

∞

X

n=1

na n z ⁿ⁻¹ = a 1 + 2a 2 z + · · · + na n z ⁿ⁻¹ + · · · Si donc R > 0, on a, pour tout n ∈ N ,

a _n = f ⁽ⁿ⁾ (0) n! ·

En particulier, deux s´ eries enti` eres qui coincident sur un intervalle ouvert contenant 0 sont

´

egales, c’est-` a-dire qu’on peut identifier la suite de leurs coefficients.

0.2.3 Th´ eor` emes de Fubini et Tonelli

On s’int´ eresse maintenant ` a des quantit´ es de la forme X

n∈ N



 X

m∈ N

f _n,m



 , ^X

n∈ N

Z ∞

−∞

f _n (y) dy

, Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f (x, y) dy

dx.

On souhaite savoir si on a le droit d’intervertir les signes somme et/ou int´ egrale, c’est-` a-

dire, on souhaite r´ epondre ` a la question suivante : Les quantit´ es ci-dessus sont-elles ´ egales ` a

0.3. RAPPELS DU COURS DE PROBAS EN L2 9 (respectivement) :

X

m∈ N



 X

n∈ N

f n,m



 , Z ∞

−∞



 X

n∈ N

f n (y) dy



 , Z ∞

−∞

Z ∞

−∞ f (x, y) dx

dy ? Un premi` ere r´ eponse est apport´ ee par le th´ eor` eme de Tonelli :

Theor` eme 0.6 (Tonelli, parfois appel´ e Fubini–Tonelli ou Fubini cas positif). Supposons que les nombres f _n,m sont positifs : f _n,m ≥ 0 pour tout n, m ∈ N . Alors

X

n∈ N



 X

m∈ N

f n,m



 = ^X

m∈ N



 X

n∈ N

f n,m



 .

Les r´ esultats analogues pour les autres quantit´ es sont ´ egalement vrais.

Ce th´ eor` eme est tr` es utile pour nous car les probabilit´ es sont justement des quantit´ es positives ! Notons aussi que le th´ eor` eme est vrai mˆ eme si les s´ eries/int´ egrales divergent, il n’y a donc pas besoin de v´ erifier au pr´ ealable qu’elles convergent.

Si les termes ne sont pas positifs, on peut souvent appliquer le th´ eor` eme suivant : Theor` eme 0.7 (Fubini). Supposons qu’une des conditions ´ equivalentes sont satisfaites :

— ^P _n∈

N ( ^P _m∈

N |f _n,m |) < ∞ ou

— ^P _m∈

N ( ^P _n∈

N |f _n,m |) < ∞ Alors on a l’´ egalit´ e suivante :

X

n∈ N



 X

m∈ N

f n,m



 = ^X

m∈ N



 X

n∈ N

f n,m



 , c’est-` a-dire que les deux s´ eries convergent et ont la mˆ eme limite.

Les r´ esultats analogues pour les autres quantit´ es sont ´ egalement vrais.

Notons que l’´ equivalence des deux conditions du th´ eor` eme d´ ecoule de Fubini cas positif.

0.3 Rappels du cours de probas en L2

On rappelle quelques ´ el´ ements de probabilit´ es vus en L2. R´ ef´ erence : notes de cours d’Anne Broise (disponible sur Dokeos).

0.3.1 Probabilit´ es

On consid` ere une exp´ erience al´ eatoire ayant un nombre fini ou d´ enombrable de r´ esultats

possibles. Exemple : jet d’un ou de plusieurs d´ es, r´ ealisation d’un sondage avec un nombre

fini de r´ eponses, mesure du nombre de particules ´ emis par une mati` ere radioactive pendant

un certain temps, observation du nombre de personnes dans une file d’attente ` a un moment

donn´ e, nombre d’enfants d’une personne prise au hasard dans une population. . . On formalise

une telle exp´ erience souvent par un ensemble fini ou d´ enombrable Ω qui contient tous les

r´ esultats possibles. Un ´ el´ ement de Ω est typiquement not´ e ω et on suppose qu’on peut lui

10 CHAPITRE 0. PR ´ ELIMINAIRES associer une probabilit´ e p(ω) qui est un nombre entre 0 et 1. On suppose de plus que la somme des probabilit´ es de tous les r´ esultats vaut 1 :

X

ω∈Ω

p(ω) = 1.

La fonction p est alors parfois appel´ ee fonction de masse o` u germe de probabilit´ e. Ce dernier nom s’explique par le fait que cette fonction permet de donner une probabilit´ e ` a n’importe quel ´ ev´ enement, un ´ ev´ enement ´ etant un ensemble de r´ esultats poss´ edant une certaine ca- ract´ eristique commune. On penserait par exemple ` a l’´ ev´ enement

nombre pair

lors du lancer d’un d´ e de six faces, qui correspond ` a l’ensemble {2, 4, 6}. Formellement, un ´ ev´ enement n’est alors rien d’autre qu’une partie de Ω. On les note typiquement par des lettres majuscules du d´ ebut de l’alphabet : A, B, C, . . . La probabilit´ e d’un ´ ev´ enement A ⊂ Ω, not´ ee P (A) dans ce cours, est alors la somme des probabilit´ es des r´ esultats que comprend cet ´ ev´ enement :

P (A) = ^X

ω∈A

p(ω).

La fonction P : P(Ω) → [0, 1] est ´ egalement appel´ ee probabilit´ e (ou mesure de probabilit´ e) sur Ω et la fonction p est alors appel´ ee sa fonction de masse ou son germe. Par exemple, dans le cas du d´ e ci-dessus, on prendrait typiquement Ω = {1, . . . , 6} et p(ω) = 1/6 pour tout ω ∈ Ω.

0.3.2 Variables al´ eatoires

Il arrive que l’espace Ω soit trop gros pour travailler avec directement ou qu’on ne s’int´ eresse qu’` a certaines propri´ et´ es du r´ esultat de l’exp´ erience. Typiquement, on associe alors un nombre r´ eel ` a un r´ esultat qui contient l’information qu’on cherche. Par exemple, lors d’un sondage on pourrait d´ efinir X comme ´ etant le num´ ero du candidat ayant remport´ e le plus de voix. X est alors une variable qui peut prendre n’importe quelle valeur dans {1, . . . , n}, o` u n est le nombre de candidats, et sa valeur est al´ eatoire, c’est-` a-dire elle d´ epend du r´ esultat de l’exp´ erience al´ eatoire. On l’appelle alors une variable al´ eatoire r´ eelle ou tout simplement une variable al´ eatoire ¹ . On note les variables al´ eatoires typiquement par des lettres majuscules de la fin de l’alphabet : X, Y, Z, . . . Remarquons aussi que formellement, une variable al´ eatoire X n’est rien d’autre qu’une fonction X : Ω → R .

0.3.3 Par la suite. . .

Le moment est venu pour une remarque importante qui va simplifier grandement la suite des op´ erations.

Il s’est av´ er´ e au fil du temps qu’il est souvent plus commode de travailler enti` erement avec des variables al´ eatoires et d’ignorer compl` etement l’espace Ω. Les avantages sont multiples :

— On peut modifier Ω (par exemple en ajoutant des informations suppl´ ementaires sur le r´ esultat de l’exp´ erience) sans avoir ` a r´ e´ ecrire des calculs, ´ enonc´ es etc. concernant des variables al´ eatoires.

— On n’est pas oblig´ e de pr´ eciser Ω, seulement des ´ el´ ements qui nous int´ eressent.

1. On peut consid´ erer des variables al´ eatoires qui ne prennent pas valeurs dans l’ensemble des nombres

r´ eelles mais dans des espaces plus g´ en´ eraux, mais nous n’allons pas consid´ erer ces variables al´ eatoires dans ce

cours.

0.3. RAPPELS DU COURS DE PROBAS EN L2 11

— On peut plus facilement formuler des ´ enonc´ es g´ en´ eraux ne d´ ependant pas de la d´ efinition pr´ ecise d’un espace Ω.

— Dans le cas ou Ω ne peut pas ˆ etre fini ou d´ enombrable, on n’est pas oblig´ e de consid´ erer des espaces g´ en´ eraux et abstraits, mais seulement des variables al´ eatoires ` a valeurs dans R , donc des probabilit´ es sur R .

— Philosophiquement, cette approche peut ˆ etre consid´ er´ ee plus satisfaisante dans le sens o` u dans une situation r´ eelle on ne connait jamais enti` erement

l’univers

(donc Ω) mais plutˆ ot partiellement ` a partir d’observations (les variables al´ eatoires).

— Enfin, techniquement, si effectivement la th´ eorie des probabilit´ es use des outils de la th´ eorie de la mesure (abstraite) et de l’int´ egration, les objets d’´ etude sont bien diff´ erents dans les deux domaines ; en probabilit´ e, l’espace Ω est souvent rel´ egu´ e au second plan, les quantit´ es d’int´ erˆ et ´ etant souvent d´ efinies en fonction des seules lois des variables al´ eatoires en jeu. Si une compr´ ehension fine des probabilit´ es passe par l’espace Ω, on gagnera en premi` ere approche ` a ignorer simplement cet espace Ω.

Par cons´ equent, dans la suite du cours, nous n’allons plus entendre parler d’espace Ω,

mais tr` es souvent de variables al´ eatoires.

12 CHAPITRE 0. PR ´ ELIMINAIRES

Chapitre 1

Variables al´ eatoires r´ eelles

1.1 D´ efinition et axiomes

Une fonction de masse pour une variable al´ eatoire continue ? On cherche ` a mod´ eliser une exp´ erience ayant un r´ esultat al´ eatoire. On suppose qu’on observe le r´ esultat ` a partir d’une variable al´ eatoire (v.a.) X qui prend ses valeurs dans les nombres r´ eels. Pr´ ec´ edemment, nous avons toujours suppos´ e qu’une variable al´ eatoire peut prendre seulement un nombre fini ou d´ enombrable de valeurs, on dit dans ce cas que c’est une variable al´ eatoire discr` ete. Mainte- nant nous souhaitons nous affranchir de cette contrainte. Par contre, nous allons nous faciliter la vie : nous ne cherchons pas ` a d´ efinir formellement ce qu’est cette variable al´ eatoire mais seulement ce qu’on peut faire avec. Concr` etement, on souhaite donner un sens ` a la probabilit´ e que la valeur de cette v.a. X tombe dans un ensemble A ⊂ R donn´ e, c’est-` a-dire, ` a l’expression P(X ∈ A).

On se trouve ici devant un nouveau probl` eme : pr´ ec´ edemment, quand une variable al´ eatoire ne pouvait prendre qu’un nombre fini ou d´ enombrable de valeurs (notons l’ensemble de valeurs S _X ), on pouvait toujours ´ ecrire la probabilit´ e P (X ∈ A) comme la somme ^P _x∈A P (X = x).

Donc il suffisait de donner la valeur de P (X = x) pour tout x ∈ S X pour d´ efinir les probabilit´ es P(X ∈ A) pour tout A ⊂ S X , c’est-` a-dire la loi de la variable al´ eatoire X. Il s’av` ere que cela n’est plus le cas en g´ en´ eral. Par exemple, supposons qu’on souhaite donner un sens ` a un nombre choisi uniform´ ement dans l’intervalle [0, 1]. On va mod´ eliser cela par une variable al´ eatoire X qui prend valeurs dans [0, 1]. Quelle doit ˆ etre la probabilit´ e que la variable al´ eatoire tombe dans un ensemble A ⊂ [0, 1] donn´ e ? Consid´ erons pour l’instant seulement le cas o` u A consiste en exactement un point. Puisque X correspond ` a un nombre choisi uniform´ ement dans l’intervalle [0, 1], on s’attend ` a ce que la probabilit´ e que X est ´ egal ` a un nombre donn´ e ne d´ epende pas de ce nombre, autrement dit :

P (X = x) = P (X = y) pour tout x, y ∈ [0, 1].

Mais puisque l’intervalle [0, 1] contient un nombre infini de points, cela entraine que P (X = x) = 0 pour tout x ∈ [0, 1] (dans le cas inverse, on pourrait d´ eduire que P (X ∈ [0, 1]) = ∞).

La connaissance de P (X = x) pour tout x ne permet donc pas de d´ efinir P (X ∈ A) pour tout ensemble A.

13

14 CHAPITRE 1. VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES 1.1.1 Axiomes des probabilit´ es

On doit alors trouver un autre moyen pour d´ efinir les probabilit´ es P (X ∈ A) pour des ensembles A ⊂ R . L’observation importante est la suivante : ces probabilit´ es ne peuvent ˆ etre compl` etement arbitraires mais doivent ob´ eir ` a certaines r` egles, par exemple, si A, B ⊂ R sont disjoints, c’est-` a-dire que leur intersection est vide, alors nous souhaitons que

P (X ∈ A ∪ B ) = P (X ∈ A) + P (X ∈ B ).

Pour d´ efinir toutes les lois possibles d’une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans R , on com- mence alors par ´ enoncer un certain nombre de r` egles, appel´ es axiomes. Pour simplifier le d´ eveloppement par la suite, nous introduisons ` a ce stade une convention :

Par la suite, chaque ensemble A ⊂ R est suppos´ e ˆ etre de la forme suivante : soit un intervalle, soit la r´ eunion d’un nombre fini d’intervalles disjoints. La notion d’intervalle inclut les intervalles ouverts, semi-ouverts ou ferm´ es, les intervalles finis, semi-infinis ou infinis, et en particulier l’ensemble vide ∅ ainsi que l’ensemble R tout entier.

On note A ^c = R \A le compl´ ementaire de A. On remarque que si A ⊂ R est de la forme ci- dessus, alors A ^c l’est aussi (preuve laiss´ ee en exercice). Egalement, si A et B sont de la forme ci-dessus, alors A ∪ B et A ∩ B le sont aussi (exercice). Par contre, si A ₀ , A ₁ , A ₂ , . . . est une suite d’ensembles de la forme ci-dessus, alors ^S _n∈

N A _n et ^T _n∈

N A _n ne sont plus n´ ecessairement de cette forme.

Nous allons pr´ eciser maintenant les r` egles de calcul des quantit´ es P (X ∈ A), c’est-` a-dire les axiomes qu’on suppose ˆ etre valables : on suppose que

1. P (X ∈ A) ≥ 0 pour tout A ⊂ R (positivit´ e) 2. P (X ∈ ∅) = 0 et P(X ∈ R ) = 1,

3. Si A, B ⊂ R sont disjoints, alors

P (X ∈ A ∪ B ) = P (X ∈ A) + P(X ∈ B) (additivit´ e).

Nous allons tout de suite introduire un quatri` eme axiome, mais tout d’abord, remarquons que ces axiomes entraˆınent les propri´ et´ es suivantes :

— Si A ⊂ B, alors

P(X ∈ A) ≤ P (X ∈ B) (monotonie de P(X ∈ A) en A).

— P (X ∈ A) ∈ [0, 1] pour tout A ∈ R .

— Si A ⊂ B, alors

P (X ∈ B\A) = P (X ∈ B) − P (X ∈ A).

En particulier (B = R ),

P (X ∈ A ^c ) = 1 − P (X ∈ A).

— Si A 0 , A 1 , . . . , A n ⊂ R sont deux ` a deux disjoints, alors P X ∈

n

[

k=0

A k

!

=

n

X

k=0

P (X ∈ A k ) (additivit´ e finie).

1.1. D ´ EFINITION ET AXIOMES 15 En effet, la propri´ et´ e de monotonie et la formule pour P (X ∈ B\A) se montrent ainsi : pour A ⊂ B, on a B = A ∪ (A\B), les deux ensembles ´ etant disjoints. L’axiome 3 donne alors :

P (X ∈ B) = P (X ∈ A) + P (X ∈ B\A).

La propri´ et´ e de monotonie d´ ecoule puisque P (X ∈ B\A) ≥ 0 par l’axiome 1. La formule P(X ∈ B \A) s’obtient en r´ earrangeant. Finalement, le fait que P (X ∈ A) ∈ [0, 1] pour tout A ∈ R est une simple cons´ equence de la monotonie. La propri´ et´ e d’additivite finie d´ ecoule de la propri´ et´ e d’additivit´ e par une r´ ecurrence finie.

On peut finalement pr´ esenter le quatri` eme axiome :

4. Si A ₀ , A ₁ , A ₂ , . . . est une suite croissante d’ensembles (c’est-` a-dire A _n ⊂ A _n+1 pour tout n ∈ N ) et telle que ^S _{n∈ N} A _n est encore un ensemble de la forme ci-dessus, alors

P



 X ∈ ^[

n∈ N

A n



 = lim

n→∞ P(X ∈ A n ).

Notons que cette limite existe puisque P (X ∈ A n ) est une suite croissante par la monotonie de P (X ∈ A) en A ´ enonc´ ee ci-dessus.

Cet axiome n´ ecessite ´ eventuellement une explication : avec les axiomes 1 ` a 3, on avait d´ ej` a l’in´ egalit´ e

≥

(exercice). Le vrai ´ enonc´ e de l’axiome 4 est qu’on a aussi l’in´ egalit´ e inverse,

`

a savoir

≤

. Intuitivement, cela signifie que lors un passage ` a la limite, on ne peut pas cr´ eer de la probabilit´ e ex nihilo.

Remarquons aussi que l’axiome 4 est ´ equivalent ` a l’axiome suivant, comme le d´ emontre un passage au compl´ ementaire :

4’. Si A ₀ , A ₁ , A ₂ , . . . est une suite d´ ecroissante d’ensembles (c’est-` a-dire A _n ⊂ A _n+1 pour tout n ∈ N ) et telle que ^T _{n∈ N} A _n est encore un ensemble de la forme ci-dessus, alors

P



 X ∈ ^\

n∈ N

A n



 = lim

n→∞ P(X ∈ A n ).

Les axiomes mis en place, on peut passer ` a la d´ efinition d’une variable al´ eatoire : on dit que X est une variable al´ eatoire s’il existe une famille de nombres (P (X ∈ A)) A⊂ R (ou, autrement dit, une fonction A 7→ P (X ∈ A) ` a valeurs dans R ) qui satisfait aux axiomes 1 ` a 4 ci-dessus. Cette famille/fonction est appel´ ee la loi de X. On dit ´ egalement que X suit cette loi.

Une cons´ equence importante de l’axiome 4 et de l’axiome d’additivit´ e est la propri´ et´ e de sigma-additivit´ e :

1. Si A 0 , A 1 , A 2 , . . . est une suite d’ensembles deux ` a deux disjoints (c’est-` a-dire que m 6= n implique A m ∩ A n = ∅), alors

P



 X ∈ ^[

n∈ N

A n



 = ^X

n∈ N

P (X ∈ A n ) (sigma-additivit´ e).

Posons en effet B _n = ∪ ⁿ _k=0 A _k (r´ eunion disjointe), alors B ₀ , B ₁ , B ₂ , . . . est une suite

croissante d’ensembles qui v´ erifie ∪ _{n∈ N} B n = ∪ _{n∈ N} A n , appliquant alors successivement

16 CHAPITRE 1. VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES l’axiome 4 et la propri´ et´ e d’additivit´ e, on obtient :

P



 X ∈ ^[

n∈ N

A _n



 = P



 X ∈ ^[

n∈ N

B _n



 = lim

n→∞ P (X ∈ B _n ) = lim

n→∞

n

X

k=0

P (X ∈ A _k ), et cette derni` ere expression correspond bien ` a ^P _n∈

N P (X ∈ A _n ) par d´ efinition.

Notons que nous aurons ´ egalement parfois besoin de d´ efinir P (X ∈ A) pour A un en- semble qui n’est pas de la forme ci-dessus, par exemple A = N ou n’importe quel en- semble d´ enombrable. On se bornera aux ensembles A qui sont la limite monotone d’une suite d’ensembles (A n ) _n≥0 ayant la forme ci-dessus (r´ eunion d’un nombre fini d’intervalles).

Par limite monotone on entend les ensembles ^S _n A _n (ou ^T _n A _n ) pour une suite croissante (ou d´ ecroissante) (A _n ) _n≥0 , comme dans les axiomes 4 et 4’. On d´ efinit alors P (X ∈ A) = lim _n→∞ P (X ∈ A n ), o` u on note que la limite est toujours bien d´ efinie par monotonie de la suite P (X ∈ A _n ). Un exemple d’un tel ensemble est l’ensemble des rationnels Q , ou n’im- porte quel ensemble d´ enombrable D ⊂ R . Pour un tel ensemble, notons qu’avec la d´ efinition ci-dessus, on a P (X ∈ D) = ^P _x∈D P (X = x).

1.2 Ev´ ´ enements

Nous rappelons qu’un ´ ev´ enement est simplement un sous-ensemble de l’ensemble des r´ esultats d’une exp´ erience al´ eatoire, et l’´ ev´ enement est dit ”r´ ealis´ e” si le r´ esultat de l’exp´ erience fait partie de cet ensemble. Par exemple, lors d’un lancer de d´ e, on pourrait s’int´ eresser ` a l’´ ev´ enement E ”le d´ e donne un nombre pair”. Si X est la v.a. qui repr´ esente le nombre donn´ e par le d´ e, cet ´ ev´ enement s’´ ecrit alors symboliquement E = {X ∈ {2, 4, 6}}, ou encore E = {X pair}. L’´ ev´ enement E se r´ ealise alors avec probabilit´ e P (E) = P (X ∈ {2, 4, 6}) (notez qu’on n’´ ecrit plus les accolades dans cette derni` ere expression).

Dans ce cours, nous consid´ erons seulement les ´ ev´ enements qui sont d´ efinis ` a partir de variables al´ eatoires, donc des ´ ev´ enements de la forme E = {X ∈ A} pour X une variable al´ eatoire et A ⊂ R . La probabilit´ e d’un tel ´ ev´ enement est alors d´ efinie comme P (E) = P(X ∈ A). On peut ´ egalement appliquer les op´ erations habituelles pour les ensembles ` a ces

´ ev´ enements, avec les notations ´ evidentes. Par exemple : {X ∈ A} ^c = {X ∈ A ^c } {X ∈ A} ∪ {X ∈ B} = {X ∈ A ∪ B}

{X ∈ A} ∩ {X ∈ B} = {X ∈ A ∩ B}

D´ efinition 1.1. Un ´ ev´ enement de probabilit´ e 1 est dit presque sˆ ur. Un ´ ev´ enement de pro- babilit´ e null est dit n´ egligeable.

Ainsi, un ´ ev´ enement n´ egligeable est le compl´ ementaire d’un ´ ev´ enement presque sˆ ur. On rencontre quelquefois la notation :

X ∈ A, p.s. ¹ qui signifie P (X ∈ A) = 1.

et se lit :

presque sˆ urement, X appartient ` a A

.

1. et dans la litt´ erature anglo-saxonne, a.s., pour almost surely, remplace p.s.

1.3. FONCTION DE R ´ EPARTITION 17

1.3 Fonction de r´ epartition

Nous avons vu dans la Section 1.1 la d´ efinition d’une variable al´ eatoire et de sa loi ` a partir des axiomes 1 ` a 4. La loi d’une variable al´ eatoire X ´ etait donn´ ee par une famille de nombres r´ eels index´ ees par les ensembles A ⊂ R . Cette d´ efinition semble ˆ etre assez encombrante si on veut d´ efinir une loi particuli` ere, car il faudrait prendre en compte tous les ensembles A ⊂ R qui peuvent avoir des formes assez complexes. Dans le cas d’une v.a. discr` ete X (c’est-` a- dire o` u X ne prend qu’un nombre fini ou d´ enombrable de valeurs), on peut se ramener aux valeurs P (X = x) pour tout x (c’est-` a-dire ` a la fonction de masse), ce qui repr´ esente une grande simplification. Nous avons vu dans la section pr´ ec´ edente que ceci n’est plus possible dans le cadre g´ en´ eral, car ces valeurs peuvent ˆ etre ´ egales ` a z´ ero pour tout x ∈ R . L’astuce consiste alors ` a consid´ erer les valeurs de P (X ≤ x) pour tout x ∈ R . Remarquons qu’on aurait ´ egalement pu prendre P (X < x), P (X ≥ x) ou P (X > x), mais la convention a retenu P(X ≤ x). Ceci donne lieu ` a une fonction F X : R → [0, 1] d´ efinie par

F _X (x) = P (X ≤ x) pour tout x ∈ R .

La fonction F _X s’appelle la fonction de r´ epartition de X. Avec cette fonction on a atteint le mˆ eme degr´ e de simplicit´ e qu’avec la fonction de masse dans le cas d’une v.a. discr` ete, car dans les deux cas nous avons r´ eduit la notion de loi ` a la notion d’une fonction sur R , un objet que nous connaissons bien depuis le coll` ege ! Evidemment, dans le cas d’une variable al´ eatoire discr` ete, la fonction de masse de sa loi peut avoir une expression plus simple que sa fonction de r´ epartition, nous allons en voir des examples plus tard.

Il nous reste ` a montrer que la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire d´ efinit sa loi et de d´ eterminer quelles fonctions sont des fonctions de r´ epartition d’une variable al´ eatoire.

Theor` eme 1.2. 1. La fonction de r´ epartition F X d’une v.a.r. a les propri´ et´ es suivantes :

— elle est croissante,

— F X (−∞) := lim _x→−∞ F X (x) = 0,

— F _X (+∞) := lim _x→+∞ F _X (x) = 1,

— elle est continue ` a droite.

2. La loi d’une v.a.r. X est d´ etermin´ ee de mani` ere unique par sa fonction de r´ epartition F X .

3. Chaque fonction sur R ayant les propri´ et´ es donn´ ees dans 1. est la fonction de r´ epartition d’une v.a. r´ eelle.

D´ emonstration. 1. Montrons les propri´ et´ es ´ enonc´ ees :

— Croissance : Ceci est une cons´ equence imm´ ediate de la monotonie de P (X ∈ A) en A. Plus pr´ ecis´ ement, soient x, y ∈ R avec x < y. Alors ]−∞, x] ⊂ ]−∞, y], si bien que

F _X (x) = P (X ∈ ]−∞, x]) ≤ P (X ∈ ]−∞, y]) = F _X (y).

— On remarque d’abord que puisque la fonction F X est croissante et born´ ee inf´ erieurement (par 0), la limite F _X (−∞) = lim _x→−∞ F _X (x) existe. En particulier,

F _X (−∞) = lim

n→∞ F _X (−n) = lim

n→∞ P (X ∈ ]−∞, −n]).

18 CHAPITRE 1. VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES La suite d’ensembles A n = ]−∞, −n] est d´ ecroissante et d’intersection vide. L’axiome 4’ donne donc :

F _X (−∞) = P X ∈

∞

\

n=1

]−∞, −n]

!

= P (X ∈ ∅) = 0.

— Pareil que F _X (−∞), on utilise le fait que F _X est born´ ee par 1 pour montrer l’exis- tence de la limite, puis l’axiome 4 pour l’identifier.

— Continuit´ e ` a droite. Soit x ∈ R . Puisque F X est croissante et born´ ee inf´ erieurement, la limite F _X (x+) := lim y↓x F _X (y) existe. En particulier,

F X (x+) = lim

n→∞ F X (x + _n ¹ ) = P(X ∈

∞

\

n=1

]−∞, x + _n ¹ ]), o` u on a encore utilis´ e l’axiome 4’. Le point cl´ e est alors l’´ egalit´ e suivante :

∞

\

n=1

]−∞, x + _n ¹ ] = ]−∞, x].

Cela donne que F X (x+) = P(X ∈ ]−∞, x]) = F X (x) et donc F X est continue ` a droite en x. Puisque x ∈ R ´ etait arbitraire, F <sub>X</sub> est continue ` a droite sur R . 2. On veut montrer que pour tout ensemble A qui est une union finie d’intervalles dis-

joints, P (X ∈ A) s’´ ecrit ` a partir de la fonction de r´ epartition F X . On proc` ede cas par cas :

— A = ]−∞, x], x ∈ R : Par d´ efinition, P(X ∈ ]−∞, x]) = P (X ≤ x) = F _X (x).

— A = ]−∞, x[, x ∈ R : L’intervalle ouvert ]−∞, x[ s’´ ecrit comme l’union d´ enombrable d’intervalles ferm´ es :

]−∞, x[ =

∞

[

n=1

]−∞, x − ¹ _n ].

L’axiome 4 donne alors P (X < x) = lim

n→∞ P (X ≤ x − _n ¹ ) = lim

n→∞ F X (x − ¹ _n ) = F X (x−), o` u F _X (x−) := lim _y↑x F _X (x) qui existe car la fonction F _X est croissante.

— A = ]x, ∞[ ou A = [x, ∞[, x ∈ R : On utilise le fait que F(A) = 1 − F (A ^c ) et on se ram` ene aux deux premiers cas.

— A = ]x, y], x < y : On obtient

P (x < X ≤ y) = P(X ≤ y) − P (X ≤ x) = F X (y) − F X (x).

— A = [x, y], A = [x, y[ ou A = ]x, y[ : Similaire ` a A = ]x, y], avec ´ eventuellement F (y−) et F (x−) ` a la place de F (y) ou F (x). Par exemple

P (X ∈ [x, y]) = P (X ≤ x) − P (X < y) = F X (x) − F x (y−)

— A = I ₁ ∪ · · · ∪ I _n , avec I ₁ , . . . , I _n des intervalles disjoints, alors par l’axiome 3, on a P (X ∈ A) = P(X ∈ I 1 ) + · · · + P (X ∈ I n ).

On se ram` ene alors au cas d’un intervalle trait´ e pr´ ec´ edemment.

1.4. CLASSES DE VARIABLES AL ´ EATOIRES 19 3. Si F est une fonction avec les propri´ et´ es du th´ eor` eme, on d´ efinit la loi d’une variable al´ eatoire X ` a partir de F en utilisant les formules pour P (X ∈ A) ci-dessus. Il suffit alors de montrer que cette loi satisfait aux axiomes 1 ` a 4. On omet la preuve de se fait qui est laiss´ ee en exercice. La fonction F est alors par d´ efinition la fonction de r´ epartition de cette variable al´ eatoire.

Soulignons le fait important suivant rencontr´ e au cours de la preuve : la fonction de r´ epartition F X admet (en tant que que fonction croissante) une limite ` a gauche en tout point,

´ egale ` a :

F X (x−) = P (X < x) pour tout r´ eel x.

1.4 Classes de variables al´ eatoires

Ayant ´ etabli la forme g´ en´ erale de la loi d’une v.a. r´ eelle ` a travers sa fonction de r´ epartition, il convient de distinguer plusieurs classes de v.a. ` a l’aide de leurs fonction de r´ epartition. Pour ce faire, il convient d’introduire la notion d’atome.

D´ efinition 1.3. On dit que x ∈ R est un atome de masse m > 0 de la loi de X si P(X = x) = m.

Ceci peut ˆ etre exprim´ e avec la fonction de r´ epartition car pour tout x ∈ R , P (X = x) = P (X ≤ x) − P(X < x) = F X (x) − F X (x−).

Lemme 1.4. Soit x ∈ R . x est un atome de masse m > 0 de la loi de X si et seulement si x est un point de discontinuit´ e de F _X et m est alors la hauteur du saut en x, c’est-` a-dire m = F X (x) − F X (x−).

En particulier, une v.a. X n’a pas d’atomes si et seulement si sa fonction de r´ epartition est continue.

Corollaire 1.5. La loi d’une variable al´ eatoire X a un nombre d´ enombrable d’atomes.

D´ emonstration. Puisque la fonction F X est croissante d’apr` es le th´ eor` eme 1.2, elle a un nombre d´ enombrable de sauts (r´ esultat classique d’analyse)

Concentrons-nous maintenant sur deux classes de variables al´ eatoires, sans doute les plus importantes : les variables al´ eatoires discr` etes et les v.a. ` a densit´ e.

Variables al´ eatoires discr` etes. On rappelle qu’une variable al´ eatoire X est discr` ete s’il existe un ensemble S d´ enombrable tel que P (X ∈ S) = 1. On dit ` a ce moment-l` a que X est la loi de X est port´ ee par S, ou que S est le support de la loi de X On rappelle que S ⊂ R est dit d´ enombrable si il existe une injection de S dans N , ou de fa¸ con ´ equivalente, s’il existe une surjection de N dans S. On rappelle que N, Z, Q sont d´ enombrables mais que R ne l’est pas ² . Noter aussi que notre d´ efinition d’un ensemble d´ enombrable inclut les ensembles

2. On montre par un argument de diagonalisation de Cantor que l’ensemble {0, 1}

des suites ` a valeurs

dans {0, 1} n’est pas d´ enombrable, ce qui permet de voir que [0, 1] ne l’est pas en consid´ erant le d´ eveloppement

dyadique d’un r´ eel

20 CHAPITRE 1. VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES finis ; pour pr´ eciser qu’un ensemble d´ enombrable est de plus infini, on dira simplement qu’il est infini d´ enombrable. S d´ enombrable implique que S est de la forme : S = {s _k , k ∈ N } ou S = {s _k , k ≤ n} pour un certain n ∈ N (cas infini et fini respectivement), pour des r´ eels s _k deux ` a deux distincts. On notera simplement S = {s <sub>k</sub> } pour ne pas avoir ` a faire la distinction.

On rappelle avant d’´ enoncer la prochaine proposition la d´ efinition de 1 A la fonction indicatrice de l’ensemble A :

1 A (x) =

( 1, x ∈ A 0, x 6∈ A.

Proposition 1.6. Si X est une v.a.r. discr` ete, d’ensemble d’atomes S = {s _k } _k alors, notant p _k = P (X = s _k ) pour tout k, on a pour tout ensemble A

P (X ∈ A) = ^X

k

p k 1 A (s k ).

D´ emonstration. Les deux cas S fini et infini sont quasiment identiques, on traite le cas infini S = {s _k , k ∈ N }, et on mentionne les diff´ erences entre les deux cas si besoin. On d´ ecompose comme suit l’´ ev´ enement {X ∈ A} :

P(X ∈ A) = P (X ∈ A∩S)+P (X ∈ A∩S ^c ) = P X ∈ ^[

k∈ N

(A∩{s _k }) +0 = ^X

k∈ N

P (X ∈ A∩{s _k }) ayant utilis´ e ` a la seconde ´ egalit´ e que 0 ≤ P (X ∈ A ∩ S <sup>c</sup> ) ≤ P (X ∈ S <sup>c</sup> ) = 1 − P (X ∈ S) = 0, et ` a la troisi` eme ´ egalit´ e la propri´ et´ e de sigma-additivit´ e (additivit´ e suffit dans le cas fini).

Maintenant, X

k∈ N

P (X ∈ A ∩ {s _k }) = ^X

k∈ N

1 A (s k )P (X = s k ) = ^X

k∈ N

1 A (s k )p k .

D´ efinition 1.7. Soit X v.a. discr` ete de support S = {s _k } _k . On appelle fonction de masse de X la fonction :

S −→ R

s _k 7−→ p _k = P (X = s _k )

La fonction de r´ epartition d’une v.a. discr` ete X et de support S = {s ₁ , s ₂ , . . .} prend la forme

F X (x) = ^X

k

p _k 1 ]−∞,x] (s _k ) = ^X

k

p _k 1 s

≤x .

On v´ erifie que F X est constante sur chaque intervalle qui ne contient pas de saut. R´ eciproquement, on a la proposition suivante, dont on omet la preuve :

Proposition 1.8. Supposons que X est une v.a. et que sa fonction de r´ epartition F _X satisfait aux deux propri´ et´ es suivantes :

1. L’ensemble des sauts de F X n’admet pas de point d’accumulation.

2. F _X est constante sur chaque intervalle qui ne contient pas de saut.

Alors X est une v.a. discr` ete et son support est ´ egal ` a l’ensemble des sauts de F X .

1.4. CLASSES DE VARIABLES AL ´ EATOIRES 21 On appelle une fonction croissante qui satisfait aux deux hypoth` eses de la proposition pr´ ec´ edente une fonction

en escalier

. Notons que la premi` ere hypoth` ese ne peut pas ˆ etre enlev´ ee de la proposition, par exemple, si l’ensemble des sauts de F _X est dense dans R , alors il n’existe aucun intervalle de longueur positive qui ne contient pas de saut, donc une telle fonction satisfait trivialement ` a la deuxi` eme hypoth` ese. Il n’y a alors aucune raison que les hauteurs des sauts somment ` a 1 (ce qui serait n´ ecessaire pour que X soit discr` ete) : on peut construire des contre-exemples en prenant une fonction de r´ epartition continue G et en consid´ erant la fonction (F _X + G)/2.

Variables al´ eatoires ` a densit´ e.

D´ efinition 1.9. On dit qu’une v.a.r. X est ` a densit´ e ³ si la fonction de r´ epartition F _X admet la forme

F _X (x) = Z x

−∞

f _X (y) dy, x ∈ R ,

pour une fonction int´ egrable f X : R → R + . Dans ce cas, on dit que la fonction f X est une densit´ e de X (ou de la loi de X), et que X poss` ede la densit´ e f _X .

Notons que la densit´ e f _X n’est pas unique : par exemple, en modifiant sa valeur en un point, la valeur de son int´ egrale est inchang´ ee et donc la loi reste la mˆ eme. Aussi on parlera en g´ en´ eral d’une densit´ e et non pas de la densit´ e.

On note le r´ esultat suivant :

Lemme 1.10. La loi de X v.a. ` a densit´ e est sans atome.

D´ emonstration. En effet, la fonction F X ´ etant la primitive d’une fonction, elle est continue, donc en particulier, pour tout x ∈ R :

P (X = x) = F X (x) − F X (x−) = 0 c’est-` a dire que x n’est pas un atome.

En particulier, si X est une v.a. ` a densit´ e, pour tout ensemble d´ enombrable T ⊂ R , on a P (X ∈ T ) = 0,

ce qui montre la diff´ erence de nature entre v.a.r. discr` ete et v.a.r. ` a densit´ e.

La densit´ e caract´ erise la fonction de r´ epartition de X et donc la loi de X (du th´ eor` eme 1.2) qui s’exprime facilement ` a l’aide de la densit´ e. On ´ enonce la proposition suivante, ana- logue pour les v.a. ` a densit´ e de la Proposition 1.6. Elle montre que la densit´ e joue le rˆ ole analogue de la fonction de masse dans le cas discret ; l’intuition est que, pour un

´ el´ ement infinit´ esimal

dx, on a : P (X ∈ dx) = f _X (x)dx.

Proposition 1.11. Si X est une v.a. de densit´ e f _X , alors on a pour tout ensemble A : P (X ∈ A) =

Z ∞

−∞ f X (x) 1 A (x) dx.

3. Dans la litt´ erature, on rencontre aussi le vocabulaire v.a. absolument continues pour d´ esigner ces v.a.,

ou mˆ eme plus improprement, v.a. continues

22 CHAPITRE 1. VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES D´ emonstration. On se donne a, b ∈ [−∞, +∞]. On commence par v´ erifier la r´ esultat pour A =]a, b] : P (a < X ≤ b) = F _X (b) − F _X (a) = ^R _a ^b f _X (x) dx = ^R _−∞ ^+∞ f _X (x) 1 A (x) dx. Les cas A = [a, b], A = [a, b[, A =]a, b[, A =]a, b] ne posent pas de difficult´ e, la fonction F _X ´ etant continue, F X (x) = F X (x−) pour tout r´ eel x et donc, on a : P(a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X <

b) = P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = ^R _a ^b f _X (x) dx = ^R _−∞ ^+∞ f _X (x) 1 A (x) dx. Noter que ces relations valent encore pour a = −∞ et b = +∞. Par lin´ earit´ e de l’int´ egrale, on a encore pour tout A r´ eunion d’un nombre fini d’intervalles disjoints de R , P (X ∈ A) = ^R _A f X (x) dx = R +∞

−∞ 1 I (x)f _X (x) dx

Le r´ esultat suivant est utile pour identifier la densit´ e ` a partir de la fonction de r´ epartition.

Proposition 1.12. Soit X une v.a. dont la fonction de r´ epartition F X est globalement conti- nue et C ¹ par morceaux (c’est-` a-dire qu’il existe un nombre fini de points x <sub>1</sub> < x <sub>2</sub> < . . . < x <sub>n</sub> t.q. F <sub>X</sub> est C <sup>1</sup> sur ]−∞, x <sub>1</sub> [, ]x <sub>1</sub> , x <sub>2</sub> [, . . . , ]x n−1 , x <sub>n</sub> [, ]x <sub>n</sub> , +∞[) alors X est une v.a. ` a densit´ e et une densit´ e de X est F _X ⁰ .

Toutes les v.a.r. ` a densit´ e que nous rencontrerons dans ce cours auront une fonction de r´ epartition du type pr´ ec´ edent (continue et C ¹ par morceaux). Cependant, la forme g´ en´ erale autorise des fonctions de r´ epartition qui ne sont pas de classe C ¹ .

D´ emonstration. Les propri´ etes de la fonction F _X garantissent qu’on peut ´ ecrire pour tout x, y ∈ [−∞, ∞], F _X (y) − F _X (x) = ^R _x ^y F _X ⁰ (z) dz et donc, avec x = −∞, en particulier, on a pour tout y ∈ R , F X (y) = ^R _−∞ ^y F _X ⁰ (z) dz, donc F _X ⁰ est une densit´ e de X.

Les autres variables al´ eatoires. Quasiment toutes les variables al´ eatoires que nous allons rencontrer dans ce cours font partie des deux classes ci-dessus. Parmi les autres, on peut mentionner celles qui sont une combinaison de ces deux, cf TD. Il est aussi l´ egitime de se demander s’il existe des fonctions de r´ epartition qui sont continues mais ne s’´ ecrivent pas comme la primitive d’une autre fonction. La r´ eponse est oui, mais la construction d’une telle fonction d´ epasse le contenu de ce cours. Les curieux sont invit´ es ` a googler

l’escalier de Cantor,

´ egalement appel´ e

l’escalier du diable. . .

. Pour comprendre les propri´ et´ es sp´ ecifiques des fonctions qui s’´ ecrivent comme primitive, on pourra aussi chercher

fonction absolument continue . . .

.

1.5 Quelques variables al´ eatoires discr` etes importantes

NB : Pour des d´ etails pour cette section, se r´ ef´ erer aux chapitres 4 et 5 du livre de Ross.

1.5.1 Loi de Dirac

La loi de Dirac est la loi la plus simple qui existe : Si x ∈ R , on dit que X suit la loi de Dirac en x (not´ e parfois symboliquement X ∼ δ x ), si

P (X = x) = 1.

Ceci est ´ equivalent (voir preuve ci-dessous) ` a P (X ∈ A) = 1 A (x) =

( 1, si x ∈ A

0, si x 6∈ A.

1.5. QUELQUES VARIABLES AL ´ EATOIRES DISCR ` ETES IMPORTANTES 23 En particulier, la fonction de r´ epartition est donn´ ee par

F _X (y) = 1 ]−∞,y] (x) =

( 1, si y ≥ x 0, sinon.

On note parfois symboliquement : X ∼ δ _x , ce qu’on lit

X suit la loi de Dirac en x.

Si X suit la loi de Dirac en x ∈ R , on dit aussi que X est presque sˆ urement (p.s.) ´ egale

`

a x, ou encore que X est presque sˆ urement constante (´ egale ` a x). Inversement, on peut voir n’importe quel nombre x ∈ R comme une variable al´ eatoire de loi de Dirac en x.

Voyons maintenant une preuve compl` ete de la formule pour P(X ∈ A) ci-dessus : on commence par d´ ecomposer

P (X ∈ A) = P(X ∈ A ∩ {x}) + P (X ∈ A\{x}).

Le premier terme est ´ egal ` a P (X ∈ ∅) = 0 si x 6∈ A et ` a P (X = x) = 1 si x ∈ A, donc il est

´ egal ` a 1 A (x). Le second terme est major´ e par P (X ∈ R \{x}) par la monotonie de P (X ∈ A) en A. Mais P(X ∈ R \{x}) = 1 − P (X = x) = 1 − 1 = 0, et donc P (X ∈ A\{x}) = 0. Ceci montre bien que P (X ∈ A) = 1 A (x).

1.5.2 Loi uniforme

La loi uniforme est la loi la plus simple d’une variable al´ eatoire prenant un nombre fini de valeurs. Soit S une partie finie de R , par exemple S = {1, . . . , n} pour n ∈ N . Une v.a. X suit la loi uniforme sur S (symboliquement : X ∼ Unif(S)) si pour tout x ∈ S,

P (X = x) = 1 Card(S) , ce qui implique pour tout A ⊂ R ,

P (X ∈ A) = Card(A ∩ S) Card(S) . La fonction de r´ epartition est

F X (x) = Card(]−∞, x] ∩ S)

Card(S) .

La loi uniforme intervient dans de nombre applications, par exemple dans les jeux de hasard (lancer de d´ es, tirage de cartes,. . . ).

1.5.3 Loi de Bernoulli

On dit que X suit la loi de Bernoulli de param` etre p ∈ [0, 1] (symboliquement : X ∼ Ber(p)), si

P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p.

La fonction de r´ epartition s’´ ecrit :

F _X (x) =



 



 



0, si x < 0 1 − p, si x ∈ [0, 1[

1, si x ≥ 1.