E cor p
Feuille de Travaux Dirigés de mathèmatiques: Equation s et inéquation s dan s IR
JE M’EXERCE
Seul mon travail sera la clé de mon succès!!!
Exercice 1
4 points \ Equation s et inéquation s de degré 2 dan s R 1. Montrer que(√
2 +√
3)2 = 5 + 2√
6. 0,5 pt
2. a. Résoudre dans Rl’équation (E): 2x2−(√ 2−√
3)x−
√6
2 = 0. 2 pts
b. En déduire dans R la résolution de l’inéquation (I): 2x2−(√ 2−√
3)x−
√6
2 <0. 1,5 pt Exercice 2
5 points \ Equation s et inéquation s de degré 3 dan s R Soit le polynômeP défini dans R par: P(x) = −2x3 + 3x2+ 5x−6.
1. Montrer que 2 est une racine de P. 0,5 pt
2. Déterminer les nombres réelsa ,b et ctels que P(x) = (x−2)(ax2+bx+c). 1,5 pt 3. On suppose quea =−2, b=−1et c= 3.
a. Résoudre dansR l’équationP(x) = 0. 1,5 pt
b. Résoudre dansR l’inéquation P(x)<0. 1,5 pt
Exercice 3
6,5 points \ Polynôme de degré 2 -Equation s et inéquation s irrationnelles 1. Le tableau de signe ci-contre est celui d’un polynôme du second degré de la formep(x) =ax2+bx+c,
où a, b et csont des nombres réels aveca 6= 0.
a. Déterminer la forme factorisée de p(x). 0,5 pt b. En déduire la valeur de a sachant que p(0) = 8. 0,75 pt c. Déterminer l’ensemble des solutions
de l’inéquation p(x)≥0. 0,5 pt
x −∞ −4 1 +∞
p(x) + 0 − 0 +
2. a. Résoudre dansR, l’équation √
3−x=x−3. 1,25 pt
b. Résoudre dansR, l’inéquation √
x+ 1≤x. 1,5 pt
3. Résoudre dansR2 le système: (S)
x+y = −8
x2 +y2 = 34 2 pts
Evaluation des compétences \ 4,5 points
Un cultivateur posséde un champ rectangulaire dont le périmètre est de 106 m et la surface 690 m2. Pour l’achat des semences, il a placé une somme de 60 000 FCFA au taux annuel dex%dans une banque.
Après deux ans il a retiré tout le capital et les intérêts produits d’un montant de 66 150 FCFA. Pendant la période des cultures, il a cèdé à son ami, une portion de son terrain de formé carrée dont l’aire est inférieure à 64m2.
Maths Première CD Ferdinand Makaïni, Pleg Mahts c2020-2021
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1. Tâche 1 Déterminer les dimensions de ce champ. 1,5 pt
2. Tâche 2 Déterminer la valeur dex. 1,5 pt
3. Tâche 3 Déterminer les valeurs entières possibles du côté de la portion de terrain
cèdée à son ami. 1,5 pt
Exercice 4
5.25 points \ Equation et inéquation dan s R 1. Soit le polynômeP défini dansR par: P(x) =x3−8x2+ 19x−12 = 0.
a. Vérifier que 1 est une racine de(P). 0,5 pt
b. Déterminer les nombres réels a ,b etc tels que P(x) = (x−1)(ax2+bx+c). 0,75 pt c. On suppose que a= 1, b=−7 etc= 12.
Résoudre dans R, l’inéquation 2x3+ 38x <16x2 + 24. 1,5 pts 2. Soit m un paramètre réel. On considère dansR l’équation (Em) :−x2+ 8x+ 7−4m= 0.
a. Montrer que le discriminant du polyônme−x2+ 8x+ 7−4mest∆m =−16m+ 92, puis dresser
le tableau de signe de ∆m. 0,25 pt + 0,75 pt
b. Discuter suivant les valeurs de m, le nombre et le signe des solutions de l’équation (Em).1,5 pt Exercice 5
points \ Equation et inéquation dan s R On considère le polynôme pdéfini par: p(x) = 2x3+ 3x2−29x+ 30 1. Calculer p(2) et conclure.
2. Déterminer les réels a,b etc tels que: p(x) = (x−2)(ax2+bx+c) 3. Dresser le tableau designe de p(x)
4. En déduire la solution de l’inéquation 2x2+ 7x−15 x−2 ≥0 Exercice 6
points \ Equation et inéquation dan s R
On considère le polynôme P(x) = x3+ 4x2−5x+ 8. Ce polynôme a trois racines a, b etc.
Sans calculer ces racines, déterminer a+b+c ;abc et 1 a +1
b +1 c Exercice 7
points \ Equation et inéquation dan s R On considère le polynôme P(x) = x3−6x2−51x+ 280.
1. Trouver trois réelsa,p et q tels que P(x) = (x+a)3+p(x+a) +q.
2. On pose X =x+a.
Résoudre dans R l’équationX3+pX+q = 0 (on cherchera une solution simple α de l’équation puis on factorisera sous forme (X−α)Q(x), où Q est un polynôme d degré 2).
3. Factoriser alors P(x) puis résoudre l’inéquation P(x)≤0.
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Exercice 8
points \ Equation et inéquation dan s R
Des amis sont allés prendre un pot dans un Snack; ils devaient se partager équitablement la facture qui s’élévait à 5 000 Frs. Mais deux d’entre eux sont partis sans payer et chacun des restants a vu sa part augmenter de 125 frs. n désigne le nombre initial d’amis.
1. Justifier que n vérifie l’équation n2−2n−80 = 0.
2. Combien étaient-ils au départ?
3. Combien chacun des amis restants a t-il eu à payer?
Exercice 8
points \ Equation et inéquation dan s IR 1. a) Calculer 2272
b) Résoudre dans Rl’équation (E) : 2x2+ 203x−1290 = 0
2. Bela a placé une somme de 120 000 Frs dans une banque au taux de x%pendant un an. La banque ayant connu des problèmes, Bela a retiré son capital ainsi que les intérêts annuels et a placé toute la somme ainsi obtenue dans une autre banque au taux d’intérêt de y% pendant un an. Elle a alors obtenu un intérêt de 9 540 Frs dans cette dernière banque.
a) Sachant que y−x= 1,5, démontrer que x vérifie l’équation (E)de 1.b).
b) Calculer le taux d’intérêt dans la première banque.
Parie B: Evaluation des compétences \ 4,5 points
Résoudre une situation problème, déployer un rai sonnement mathématique et communiquer à laide du language mathématique dan s des situation s de vie où interviennent:
Les équations dans R et les systèmes d’équation dans R2.
Le directeur d’une salle de spectacle a remarqué que lorsque la place coûte 3000 FCFA, il pouvait enregistrer 500 spectateurs, et que chaque fois qu’il diminue de 200 FCFA le prix d’une place, il enregistre 100 spectateurs de plus. Avant d’éffectuer toute diminution du prix de la place, le directeur a obtenue une recette de 1 500 000 FCFA qu’il place dans une banque à un taux d’intérêt det%pendant un an. La banque ayant connue des problème, il a rétiré l’ensemble du capital obtenu et les intérêts produit qu’il a placé dans une nouvelle banque à un taux de(t+ 2)%. Ce qui produit alors un intérêt de 16 2000 FCFA.
Par ailleur, le directeur voudrait investir dans les cultures de maïs et de mil blanc. Pour cela, il achète un terrain rectangulaire dans un village éloigné de la ville, dont il ignore les dimensions. le vendeur lui a dit par un canal téléphonique que le champ a 56m de perimetre et 759m2 d’aire.
1. Tâche 1 Déterminer le taux d’intérêt de la première banque. 1,5 pt
2. Tâche 2 Déterminer les dimensions de son terrain. 1,5 pt
3. Tâche 3 Déterminer le nombre de réductions de 200 FCFA pour lequel le directeur pourra réaliser
une recette de 1 680 000 FCFA. 1,5 pt
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