Enoncé G270 (Diophante) Une ribambelle de points
On trace cinq points du plan tels que les droites qui les relient ne sont ni pa- rallèles ni perpendiculaires entre elles. A partir de chacun de ces points, on construit les perpendiculaires aux droites reliant les quatre autres points.
Quel est le nombre maximum de points d’intersection de toutes ces per- pendiculaires ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
De chacun des 5 points de départ (A, B, C, D, E), on mène les perpendi- culaires aux 6 droites qui joignent deux des 4 autres points, ce qui fait 30 perpendiculaires. Ainsi chaque paire de points telle que {A, B} génère 6×6 = 36 paires de perpendiculaires.
Cependant, dans les 6 perpendiculaires menées de A, 3 le sont à CD, DE, CE, et il en est de même pour les 6 perpendiculaires menées de B. Ainsi les 36 intersections incluent 3 points à l’infini. D’autre part, les perpendiculaires menées de A à BC et de B à AC concourent avec la perpendiculaire menée de C à AB en l’orthocentre du triangle ABC, ce qui conduit à mettre à part les 3 paires de perpendiculaires concourant aux orthocentres des trianglesABC, ABD, ABE.
Il reste 36 −3 −3 = 30 autres points par paire de points, et 5 points permettent de former 10 paires. Il y a donc en tout 300 points d’intersec- tion “simples”, que je peux supposer tous distincts, entre perpendiculaires n’émanant pas du même point.
Les points à l’infini sont 10 (un par droite joignant deux points), tous distincts par hypothèse, et chacun commun à 3 perpendiculaires. De même les orthocentres sont 10 (un par ensemble de 3 points), chacun commun à 3 perpendiculaires.
Au final le nombre maximum est 325 points : les 5 points de départ, 10 points à l’infini, 10 orthocentres et 300 autres.
Remarque. Si on part de n points, de chacun d’eux on mène Cn−12 per- pendiculaires. Une paire de points (il y en aCn2) génère (Cn−12 )2 paires de perpendiculaires, dontCn−22 paires de parallèles etn−2 paires concourant en un orthocentre.
Les autres points d’intersection entre perpendiculaires n’émanant pas du même point sont en nombre
Cn2((Cn−12 )2−Cn−22 −n+ 2) =n2(n−1)2(n−2)(n−3)/8
auxquels s’ajoutent n points de départ, Cn2 points à l’infini et Cn3 ortho- centres, soit au total
n(3n5−21n4+ 51n3−47n2+ 18n−4)/24, ou encore 90Cn6+ 120Cn5+ 36Cn4+Cn3+Cn2+Cn1.
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