TSI 1 DS Lycée Les Lombards
Corrigé DS 6 : janvier 2021
Exercice 1Attention ! ! Beaucoup ont divisé para−3 alors queapeut être égal à 3. Il faut être plus rigoureux et penser à distinguer les cas dans ce genre d’exercices. Ce ne sont pas des détails, il faut y faire très attention.
1. Il y a 3 équations
2. Il y a trois inconnues :x,y etz.
3. Le rang du système est 2 sia= 3 et 3 sia6= 3
4. Sia= 3 il y a une équation de compatibilité, sia6= 3 il n’y a pas d’équation de compatibilité.
5. — Sia= 3 etb= 2, il y a un paramètre,
— sia= 3 etb6= 2, il n’y a pas de solution donc pas de paramètre,
— sia6= 3 il y a 0 paramètre car les trois variables sont des variables principales.
6. — Sia= 3 etb= 2,
S={(1−z;z;z);z∈R}
— sia= 3 etb6= 2 ,il n’y a pas de solution
— sia6= 3
S=
a−1−b a−3 ;b−2
a−3;b−2 a−3
Exercice 2. 6 points.
On donne dans le plan muni d’un repère orthonormé directR= (O,~i,~j).
A(1;−2), B(−3; 4) et (D) : 3x−y+ 4 = 0 1. (0; 4)∈D et (1; 7)∈D.
2. Déterminons une équation cartésienne de la droite (AB).−−→
AB(−4; 6) est un vecteur directeur de (AB) Donc
M(x;y)∈(AB) ⇔ det(−−→
AM ,−−→ AB) = 0
⇔
x−1 −4 y+ 2 6
= 0
⇔ 6x+ 4y+ 2 = 0
⇔ 3x+ 2y+ 1 = 0 Une équation cartésienne de (AB) est donc 3x+ 2y+ 1 = 0.
3. On noteI(x, y)
I∈(AB)∩D ⇔
3x+ 2y+ 1 = 0 3x−y+ 4 = 0
⇔
x=−1 y= 1 On a doncI(−1; 1).
4. on aJ(0; 4) et on peut calculer la distance deJ à la droite (AB).
d(J,(AB)) = |3×0 + 2×4 + 1|
√32+ 22
et on trouved(J,(AB)) = 9
√ 13 13
5. On a
x2+y2+ 2x−2y−11 = 0 ⇔(x+ 1)2−1 + (y−1)2−1−11 = 0
⇔(x+ 1)2+ (y−1)2= 13 C est donc le cercle de centre Ω(−1; 1) de rayon√
13
6. La tangente au cercle en K(−4,−1) admet pour vecteur normal −−→
ΩK(3; 2) et a donc une équation de la forme 3x+ 2y+d= 0. De plus cette tangente passe par le pointKce qui nous permet de trouverd= 14.
L’équation de cette tangente est donc 3x+ 2y+ 14 = 0.
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Exercice 3Il fallait justifier chaque affirmation ! ! Trop peu de copies ont penser à traiter systématiquement chaque affirmation pour justifier sa valeur de vérité.
1. On donnez1=−1−i√
3,z2=√ 6−i√
2 (a) |z2|= 2√
2 Vrai (calcul à détailler) (b) arg(z1)=−5π6 Faux (calcul à détailler)
(c) z2=i√
2z1 Vrai (calcul à détailler) (d) arg(z2z1) =π2 Faux (calcul à détailler)
2. On considère l’équation à l’inconnuez : 2z2−(2i+a)z+ai= 0 oùaest un nombre complexe donné.
(a) iest toujours solution de l’équation. VRAI (b) −i est toujours solution de l’équation. FAUX
(c) Sia= 0 , les deux solutions sont 0 eti. VRAI
(d) Les deux solutions de l’équation sont : a2 et−i. FAUX 3. On considère l’équationz3=−8
(a) Cette équation admet comme solutions−2,−2j et −2j2avecj=ei2π3 VRAI (b) 1−i√
3 est une solution de l’équation . VRAI (c) 1 +i√
3 est une solution de l’équation. VRAI
(d) Les points d’affixe les trois solutions forment un triangle équilatéral. VRAI
4. On a~u∧~v=
m2+ 3m−4
−(m2+m−2) m−1
qui s’annule pour m= 1. L’affirmation est doncfausse.
5. On a~u·~v=−m2+ 5m−2 . Le polynome de degré deux−m2+ 5m−2 a pour discriminant 33 donc admet deux racine distinctes. L’affirmation est doncfausse. .
6. D’après la question précédente, il existe deux valeurs de m pour lesquelles ~u et ~v sont orthogonaux.
L’affirmation est doncfausse. .
7. Pourm= 1, les vecteurs~uet~vont les mêmes coordonnées donc sont égaux. L’affirmation est doncfausse.
.
On donne~u
1 2
−1
,~v
1 2 3
,w~
3 6 2
,~t
a+ 1 a2+a
a
oùaest un réel donné.
1. On a [~u, ~v, ~w] = 0 donc les vecteurs~u, ~vet w~ sont coplanaires. L’affirmation estvraie.
2. On a [~u, ~v, ~w] = 0 donc l’affirmation estvraie.
3. ~u∧~v a pour coordonnées
8
−4 0
donc l’affirmation estfausse.
4. [~u, ~v, ~t] =−4(a+ 1)(a−2) donc l’affirmation estfausse. .
1. Le planP admet pour vecteur normal le vecteur
2
−1 3
qui n’est pas colinéaire au vecteur~n
2 1 3
. L’af-
firmation est doncfausse.
2. 2×2−(−4) + 3×(−1)−5 = 0 doncA(2,−4,−1)∈P. L’affirmation est doncvraie.
3. Le vecteur~u
0 3 1
est orthogonal au vecteur normal
2
−1 3
(calculer le produit scalaire) donc l’affirmation
estvraie.
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4. Le planP0 d’équation −4x+ 2y−6z = 0 admet~n0
−4 2
−6
pour vecteur normal. Or~n∧~n0 =~0 donc les
plansP etP0 sont parallèles. L’affirmation est doncvraie.
A(1,−4,3) ,B(−2,−7,0) etC(3,−2,5).
1. On a−−→ AB
−3
−3
−3
et−→
AC
2 2 2
donc les vecteurs−−→ ABet−→
ACsont colinéaires. Les pointsA,BetCsont donc
alignés. L’affirmation est doncvraie.
2. Le vecteur
1 1 1
est colinéaire au vecteur−−→
ABdonc dirige la droite (AB). De plus le pointA(1,−4,3)∈(AB)
donc le système
x= 1 +t y=−4 +t z= 3 +t
(t∈R)
est un système d’équations paramétriques de la droite (AB). L’affirmation estvraie.
3. ~u
1 1 1
dirige la droite (AB) d’après la réponse à la question précédente. L’affirmation estvraie.
4. Le système
2x−y−z−3 = 0 x−2y+z−12 = 0
est le système d’équations cartésiennes d’une unique droite (d). On vérifie que les coordonnées des pointsA et B vérifient ce système donc la droitedest confondue avec la droite (AB). L’affirmation est doncvraie.
On considère l’équation :x2+y2+z2−2x+ 4y+ 4z+ 5 = 0
1. L’équationx2+y2+z2−2x+ 4y+ 4z+ 5 = 0 se réecrit sous la forma (x−1)2+ (y+ 2)2+ (z+ 2)2= 4.
Cette équation est l’équation d’une sphère dont le rayon est 2. l’affirmation est doncfausse.
2. D’après la réponse à la question précédente, l’affirmation estfausse.
3. Cette équation est l’équation d’une sphère dont le centre a pour coordonnées (1,−2,−2). L’affirmation est doncfausse.
4. On a 12+ 02+ (−2)2−2 + 4×(−2) + 5 = 0 donc A(1,0,−2) est un point de la sphère. L’affirmation est doncvraie.
On considère le planP d’équation :x+ 2y−4z+ 3 = 0 , le pointI(−2,2,1) etDla droite dirigée par~u
0 4
−3
et passant parA(1,−1,2)
1. La distance entre le pointIet le planP est |−2+2×2−4×1+3|
√1+4+6 c’est-à-dire√1
21. L’affirmation est doncvraie.
2. La droiteD admet pour système d’équations paramétriques
x= 1
−1 + 4t 2−3t
(t∈R)
. Pour connaitre les éventuels points d’intersection entreDet P on résout l’équation 1 + 2(−1 + 4t)−4(2−3t) + 3 = 0
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qui admet pour unique solutiont= 103. En prenant cette valeur detdans les équations paramétriques, on obtient les coordonnées de l’unique point d’intersection deD etP : 1,15,1110
qui sont les coordonnées du pointK. L’affirmation est doncvraie.
3. Tous les points deDont pour abscisse 1 etIa pour abscisse−2 doncIn’est pas un point de la droiteD.
L’affirmation estfausse.
4. La distance entre le pointIet la droiteDest k~u∧
−→ AIk
k~uk ce qui donne
√
52+92+122
√
42+(−3)2 c’est à dire
√ 250
5 . L’affirmation est doncfausse.
On considère le système :
mx−2y+z= 1 x−2my+z=−2 x−2y+mz= 1
1. Pourm= 0 le système admet (−1,−1,−1) pour solution donc l’affirmation estfausse.
2. Pourm= 1 le système n’a pas de solutions. L’affirmation estvraie.
3. Pourm= 2 l’ensemble des solutions estS ={(1,1,1)}. L’affirmation estvraie.
4. On a
m −2 1
1 −2m 1
1 −2 m
=−2(m−1)2(m+ 2) donc l’affirmation estfausse.
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