[ Baccalauréat blanc \ février 2008

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EXERCICE1 6 points

Partie A. R. O. C.

Pré-requis : forme algébrique d’un nombre complexe

1. Démontrer qu’un nombre complexezest imaginaire pur, si et seulement si : z= −z.

2. Démontrer qu’un nombre complexezest réel, si et seulement si :z=z.

3. Démontrer que pour tout nombre complexez, on a l’égalité :z×z= |z|². Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal . On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respectives a,b,c et dont le centre du cercle circonsrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a+b+c.

Partie B : étude d’un cas particulier On posea=3+i ;b= −1+3i ;c= −p

5−ip 5.

1. Vérifier que le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixea+b+c, puis vérifier graphique- ment que H est l’orthocentre du triangle ABC.

Partie C : étude du cas général

ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, eta,b,csont les affixes respectives des points A, B, C.

1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :

a×a=b×b=c×c.

2. On poseωb×c−b×c.

a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans la partie A, démontrer queωest un imaginaire pur.

b. Verifier l’égalité (b+c)³ b−c´

=ωet justifier que :b+c b−c =

ω

|b−c|². c. En déduire que le nombre complexeb+c

b−c est imaginaire pur.

3. Soit H le point d’affixea+b+c.

a. Exprimer en fonction dea,betcles affixes des vecteurs−−→AH et−−→CB . b. Prouver que³−−→CB ;−−→AH´

= π

2+kπ, oùkest un entier relatif quelconque.

(On admet de même que³−−→CA ;−−→BH´

=π

2+kπ, aveckentier relatif).

c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

EXERCICE2 4 points

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar :u0=1

2etun+1=1 2 µ

un+ 2 un

¶ .

1. Soitf la fonction définie sur ]0 ;+∞[ parf(x)=1 2 µ

x+1 x

¶ .

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a. Étudier le sens de variation def et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal . (On prendra comme unité 2 cm).

b. Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2et A3

de l’axe³ O ;−→

ı ´

d’abscisses respectivesu0,u1,u2etu3. 2. a. Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,un>^p2.

b. Montrer que pour toutx>^p2, f(x)6x.

c. En déduire que la suite (un) est décroissante à partir du rang 1.

d. Prouver que la suite (un) converge.

3. Soitℓla limite de la suite (un). Montrer queℓest solution de l’équation x=1

2 µ

x+1 x

¶

. En déduire sa valeur.

EXERCICE3 5 points

non spécialité mathématiques

Un parachutiste tombe à la vitesse de 55 m.s⁻¹au moment où son parachute s’ouvre.

On fixe l’origine du temps (t=0 en secondes) à ce moment-là.

Pour toutt∈R, on note v(t) la vitesse en m.s⁻¹etd(t) la distance parcourue en mètres à l’instantt.

On admet queyest solution de l’équation différentiellev^′(t)=10 µ

1−v²(t) 25

¶ : (E)

Par ailleurs, il a été établi que la distance parcourue à l’instanttest :d(t)= 1 v(t)−5. 1. Expliquer pourquoi, pour un temps suffisamment grand, là vitesse du para-

chutiste est stabilisée.

On se propose donc de trouver une équation différentielle vérifiée pardet de la résoudre afin de déterminer la vitesse du parachutiste, lorsque celle-ci est stabilisée.

2. Questions de cours :

a. Donner toutes les solutions de l’équation différentielle :y^′−m y=0.

b. Donner toutes les solutions de l’équation différentielle :y^′−m y=b.

3. a. Montrer que :v(t)= 1 d(t)+5.

b. Exprimerv^′(t) en fonction ded(t) et ded^′(t).

c. Exprimerv²(t) en fonction ded(t).

d. Prouver que y est solution de (E) si et seulement si,d est solution de l’équation : (E^′) d^′=4d+0,4.

4. Donner la valeur dev(0), puis calculerd(0).

En déduire l’expression de la distanced(t) parcourue à l’instantt.

5. Exprimer alorsv(t) en fonction det; puis calculer la limite dev(t) quandt tend vers+∞. Interpréter ce résultat.

EXERCICE4 5 points

Pour tout réelkstrictement positif, on considère la fonctionfkdéfinie sur [0 ;+∞[ par

fk(x)=ln¡ e^x+kx¢

−x.

SoitC_k la courbe représentative de la fonction fk, dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées).

Partie A. Étude de la fonctionf1définie sur [0 ;+∞[ parf(x)=ln(e^x+x)−x.

Baccalauréat blanc 2 février 2008

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1. Calculer f₁^′(x) pour tout réel de l’intervalle [0 ;+∞[ et en déduire le sens de variation de la fonctionf1.

2. Montrer que pour tout réelxde l’intervalle [0 ; +∞[, f1(x)=ln³ 1+ x

e^x

´. En déduire la limite def1en+∞.

3. Dresser le tableau de variations def1.

Partie B. Étude et propriétés des fonctionsfk. (rappel :kest un par215amètre réel strictement positif)

1. Calculerf_k^′(x) pour tout réelxde l’intervalle [0 ;+∞[ et en déduire le sens de variation de la fonctionfk.

2. Montrer que pour tout réelxde l’intervalle [0 ; +∞[,fk(x)=ln³ 1+k x

e^x

´. En déduire la limite defken+∞.

a. Dresser le tableau de variations de la fonctionfk. b. Établir que pour tout réelxde [0 ;+∞[, ln(1+x)6x.

c. Montrer que pour tout réelxde l’intervalle [0 ;+∞[, on afk(x)6^k e. 3. Déterminer une équation de la tangenteTkàC_kau point O.

4. Soitpetmdeux réels strictement positifs tels quep<m. Étudier les positions relatives deC_p, etC_m.

5. Tracer les courbesC₁etC₂ainsi que leurs tangentes respectivesT1etT2en O.

EXERCICE5 5 points

Spécialité mathématiques

1. On considère l’ensembleA7={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

a. Pour tout élémentadeA7écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élé- mentydeA7tel quea y≡1 [7] (soit modulo 7).

a 1 2 3 4 5 6

y

b. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation 3x≡5 [7] équivaut à x≡4 [7].

c. Siaest un élément deA, montrer que les seuls entiers relatifsxsolutions de l’équationax≡0 [7] sont les multiples de 7.

2. Dans toute cette questionpest un nombre premier supérieur ou égal à 3.

On considère l’ensembleAp={1 ; 2 ;···;p−1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs àp. Soitaun élément deAp.

a. Vérifier quea^p−2est une solution de l’équationax≡1 [p].

b. On noterle reste dans la division euclidienne dea^p−2parp. Démontrer querest l’unique solution dansApde l’équationax≡1 [p].

c. Soientxetydeux entiers relatifs. Démontrer quex y≡0 [p] si et seule- ment sixest un multiple depouyest un multiple dep.

d. Application :p=31.

Résoudre dansA31les équations 2x≡1 [31] et 3x≡1 [31].

À l’aide des résultats précédents résoudre dansZl’équation 6x²−5x+1=0 [31].

Baccalauréat blanc 3 février 2008