∫ Examen de « Systèmes de Transmission Numérique »

ENSIMAG-PHELMA /filière Telecom 2° année Mai 2013

2 heures, 4 pages

Documents de cours et calculatrice autorisés

Examen de « Systèmes de Transmission Numérique »

Notes : On s’attachera à donner des réponses courtes mais précises (elles pourront s’appuyer sur les résultats de cours ou de TD). Le barème est donné à titre indicatif seulement.

Exercice I [6 points] Questions Diverses

(Signal, Information, Communication) 1) Numérisation : On veut numériser un signal x(t) de bande (mono-latérale) fmax = 100

kHz, aléatoire stationnaire, blanc, à amplitude de loi uniforme entre -5 et 5 volts.

a- Indiquer la Fréquence d’échantillonnage (Fe) minimum pour que le signal soit théoriquement reconstructible à partir de ces échantillons ?

b- Quelle est la puissance moyenne du signal x ?

Les échantillons sont quantifiés de manière uniforme sur 12 bits (couvrant les -5/+5 volts).

c- Quel est le débit binaire minimum résultant ?

d- Quelle est la variance du bruit de quantification (en rappelant vos hypothèses de calcul), ainsi que le rapport signal à bruit de quantification en dB ?

2) Théorie de l’Information-Capacité de canal à Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG):

Une source binaire (bits indépendants et équiprobables) de débit Db bit/sec doit être acheminée au travers d’un canal BBAG de bande passante B= 500 kHz, densité spectrale (mono-latérale) de bruit N0 = 4××××10^-21 Watt/Hz, Puissance signal P = 2××××10^-15 Watt, au moyen d’un « procédé d’émission » (pouvant inclure codage de canal et modulation).

a- Après avoir rappelé la formule de la capacité de ce canal, calculer le Débit d’information de la source maximum (Db_max) en bit/sec (ou Sh/sec) pour lequel il existe théoriquement un « procédé » de transmission fiable à volonté ?

Indiquer ensuite en justifiant si une transmission fiable est encore possible avec un débit double (Db’_max = 2Db_max) si :

b- on change la Puissance du signal P (valeur alors ?), en conservant B = 500 kHz ? c- on change la Bande Passante B (valeur alors ?), en conservant P = 2×10^-15 Watt ? 3) Mesures pratiques et Formules théoriques de Puissance moyenne:

Pour une modulation linéaire de débit symbole 1/Ts, la puissance moyenne est mesurée classiquement en pratique (ou simulation) à l’aide de 1 seule observation (associée à 1 réalisation de séquence de N symboles émis) du signal aléatoire x(t) au cours du temps t, sur une durée d’observation T (=N.Ts) très grande par : ^{P =} _T

∫

^{Tx t dt}

0 pratique 1 ( )2

.

a- Justifier en quelque mots pourquoi la formule théorique (supposant la statistique des symboles connue) de la puissance moyenne P n’est pas simplement E{ x(t)²}?

(où E{.} désigne l’espérance mathématique)

b- Comment alors obtenir P à partir de E{ x(t)²} (ne pas donner les formules mais préciser juste la démarche d’obtention) ?

Exercice II [14 points] Modulation linéaire en bande de base

Contexte général : Modulation linéaire en bande de base

On transmet une séquence {a_k , k ∈ Z} de symboles indépendants et équiprobables (moyenne m_a, variance σσσσa²) pris dans un alphabet de modulation réel Amod (précisé selon les questions) de taille M, à l’aide du signal (réel) :

) (

.

) (

0 k

s e

k

s

. a h t kT

T t

x = ∑

^+∞

−

= ,

où h_e(t) est la Réponse Impulsionnelle du filtre d’émission, d’énergie || h_e ||²

h

_e

t dt

def

)

2

∫ (

+∞

∞

−

=

,

On suppose que le récepteur :

- reçoit : r(t) = x(t) + n(t) , où n(t) est un BBAG réel de DSP mono-latérale N0, - filtre r(t) par le filtre de réception de réponse impulsionnelle hr(t) = he*(-t + t0) - échantillonne la sortie y(t) aux instant t_k = kTs + t₀, pour obtenir y_k = y(t_k), - prends à partir de yk la décision âk sur le symbole émis ak

1) Un scénario donné : pour M = 8 avec ak ∈ Amod = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14}, un format RZ (retour à Zéro) pour he(t) tel que x(t) peut évoluer entre 0 et 14 volts, le débit symbole Ds = 1/Ts est fixé (ici seulement) à 1 Msymb/sec. Indiquer :

a- quel est le débit binaire transmis Db (Mbit/sec) ? b- la Puissance moyenne du signal émis Px (en Volt^2) ?

c- Après avoir indiqué votre « mapping » bits / symboles, dessiner pour l’exemple de la suite de bits à émettre « 010011000100 » à partir de t= 0, x(t) et y(t) (sans bruit) en précisant votre choix de t0, et en graduant bien les axes (micro-sec, Volt).

d- A partir du dessin de y(t), expliquer votre règle de décision (niveau des seuils) sur les symboles à partir des échantillons y_k.

e- Le filtre de réception hr(t) = he*(-t + t0) permet-il ici de garantir la Probabilité d’erreur minimum pour un rapport Eb/N0 donné ? Est-ce toujours le cas ?

2) Modulation de type PAM polaire : on suppose dans cette partie une modulation de type PAM polaire (alphabet des symboles est centré de type Amod = {-(M-1) ; -(M-3) ;

…, -1 ; +1 ; … ; +(M-3); +(M-1)}), et une Bande de Transmission limitée à B.

Performances

a- D’après la figure 1, comment varie la fiabilité de la transmission pour un (Eb/N₀)_dB fixé par exemple à 12 dB (soit Eb/N₀ = 16) en fonction de la taille du dictionnaire M ? b- Commenter ce résultat à partir de la formule donnant le carré de la distance

Euclidienne minimale entre les signaux du dictionnaire, dmin2

, en fonction de M et Eb.

Bande

c- Quelle est la Bande minimum nécessaire pour rendre possible une transmission sans Interférence Entre Symboles (IES) en fonction du débit binaire Db=1/Tb et de M ? d- En déduire l’efficacité spectrale (maximale) de la modulation ηηηη en bit/sec /Hz en

fonction de M ?

e- Quelle est la bande minimum nécessaire pour acheminer avec ce procédé un débit de 3 Mbit/sec avec une Probabilité d’erreur inférieure à 10^-4 et un (Eb/N0)dB≤ 10 dB ?

f- Quel est le (Eb/N₀)_dB minimum nécessaire pour acheminer avec ce procédé 3 Mbit/sec avec une Probabilité d’erreur inférieure à 10^-4 et une bande B ≤ 500 kHz ?

Figure 1 : Courbe de Probabilités d’erreur binaire Pe en fonction du rapport Eb/N₀ en dB ((Eb/N0)dB = 10log10((Eb/N0)) pour une transmission optimale avec une Modulation Linéaire M-aire (de type PAM polaire)

Conclusion

g- Conclure sur les avantages/inconvénients de ce type de procédé de modulation avec M élevé pour transmettre un débit d’information donné Db.

h- Quelle aurait été la conclusion pour une modulation à l’aide d’un dictionnaire à M signaux orthogonaux?

Dans la suite de l’exercice, le débit symbole est fixé à Ds =1/Ts = 1 Msymb/sec et on utilise un filtre d’émission He(f) de fonction de transfert:

)

2 2 exp(

. ) ( )

( t

⁰

f j f

H f

H

_e

=

_e

− π

_,

avec

H

_e

( f ) = N ( f )

où N(f) est la fonction triangulaire (réelle, paire et positive) définie par la figure 2, de support mono-latéral de largeur B = 1 MHz.

Figure 2 : Fonction de transfert N(f) (correspondant à |He(f)|² )

3) Filtre d’émission :

a- Enoncer (à l’aide d’une formule mathématique) la propriété de symétrie que la réponse impulsionnelle du filtre he(t) présente nécessairement (ne pas calculer he(t)) ? b- Quelle approximation on devra faire en pratique pour réaliser he(t) ?

c- Exprimer l’énergie du filtre d’émission, || he ||² , en fonction de Ts

d- Dessiner l’allure de la Densité Spectrale de Puissance Γx(f) en graduant bien l’axe de fréquence en MHz, et précisant le Débit binaire pour les 2 scénarios suivants:

d1- M = 2 états, avec ak ∈ Amod = {-1, +1}

d2- M = 4 états, avec ak ∈ Amod = {0, 1, 2, 3}.

4) Filtrage global Emission-Réception en fréquence : P(f) = He(f).Hr(f) :

a- Partant de hr(t) = he*(-t + t0), exprimer la fonction de transfert du filtre global Emission-Réception P(f) = He(f).Hr(f) en fonction de N(f) et de t0 ?

b- Est-ce que la variable de décision, y_k, est affectée d’IES ? Justifier précisément en donnant la condition (en fréquence) sur le filtre N(f) garantissant l’absence d’IES.

c- Pourquoi peut-on qualifier He(f) de filtre de module « en Racine de Nyquist » ? d- Quel est l’excès de bande (roll-off) du filtre d’émission par rapport à Bmin ?

5) Formule de Puissance : on rappelle que pour une modulation linéaire (et symboles dé- corrélés), la puissance du signal x peut toujours s’exprimer par :

∑

≠

+ +

=

0

) . ( .

. .

).

(

^{2 2 2 2}

n

s he a

s e

s a a

x

m T h T m C n T

P σ

_{où C t h u h u t du}

e e

he( )=^+∞

∫

( ) ^*( − )

∞

−

a- Peut-on ici résumer la formule de Px au premier terme (c’est-à-dire que le terme

∑

≠ 0

) . ( .

.

²

n

s he a

s

m C n T

T

est toujours nul, même si ma est non nul) ? Justifier.

b- Annexe-Bonus : donner l’expression de C_he(t) et dessiner son allure.

6) Bilan global : exprimer yk sous la forme yk = λλλλ.ak + wk , en précisant a- l’expression du gain λλλλ,,,,

b- les propriétés statistiques (moyenne, variance) de la perturbation wk ,

c- le Rapport signal à Bruit sur la variable de décision recentrée (indicateur de qualité pour M donné) : RSB’y = λλλλ^{2 2 2 2} σσσσ_a^{2 /} σσσσw2

en fonction de N₀, σσσσ_a^{2 , Ts,}

d- Re-exprimer RSB’y en fonction des rapports Eb/N₀ ,

σ

_a²

/( σ

_a²

+ m

_a²

)

, et de M.

e- Qu’obtient-ton dans le cas particulier M = 2 états, avec ak ∈ Amod = {-1, +1}

7) Changements des filtres Emission / Réception : le module du filtre d’émission est

changé par une forme rectangulaire :











= ∈

sinon 0

Ts

; 1 Ts - 1 f si 2 / ) 1 ( f

H_e

,

d’énergie ||h_e||²

=1/Ts. Le filtre de réception est désormais

)

2 2 exp(

. 2 ).

( )

( t

⁰

f j f

N f

H

_r

= − π

, de

module triangulaire et à phase linéaire, d’énergie ||hr||² =( 4/3).1/Ts.

a- La variable de décision yk est-elle affectée d’IES ?

b- Quelles sont les performances en terme de RSB’y en fonction du rapport Eb/N₀ (cas M = 2 états, avec a_k∈ Amod = {-1, +1}) ? Comparer au cas précédent.

--- Eléments de Réponses (brouillon) --- Exercice I Questions Diverses (Signal, Information, Communication)

1) Numérisation : fmax = 100 kHz, aléatoire blanc, loi uniforme entre -5 et 5 volts.

a- Fréquence d’échantillonnage (Fe) minimum : 2.fmax = 200 kHz b- Signal stationnaire, Px = E{x^2} = (10-0)^2/12 = 8.333 v^2 Les échantillons sont quantifiés de manière uniforme sur 12 bits

c- Db = 200k.12 = 2.4 Mbit/sec

d- variance du bruit de quantification : q^2/12 avec q = 10/2^12, d’où Variance = 100/(12.2^24) = 5.10-7 volt^2 ,

et donc RSBq= 10^2/q^2 = 2^24, soit (RSBq)_dB = 72 dB

Avec hypothèses de calcul : bruit de quantification blanc, uniforme sur [-q/2 ; +q/2].

2) Théorie de l’Information-Capacité de canal à Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG):

Une source binaire (bits indépendants et équiprobables) Db bit/sec, bande passante B=

500 kHz, N₀ = 4××××10^-21 Watt/Hz, Puissance signal P = 2××××10^-15 Watt,

a- Dbmax = Ct = Bxlog2(1 + RSB) avec RSB = P/(N0xB) = 2x10^-15/(4×10^-21 x500x10^3) = 1,

d’où Db1_max = 500k x log2(2) = 500 kbit/sec.

b- On peut obtenir une transmission fiable avec un débit double soit Db’max = 1000 kbit/sec en changeant la Puissance du signal P telle que 1+ RSB = 4 (au lieu de 2) soit RSB = 3 (au lieu de 1), et donc P’ = (3/1)xP = 3P = 6××××10^-15 Watt.

c- Mais attention, doubler la Bande Passant B ne revient pas à double le débit car le RSB est aussi divisé par 2 … (à puissance utile constante).

En fait si B-> infini, Ctmax = (P/N0)/ln(2) = (2×10^-15 / 4×10^-21 ) *1.4427 = 500k*1.4427 = 721.35 kHz, donc même avec une bande infinie, impossible de doubler le débit d’info ! 3) Mesures pratiques et Formules théoriques de Puissance modulation linéaire

a- P = E{ x(t)²} valable si x est stationnaire, ce qui n’est pas le cas d’un signal de com.

Num à Mod. Linéaire.

b- Mais x étant cyclo-sationnaire de périodicité Ts (c’est-à-dire E{x(t)} = E{x(t+Ts)}, Px peut être calculé en moyennat E{x(t)} sur une durée Ts.

Exercice II Modulation linéaire en bande de base

1) Un scénario donné : pour M = 8 avec ak ∈ Amod = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14}, un format RZ, et Ds = 1/Ts = 1 Msymb/sec.

a- Db = Ds.log2(M) = 1Msym/sec x 3 = 3 Mbit/sec

b- ma = 7, sigma^2 = ¼.(7^2+5^2+3^2+1^2) = (49+25+9+1)/4 = 21 Volt^2 Ts.||he||^2 = ½,

D’où Px = ½.(ma^2 + sigma^2) = ½.(21 + 49) = 35 Volt^2 c- M=8 => 3bits symbole lecture « 010 » « 011 » « 000 » « 100 », d- Lambda = ½ d’où 7 seuils 1/2×{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13}

e- Ici Pe min, mais pas dans le cas général si présence d’IES.

2) Modulation de type PAM polaire : Amod = {-(M-1) ; -(M-3) ; …, -1 ; +1 ; … ; +(M-3); +(M-1)}), et une Bande de Transmission limitée à B.

Performances

a- D’après la figure 1, fiabilité de la transmission pour un (Eb/N0)dB fixé par exemple à 12 dB (soit Eb/N₀ = 16) diminue lorsque M augmente (c’est àdire Pe augmente) b- Cohérent avec dmin2

= 12. Eb.log2(M)/(M^2 -1) qui diminue avec M.

Bande

a- Mod Linéaire en bande de base Bmin = 1/(2Ts) = ½ . Db/log2(M) .

b- Efficacité spectrale de la modulation ηηηη = Db/Bmin = 2 . log2(M) en bit/sec /Hz d’après figure 1, pour acheminer avec une Probabilité d’erreur inférieure à 10^-4 et un (Eb/N0)dB ≤ 10 dB, il faut nécessairement M = 2, et donc Bmin = 1.5 MHz pour un débit bianire de 3 Mbit/sec

c- pour acheminer avec une bande B ≤ 500 kHz, il faut nécessairement log2(M) >=

1/2Db/Bmin = 3 pour Db = 3 Mbit/sec, soit M >= 8. Et donc d’après la courbe, on lit pour M= 8 et Pe inférieure à 10^-4 un (Eb/N₀)_dB minimum d’environ 16.5 dB.

Conclusion

d- avec M élevé, bien pour économiser la bande mais couteux en Eb/N0

e- Conclusion inverse pour les modulations à l’aide d’un dictionnaire à M signaux orthogonaux.

Dans la suite de l’exercice,

)

2 2 exp(

. ) ( )

( t

⁰

f j f

H f

H

_e

=

_e

− π

, avec

H

_e

( f ) = N ( f )

où N(f) est la fonction triangulaire de largeur B = 1/Ts = 1 Msymb/sec.

3) Filtre d’émission :

a- filtre à phase linéaire tel que he(t - t0/2) = he(-t - t0/2) (pair autour de t0/2).

b- prendre t0 >>1/B et tronquer

c- l’énergie du filtre d’émission, || he ||² = 1/ Ts d- allure de la Densité Spectrale de Puissance Γx(f)

e- MHz, et précisant le Débit binaire pour les 2 scénarios suivants:

d1- M = 2 états, avec ak ∈ Amod = {-1, +1}=> allure de N(f), Db = 1Mbit/sec d2- M = 4 états, avec ak ∈ Amod = {0, 1, 2, 3}=> allure de N(f) + raie en 0, Db = 2 Mbit/sec

4) Filtrage global Emission-Réception en fréquence : P(f) = He(f).Hr(f) :

a- partant de h_r(t) = he*(-t + t₀), on déduit Hr(f) = He*(f).exp(-j2pi.f.t0) et donc P(f) = He(f).Hr(f) = |He(f)|^2 . exp(-j2pi.f.t0) = N(f). exp(-j2pi.f.t0).

b- filtre global doit respecter le critère de Nyquist (CNS d’absence d’IES) qui amène à sum_n N(f –n/Ts) = constante , OK ici .

c- N(f) est un filtre de Nyquist, et donc He(f) à un module « en Racine de Nyquist ».

d- On a B = 2 Bmin, d’où, excès de bande (roll-off) est 100%

5) Formule de Puissance :

a-

C

_he

( n . T

_s

)

=0 si He(f) est un filtre de module « en Racine de Nyquist » à phase linéaire. En effet, dans ce cas, le filtre global après filtre adapté retardé de t0, p(t) = Che(t-t0) est un filtre de Nyquist qui s’annule pour t0 + nTs, où n in Z.

Et donc Che(t) s’annule tous les nTs, et on peut utiliser la formule simplifiée de la puissance.

b- Annexe-Bonus : d’ailleurs ici Che(t) = TF-1{porte(t) * porte(t) } = sinc^2(pit/Ts) qui s’annule bien tous les n.Ts hormis n = 0 …

6) Bilan global : exprimer y_k sous la forme y_k = λλλλ.a_k + w_k , en précisant a- cours λλλλ = Τ = Τ = Τ = Τs.||he||^2 = 1 ici

b- bruit wk , centré de variance N0/2.||hr||^2 = N0/(2Ts)

c- d’où Rapport signal à Bruit sur la variable de décision recentrée RSB’y = λλλλ^{2 2 2 2} σσσσ_a^{2 /} σσσσw2

= 2 σσσσ_a^{2 Ts/ N}0,

d- On a Eb = Px .Ts/log2(M) =

( σ

_a²

+ m

_a²

). 1 . Ts / log 2 ( M )

, Et donc RSB’y = 2 σσσσa² Ts/ N₀ =

. log 2 ( )

) . (

2 0

_{2 2}

2

m M N

Eb

a a

a

σ + σ

e- Dans le cas particulier M = 2 états, avec a_k∈ Amod = {-1, +1} on retrouve 2Eb/N0

7) Changements des filtres Emission / Réception :











= ∈

sinon 0

Ts

; 1 Ts - 1 f si 2 / ) 1 ( f

H_e

,

avec ||he||² =1/Ts.

Et

)

2 2 exp(

. 2 ).

( )

( t

⁰

f j f

N f

H

_r

= − π

, avec ||hr||² =( 4/3).1/Ts.

a- Toujours pas d’IES, car le filtre global n’a pas changé

b- Mais il n’y a plus eu le filtre adapté , donc RSB’y nécessairement moins bon.

Eb inchangé, gain λλλλ = Τ = Τ = Τ = Τs.||he||^2 = 1 idem, mais variance du bruit en sortie du filtre de réception est cette fois N0/2. ||hr||^2 , multiplié par 4/3 par rapport précédent.

D’où nouveau RSBy’ diminué, multiplié par ¾.