1 ENSIMAG&PHELMA /filière ISSC 2° année Mai 2016
2 heures, 4 pages
Examen de « Systèmes de Transmission Numérique »
Notes : On s’attachera à donner des réponses courtes et précises. Elles pourront s’appuyer sur les résultats de cours/TD, ainsi que sur les courbes de performances théoriques des modulations linéaires ou orthogonales de taille M rappelées en figure 1.
Le barème est donné à titre indicatif seulement.
Contexte général
On doit transmettre un paquet de Nb bits indépendants et équiprobables au débit : Db =1/Tb
bit/sec au travers d’un canal à Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG). Le signal émis x(t) utilise une modulation de taille M (en bande de base), consistant à envoyer à chaque intervalle de temps Ts = Tb.log2(M) un signal x(m)(t) parmi M possible, selon le modèle général:
( ) ( )
0 k
)) (
( s
Ns k
m
t kT
x t
x
, où Ns = Nb / log2(M) >> 1.
Le signal à l’entrée du récepteur est : r(t) = x(t) + n(t), où n(t) est le BBAG réel de DSP bilatérale N0/2 (volt2/Hz). On notera (pour la période de transmission) : Px la puissance moyenne du signal (Watt ou volt2) du signal x, B sa bande mono-latérale (en Hz), et Eb son énergie moyenne par bit (volt2.sec).
Figure 1 : Réseaux (pour tailles de modulation M=2, 4, 8,…) de courbes de Probabilité d’erreur en fonction du rapport Eb/N0 en transmission optimale avec 2 types de modulation:
- à gauche : linéaire M-PAM (symboles centrés) - à droite : à M signaux orthogonaux (de même énergie)
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A- Généralités
[6.5 points]1) En pratique la Probabilité d’erreur Pe est estimée à l’aide de la mesure du Taux d’Erreur Binaire (TEB).
1.1 Indiquer l’ordre de grandeur du nombre de bits Nb à envoyer si l’on veut estimer une Pe de l’ordre 10-3, avec un écart type d’erreur inférieur à 20 pourcent de Pe.
1.2 Cela reviendra à observer (en moyenne) combien de bits faux à la réception ?
2) Rapport signal à bruit en entrée du récepteur (mesurée dans sa bande) :
B N
= P RSB
0 in
x 2.1 Expliquer ce que représente le dénominateur de cette formule, N0B.
2.2 Pourquoi la comparaison des performances en probabilité d’erreur de différentes modulations ne se fait généralement pas en fonction de RSBin (mais plutôt en fonction du rapport Eb/N0, comme dans la figure 1 par exemple) ?
2.3 Exprimer le RSBin en fonction du rapport Eb/N0 et de l’efficacité spectrale de la modulation = Db/B en bit par seconde et par Hz (notée bps/Hz dans la suite) ?
3) Durée de transmission Ttotal :
3.1 Exprimer la durée totale de transmission Ttotal en fonction du nombre de bits Nb, de la bande B, et de l’efficacité spectrale (on négligera les éventuels temps transitoires de début et de fin) ;
3.2 Applications numériques : Calculer Ttotal en sec pour Nb = 3000 bits, B = 1 kHz, et pour 3 valeurs de : = 0.1 bps/Hz ; = 1 bps/Hz ; = 10 bps/Hz ; 4) Théorie de l’information (TI) et transmission
4.1 Qu’est ce qui permet ici d’affirmer que le débit binaire Db (bit/sec) correspond aussi au débit d’information (ou entropie par seconde Ht, en Sh/sec) ?
4.2 Rappeler d’après le théorème de la capacité de Shannon :
a- l’expression du débit d’information maximum Dbmax (ou capacité Ct) en fonction de B, et RSBin pour qu’une transmission fiable soit possible.
b- l’expression du rapport Eb/N0 minimum nécessaire (noté EbTI / N0) pour une efficacité spectrale donnée pour qu’une transmission fiable soit possible.
c- Calculer le rapport EbTI / N0 (en échelle linéaire puis en dB) pour = 0.01 bps/Hz ; 0.1 ; 1 ; 10 et tracer l’allure de la fonction (EbTI / N0) en fonction de
d- Donner le sens de variation de la fonction (EbTI / N0) et établir les limites préciément (si existent) lorsque tends vers zéro et vers l’infini.
4.3 Conclusions selon la théorie de l’information (pour une DSP de bruit N0 fixée) : a- Est-il théoriquement possible d’augmenter l’efficacité spectrale (à volonté ou
jusqu’à une certaine limite finie ?) en augmentant Eb ?
b- Est-il théoriquement possible de réduire l’énergie par bit Eb (à volonté ou jusqu’à une certaine limite ?) en modifiant (dans quel sens ?) l’efficacité spectrale
c- Lorsqu’on considère une bande B fixée et une paquet de Nb bits de taille fixe, est-il finalement théoriquement possible de réduire Eb (à volonté ou jusqu’à une certaine limite ?) en augmentant la durée de transmission Ttotal ?
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B- Modulation linéaire PAM à M états
(symboles centrés) [9 points].Dans la partie B on considère une modulation linéaire.
On rappelle alors que
( ) T . . ( )
0 k
s s
Ns e
k
h t kT
a t
x
, où he(t) est la R.I. du filtre d’émission et {ak } représentent les symboles (à M états possibles).
Le Récepteur linéaire inclut un filtre hr(t) =he ( -t + t0), un échantillonnage aux instants tk
= t0 + kTs suivi d’un seuillage (à M-1seuils). On note y(t) = r(t) * hr(t) et yk = y(tk).
5) On suppose ici que le filtre d’émission
sinon 0
1 )
( 4
;3 pour t T4s Ts
e t Ts
h , que Db = 4 kbit/sec
et que les symboles appartiennent à l’alphabet à M=4 états a {-3A ; -A ; +A ; +3A},.
5.1 Exprimer la puissance Px en fonction de A.
5.2 Dessiner l’allure de la Densité Spectrale de Puissance x (f) de x en graduant l’axe des fréquences en kHz. Le spectre contient-il des raies (justifier)?
5.3 Indiquer la plus petite valeur de t0 permettant d’avoir un filtre de réception causal, 5.4 Dessiner l’allure de hr(t), ainsi que de p(t) = he(t)* hr(t), et calculer =Ts.p(t0).
5.5 Dessiner l’allure de x(t) et y(t) sans bruit pour la transmission des bits « 1 0 0 1 » à partir de t= 0, en graduant l’axes des abscisses en msec (préciser votre étiquetage) et l’axe des ordonnées (en fonction de A). Faire apparaitre les instants d’échantillonnage.
5.6 La variable de décision yk est-elle affectée d’Interférence Entre Symboles successifs ? 5.7 Quelles sont les valeurs des 3 seuils à fixer en fonction de A pour décider de l’état des
symboles (on rappelle que M=4) à partir de yk ?
5.8 Exprimer le rapport signal à bruit RSBy sur la variable de décision yk pour cette modulation à 4 états:
en fonction de , E{ak2}, Ts, et N0,
puis seulement du rapport Eb/N0.
5.9 A partir de la figure 1, relever le rapport Eb/N0 minimum permettant une probabilité d’erreur Pe inférieur ou égale à 10-3 (en dB puis en linéaire) ?
5.10 En déduire la valeur du rapport Px/N0 ?
5.11 Pourquoi ce filtrage émission réception permet une transmission optimale (Pe minimum pour un rapport Eb/N0 donné) pour la modulation considérée ?
5.12 Aurait-on pu obtenir une transmission optimale à bande limitée en changeant les filtres d’émission-réception ? Si oui, avec quel type de filtre et avec quelle largeur de bande au minimum en Hz ?
On s’intéresse dans la suite du problème à une transmission à nombre de bits Nb = 3000 bits et largeur de bande B = 1 kHz fixés, mais en faisant varier M (donc Db et Ttotal varient).
6) A partir de l’ expression de la largeur de bande minimale Bmin d’une modulation linéaire, exprimer en fonction de M :
l’efficacité spectrale (maximale) ,
la durée d’émission Ttotal (en sec) des Nb = 3000 bits (Cf Question 3).
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7) Citer un avantage et un inconvénient à augmenter la taille M de la modulation.
8) Faire un tableau indiquant pour les cas tailles M =2,4, …, 32 :
Efficacité spectrale (bps/Hz)
Durée d’émission Ttotal (en sec)
Rapport Eb/N0 minimum en dB permettant une probabilité d’erreur Pe < 10-3 avec le récepteur optimal (on pourra utiliser la figure 1).
9) Tracer l’allure de Eb/N0 minimum en dB en fonction de Ttotal (en sec).
Conclure sur la durée optimale, avec cette modulation pour émettre les 3000 bits à énergie par bit minimale. Est-ce cohérent avec l’éclairage de la théorie de l’information (Cf 4.3) ?
B- Modulation à dictionnaire à M signaux orthogonaux
[4.5 points]. Dans la partie C, le signal x(t) est construit selon une modulation orthogonale de fréquence (Frequency-Shift Keying). Elle utilise un dictionnaire de M signaux x(m)(t) orthogonaux de même énergie. Les x(m)(t) sont construit à base de sinusoïdes (sur des durées limitées) de fréquences respectives (pour m =1, …, M) : fm = m oùTs
2
1
10) L’exemple le plus simple peut-être
sinon 0
t) . m.
. in(2 ) A.
( pour t 0;
) (
Ts
t s
xm
10.1 Dessiner l’allure de x(1)(t) et x(2)(t) pour le cas M = 2.
10.2 Quelle équation intégrale doit-on vérifier pour prouver que ces 2 signaux sont bien orthogonaux ?
10.3 Exprimer le module de la Transformée de Fourier de x(2)(t) pour le cas M=2 et le tracer en graduant l’axe des fréquences en 1/Ts. Commenter.
L’exemple précédent peut-être affiné (en utilisation des durées de signaux supérieures à Ts notamment) pour permettre que la majeure partie de la puissance de x(t) soit contenu (approximation plus précise pour M élevé) dans une bande : B = M.
11) En déduire les expressions (approximatives) en fonction de M :
de l’efficacité spectrale (maximale) de cette modulation orthogonale,
de la durée d’émission Ttotal (en sec) des Nb = 3000 bits.
Comparer au cas de la modulation linéaire pour une même valeur de M.
12) 13) 14) En supposant toujours B = 1 kHz et Nb = 3000 bits :
reprendre les questions 7), 8) et 9) pour le cas de cette modulation orthogonale.
Bonus) : Conclusion générale sur la transmission à faible énergie par bit à bande B fixée.
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%--- Eléments de réponses ---%
A-Généralités
1) Probabilité d’erreur Pe
1.1 nombre de bits Nb pour estimer une Pe de l’ordre 10-3, avec un écart type d’erreur inférieur ou égal à 20 pourcent de Pe :
Nb > (1/Pe).(1/0.2)^2 = 1000x25 = 25000
1.2 Ce qui reviendra à observer (en moyenne) 25 bits faux à la réception.
2) RSB en entrée du récepteur (mesurée dans sa bande) :
B N
= P RSB
0 in
x
2.1 le dénominateur de cette formule, N0B représente la puissance du bruit blanc de DSP N0/2 observée au travers d’un filtre de gain 1 et de largeur de bande (mono-latérale B), soit Pbruit = integrale de –B/2 à B/2 de N0/2 df = 2B.N0/2= B.N0.
2.2 Comparaison des performances en Pe de différentes modulations ne se fait généralement pas en fonction de RSBin car il faudrait connaitre précisement la bande du récepteur qui dépends de beaucoup de paramètres (débit, roll-off, …).
2.3 RSBin = (Eb/N0).(Db/B) = (Eb/N0).
3) Durée de transmission :
3.1 Ttotal = Nb / Db = (Nb B) /
3.2 A.N. pour Nb = 3000 bits, B = 1 kHz, soit (Nb B)=3 Ttotal = 30 sec pour = 0.1 bps/Hz ;
= 3 sec pour = 1 bps/Hz
= 0.3 sec pour = 10 bps/Hz
4) Théorie de l’information (TI) et transmission
4.1 le débit binaire Db (bit/sec) correspond ici aussi au débit d’information car les bits sont indépendants et équiprobables, il n’y a donc pas de redondance.
4.2 D’après le théorème de la capacité de Shannon : a- Dbmax (ou capacité Ct) = B.log2(1 + RSBin ) b- (EbTI / N0) ≥ (2 -1) /
c- EbTI / N0 = 0.6956 (soit -1.57 dB) pour = 0.01 bps/Hz ;
= 0.72 (soit -1.44 dB) pour = 0.1 bps/Hz
= 1 (soit -0 dB) pour = 1 bps/Hz
= 102.3 (soit 20 dB) pour = 10 bps/Hz
d- fonction (EbTI / N0) est croissante, les limites ln(2) = 0.69 (soit -1.6dB) lorsque tends vers zéro, et limite = + infini lorsque tends vers et vers l’infini.
4.3 Conclusions selon la théorie de l’information (pour une DSP de bruit N0 fixée) : a- Oui, il est possible d’augmenter (à volonté sans limite) en augmentant Eb . b- Et de réduire Eb (jusqu’à limite ln(2).N0) en dégradant l’efficacité spectrale
c- Pour B fixée et Nb fixé, oui il est possible de réduire Eb (jusqu’à limite ln(2).N0) en augmentant Ttotal, ce qui revient à diminuer = Nb / Db = (Nb B)/ Ttotal.
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B- Modulation linéiare M-PAM (symboles centrés)
5) On suppose ici que le filtre d’émission
sinon 0
1 )
( 4
;3 pour t T4s Ts
e t Ts
h
et que les symboles appartiennent à l’alphabet à M=4 états a {-3A ; -A ; +A ; +3A}.
5.1 Px = E(a^2}.Ts||he||^2 = (20A^2/4).1/2 = 2,5.A^2
5.2 Allure de la Densité Spectrale de Puissance x (f) est un sinc2 avec des zéros tous les n.2/Ts = n.Db, soit tous les 4kHz. Le spectre ne contient pas de raies.
5.3 t0 min = 3Ts/4 afin que le filtre de réception soit causal,
5.4 allure de hr(t)= porte de hauteur 1/Ts sur [0 ; Ts/2] et p(t) = he(t)* hr(t) est un triangle sur [Ts/4 ; 5Ts/4] avec max en t0 = 3Ts/4, et de hauteur ||he||^2 = 1/(2Ts), d’où = 1/2.
5.5 Dessin de x(t) et y(t) sans bruit pour la transmission des bits « 1 0 0 1 » à partir de t=
0.
5.6 La variable de décision yk est sans IES (critère de Nyquist respecté).
5.7 Valeurs des 3 seuils : -/+lambda.2A, et 0 avec ici lambda = ½.
5.8 RSBy = lambda^2.E{a^2} / (N0/2).(1/2Ts) = 4.lambda^2.Ts E{a^2}/N0 = 4Eb/N0.
5.9 A partir de la figure 1, probabilité d’erreur Pe inférieur ou égale à 10-3 , on relève (Eb/N0 ) > 10.5 dB, soit 10^1.05= 11 en linéaire) ?
5.10 On en déduit Px/N0 = (Eb/N0 ).Db = 11.4.10^3 , environ 44000.
5.11 Ce filtrage émission réception permet une transmission optimale car pas d’IES et FA.
5.12 On aurait pu obtenir une transmission optimale à bande limitée en prenant par exemple des filtres he et hr en racinde de cosinus surélevés, avec une bande au minimal de Bmin = Ds/2 = 1 kHz.
6) Pour une modulation linéaire en général, à partir de Bmin = Ds/2 on déduit = 2Db/Ds => = 2log2(M)
Avec modulation linéaire : Ttotal_lin = (Nb B) / 3 / = log2
7) L’augmentation de M permet d’augmenter l’efficacité spectrale, mais nécessite d’augmenter le rapport Eb/N0 nécessaire à une performance donnée.
8) Tableau:
M-lineaire 2 4 8 16 32
(bps/Hz) 2 4 6 8 10
Ttotal (sec) 1.5 sec 0.75 sec 0.5 sec 0.375 sec 0.3 sec Eb/N0 dB
à Pe < 10-3 7 dB 10.5 dB 15 dB 19 dB 25 dB
9) Conformément à la théorie de l’information, on minimise Eb en augmentant Ttotal, mais on ne peut pas aller au delà de Ttotal optimal = 1.5 sec avec cette modulation.
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B-
Modulation orthogonale
10) un exemple :
10.1 Dessiner l’allure de x(1)(t) et x(2)(t) pour le cas M = 2.
10.2 < x(1)(t) ; x(2)(t) > = 0 10.3 module TF.
11) bande B = M. d’où efficacité spectrale :
Db/B = [ Ds/log2(M) ] / [ M.Ds/2 ] => 2.log2(M)/M bps/Hz.
Efficacité spectrale divisée par M comparée à la modulation linéaire
12) L’augmentation de M permet avec une modulation orthogonale de diminuer le rapport Eb/N0 nécessaire à une performance donnée, mais nécessite de dégrader l’efficacité spectrale.
13) Avec modulation linéaire : Ttotal_orthogonal = 3 / log2
Donc Ttotal_orthogonal = M. Ttotal_lineaire.
14) Tableau:
M-orthog 2 4 8 16 32 64
(bps/Hz) 1 1 0.75 0.5 0.3125 0.1875
Ttotal (sec) 3 sec 3 sec 4 sec 8 sec 9.6 sec 16sec Eb/N0 dB
à Pe < 10-3
9.5 dB 7.5 dB 6 dB 5 dB 4.5 dB 4dB
Conformément à la théorie de l’information, on minimise Eb en augmentant Ttotal, mais avec cette modulation on peut augmenter Ttotal à l’infini contrairement à la précédente, ce qui permet de diminuer davantage Eb.
