Fonctions polynômes de 2
èmedegré
1) Définition : Etant donnés a, b, c réels, a ∫ 0, la fonction
f : R → R , f ( x ) = ax
2+ bx + c
s’appelle fonction (polynôme) de degré 2, de coefficients a, b, c.Remarque : Si a = 0, on retrouve la fonction affine.
2) La forme canonique de la fonction de degré 2
a a
x b a x
f ( ) 2 4
2
+ − Δ
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
=
, pour tout x réel.Dém :
c bx a ax
ac a
b a bx b a ax
ac b
a b a x b x a a
a x b
a ⎟ − − = + + − + = + +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
Δ = + −
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
2 2 22 2 2 2 2 24 4 4 4 4
4 4
2 2 4
2
3) Les points d’extremum (minimum / maximum) : La fonction de degré 2 a un point d’extremum en :
a x b
− 2
=
. La valeur de cet extremum est :a a
f b
4 2
− Δ
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ −
. Si a>0, cet extremum est un point de minimum.Si a<0, c’est un point de maximum.
Dém :
4) Les intervalles de monotonie de la fonction de degré 2 Soit
f : R → R , f ( x ) = ax
2+ bx + c
.a) Si
a > 0, f
est strictement décroissante sur l’intervalle⎥⎦⎤
⎜⎝
⎛−∞− a b , 2 et strictement croissante sur l’intervalle ⎟
⎠
⎢⎣ ⎞
⎡− ,∞ 2a
b .
b) Si
a < 0, f
est strictement croissante sur l’intervalle ⎜ ⎥⎦⎤⎝
⎛−∞− a b , 2 et strictement décroissante sur l’intervalle ⎟
⎠
⎢⎣ ⎞
⎡− ,∞ 2a
b . Dém :
5) Le tableau de variation de la fonction de degré 2 6) Les symétries de la fonction de degré 2
La droite d’équation
a x b
−2
= est un axe de symétrie (vertical) pour le graphique de la fonction de 2d degré.
Dém :
Les racines de l’équation de 2d degré et les points d’intersection du graphique de f avec (Ox) Le tableau de variation et le graphique de la fonction de degré 2
Le signe de la fonction de degré 2 et inéquations de 2d degré
