EM4 : Induction électromagnétique

ATS ATS

Jules Ferry

EM4 : Induction électromagnétique

I. Mise en évidence expérimentale

1. Expérience de Faraday (1831-Anglais)

Conclusion : une variation de champ magnétique vue par la bobine produit un courant induit dans la bobine : c’est le phénomène d’induction.

2. Loi de Lenz (ou loi de modération)

Les phénomènes d’induction s’opposent aux causes qui leur ont donné naissance.

Exemple : pour l’expérience de Faraday, le courant induit crée un champ magnétique qui s’oppose aux variations du champ initial.

II. Loi de Faraday

1. Force électromotrice induite ^eind

Le courant induit en circuit fermé peut être interprété comme le courant dû à un générateur (fictif) de force électromotrice (f.e.m.) e_ind appelée force électromotrice induite.

Cette fem induite est symbolisée par un générateur de tension : 2. Énoncé

Loi de Faraday : la fem induite e_ind apparaissant dans un circuit est liée à la variation du flux ϕ_B du champ magnétique ⃗B à travers le circuit :  e_ind=−dϕ_B

dt  avec  ϕ_B=

∬

M∈S

⃗B(M).⃗dS_M où S est une

surface s’appuyant sur le circuit considéré et orientée dans le sens du circuit (règle du tire-bouchon).

ϕ_B est parfois exprimé en Weber, 1Wb=1T.m². Remarque : cette variation de flux peut provenir :

• de B⃗ variable (cf III) ;

• du circuit mobile (cf IV) ;

• ou des 2 à la fois (cf moteur asynchrone).

loi de Lenz

e_ind

i

3. Orientation et utilisation Méthode de calcul de e_ind  :

• on oriente le circuit (on choisit un sens ⊕ puis on oriente e_ind  et i dans ce sens  ⊕ ; si i ou e_ind  est déjà définie par l’énoncé alors elle indique déjà le sens ⊕ du circuit) ;

• on calcule  ϕ_B (⃗dS orienté par le sens ⊕) ;

• on applique la loi de Faraday.

Exemples : 1. Orientation :

2. Calcul de e_ind, pour une spire circulaire fixe, plongée dans un champ B⃗ uniforme mais variable, tel que B⃗⊥ surface de la spire :

4. « Démonstration » (il faut savoir d’où provient la loi de Faraday)

Équation de Maxwell-Faraday : ⃗rot( ⃗E)=−∂ ⃗B

∂t donc

M

∬

(⃗rot⃗E).⃗dS_M=−

∬

M∈S

∂ ⃗B

∂t .⃗dS_M“ ≃” − ∂

∂t

∬

M∈S

B(⃗ M).⃗dS_M=−dϕ_B dt

Remarque : ce passage mathématique, plus que discutable, reste vérifié pour l’ensemble des exercices vus en ATS, sauf pour le haut parleur (cf ex5 du TD).

Par le théorème de Stokes, on obtient :

∮

P∈Cf

⃗E(P).dl⃗_P=−dϕ_B dt

Signification : la différence de potentiel sur un contour fermé est différente de 0 ! La loi des mailles en régime non stationnaire est mise en défaut !!!

Plutôt que de dire ça, on préfère rajouter artificiellement cette fem induite e_ind=−dϕ_B

dt dans le circuit et continuer à appliquer la loi des mailles ! On parle de loi de Faraday.

III. Cas d’un circuit fixe dans un champ magnétique variable

1. Phénomène d’auto-induction a) Flux propre

On considère un circuit C fixe parcouru par un courant d’intensité i (sens

⊕ dans le sens de i).

Ce circuit crée un champ magnétique propre B⃗_propre dont le flux (on parle de flux propre ϕ_propre), sil varie, peut induire une fem induite : on parle d’auto- induction.

Le champ B⃗_propre créé est proportionnel à i en tout point de l’espace donc ϕ_propre=

∬

M∈S

⃗B_propre(M).⃗dS_M est aussi proportionnel à i :

on pose donc  ϕ_propre=L i  avec  L=cte>0 appelée inductance propre du circuit et s’exprime en henry (de symbole H).

Remarque : si on a un simple circuit sans bobinage, le ϕ_propre et la variation de ϕ_propre sont négligeables ! Et donc e_ind est négligée …

b) Bobine

• Pour une bobine :

avec e_ind=−dϕ

dt =−d Li

dt =−Ldi

dt donc u_AB=Ldi dt

Remarque : si le circuit se déforme, L peut varier donc e_ind=−

(

)

• Pour un solénoïde long de longueur l : B⃗_int=μ₀n iu⃗_z (avec n=N

l et u⃗_z suivant l’axe de révolution du solénoïde, orienté dans le sens de i, par la règle du tire-bouchon) donc ϕ_{propre/1spire}=μ₀niS soit

ϕ_propre/tot=Nϕ_{propre/1spire}=Nμ₀niS=μ₀n²l S i.

Par identification, Lsolénoïdelong=μ₀n²l S ; Ordres de grandeur : 1mH à 100mH . Remarques :

1. si on place un noyau de fer au centre du solénoïde alors μ₀ est remplacée par μ_fer≃400μ₀ : on parle d’électroaimant !

2. On voit dans Lsolénoïdelong=μ₀n²l S , l’unité retenue pour μ₀ : μ₀=Lsolénoïdelong

n²l S s’exprime en H.m⁻¹.

c) Énergie magnétique au sein d’un solénoïde long

E_magn(t)=

∭

M∈V

1 2

⃗B²(M , t)

μ₀ dV_M=

∭

M∈V_ext

1 2

⃗B_ext² (M , t)

μ₀ dV_M+

∭

M∈V_int

1 2

⃗B_int² (M , t)

μ₀ dV_M=1 2

⃗B_int² (t) μ₀ V_int donc E_magn(t)=1

2

μ₀²n²i²(t) μ₀ S l=1

2(μ₀n²S l)i²(t)=1

2Li²(t) : on retrouve la définition de l’électrocinétique de l’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine !

Remarque : E_magn(t) étant continue au cours du temps, l’intensité traversant une bobine est continue.

d) Applications d’une bobine

1. i_L(t) est continue au cours du temps : protection des appareils contre les sauts d’intensité ; 2. La caractéristique est intéressante pour les filtres électrocinétiques (u_L(t)=jLωi(t)) ;

3. Si courant dans une bobine et on ouvre un interrupteur en série alors i_L(t) varie très vite donc e_ind est très grande : une étincelle, ou arc-électrique, apparaît à l’interrupteur (voulue ou non).

2. Phénomène de mutuelle-induction a) Généralités

On considère deux circuits C₁ et C₂ parcourus par les intensités i₁ et i₂.

• Le flux traversant C₁ provient :

◦ du flux propre de C₁ : ϕ_B1→C1=L₁i₁ ;

◦ du flux du champ magnétique créé par C₂ : ϕ_B2→C1=M i₂.

• Le flux traversant C₂ provient :

◦ du flux propre de C₂ : ϕ_B2→C2=L₂i₂ ;

◦ du flux du champ magnétique créé par C₁ : ϕ_B1→C2=M ' i₁=M i₁. Remarques :

1. par le théorème de Neumann (hors programme en ATS), on démontre que M '=M . 2. Dans notre exemple, M<0.

Définition :

• Le flux total reçu par C₁ est donc  ϕ₁=L₁i₁+M i₂  ;

• le flux total reçu par C₂ est donc  ϕ₂=L₂i₂+M i₁  ;

où  M  est  l’inductance  mutuelle  des   circuits  C₁  et  C₂,  s’exprime   en  henry  (peut  être   positive   ou négative en fonction de l’orientation des deux circuits).

Rupteur des bougies d’un moteur thermodynamique

Étincelles dans les appareils pourvus de bobines

Remarque : ϕ₁=

∬

M∈S₁

⃗B_tot(M).⃗dS_M (a) ;

Par principe de superposition, B⃗_tot(M)= ⃗B₁(M)+ ⃗B₂(M) donc ϕ₁=

∬

M∈S1

⃗B₁(M).⃗dS_M+

∬

M∈S1

⃗B₂(M).⃗dS_M=ϕ_B1→C1+ϕ_B2→C1=L₁i₁+M i₂ (b).

Les 2 écritures (a) et (b) sont justes, il faudra s’adapter à l’énoncé ((b) est utilisée si M est donnée ou si le but de l’exercice est de calculer M ).

En exemple, en TD, nous utiliserons (a) pour le transformateur (ex2) et (b) pour le couplage par mutuelle (ex3).

Propriété : M²⩽L₁L₂ ; dans le cas de l’égalité, on parle de couplage parfait.

Démonstration :

Par l’équation de Maxwell-Flux et par linéarité, divB⃗₁=0 donc le flux de B⃗₁ se conserve sur un tube de champ. Toutes les lignes de champ magnétique de C₁ ne traversent pas C₂ donc ϕ_B1→C1⩾|ϕB1→C2|

⇔L₁i₁⩾|M|i₁⇔L₁⩾|M|.

De même, L₂⩾|M| d’où la propriété.

Le cas du couplage parfait signifie que l’ensemble des lignes de B⃗₁ traversent C₂ et l’ensemble des lignes de B⃗₂ traversent C₁.

Remarques :

1. On définit parfois le coefficient de couplage α = |M|

√

2. Tout comme le phénomène d’auto-induction, la mutuelle induction est non négligeable uniquement pour des bobines.

b) Énergie magnétique

Attention, par définition, l’énergie magnétique est non linéaire !

Définition : l’énergie magnétique d’un système constitué de 2 circuits couplés par inductance mutuelle est E_magn(t)=1

2L₁i₁²(t)+1

2 L₂i₂²(t)+M i₁(t)i₂(t) .

Démonstration : cf TD ex3.

IV. Cas d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

1. Méthode générale Évolution temporelle du circuit :

(a) soit mouvement initial du circuit ⇒ courant induit ⇒ F⃗_La qui s’oppose au mouvement (loi de Lenz).

(b) soit courant initial dans le circuit ⇒ F⃗_La qui met en mouvement le circuit ⇒ courant induit qui s’oppose au courant initial (loi de Lenz).

Remarque : soit les 2 qui se superposent Dans tous les cas, on écrira :

• une équation mécanique où intervient F⃗_La (deuxième loi de Newton);

• une équation électrique où intervient e_ind (loi des mailles).

On aura alors 2 équations couplées (F_La=f(i) et e_ind=f(v)).

Aspect énergétique : on a toujours  P_ind+P_La=0  (admis) où :

• P_ind=e_indi est la puissance électrique fournie par la fem induite ;

• P_La= ⃗F_La.⃗v est la puissance mécanique fournie par la force de Laplace.

Cet aspect énergétique montre que de la puissance mécanique peut être convertie en puissance électrique (sens (a), exemple : alternateur) et inversement (sens (b), exemples : moteur électrique, haut parleur) : on étudie des transducteurs !

2. Exemples à connaître

a) Rails de Laplace (conversion d’énergie électrique en énergie mécanique) TD-cours On étudie le dispositif des rails de Laplace, distants d'une longueur l , alimenté par un générateur de tension continu de fem E . On pose une barre, de masse m, entre les 2 rails, pouvant se déplacer suivant (Ox) sans frottement.

On note R la résistance équivalente du circuit, considérée constante. Le dispositif est plongé dans un champ magnétique extérieur uniforme et stationnaire vertical ⃗B_ext=B⃗e_z .

À t<0 , la barre est immobile et le générateur de tension est éteint.

À t=0 , on allume le générateur de tension E.

1. Décrire brièvement ce qu’il se passe aux instants positifs.

2. Écrire l'équation mécanique du système pour t⩾0. 3. Écrire l'équation électrique du système pour t⩾0. 4. Déterminer la vitesse v(t) de la tige pour t⩾0.

5. Effectuer un bilan de puissance global. (On constatera que P_La+P_ind=0 ).

b) Haut parleur (cf TD ex5)

c) Spire   en   rotation   uniforme   autour   d’un   axe   fixe   (principe   de   l’alternateur : conversion d’énergie mécanique en énergie électrique)

• Ce qu’il se passe : mouvement de rotation dans B⃗_ext⇒e_ind⇒i⇒ ⃗F_La dans le sens de Lens (un couple résistant dû aux forces de Laplace apparaît).

• Équation électrique :

◦ on néglige le phénomène d’auto-induction : ϕ_Bext=

∬

M∈S₁

⃗B_ext(M).⃗dS_M=BScos(θ )=BScos(ωt) ;

◦ loi de Faraday : e_ind=−dϕ_Bext

dt =ω BSsin(ωt) ;

◦ circuit électrique équivalent :

par loi des mailles, il vient e_ind(t)=Ri(t) soit i(t)=BSωsin(ωt)

R il s’agit d’un alternateur ! Remarque : pour améliorer le système, on fait un bobinage avec N spires.

On obtient ϕ_Bext=NBScos(ωt) et e_ind/Bext=NBSωsint(ωt) ;

Par principe de superposition pour le champ magnétique, et par linéarité de la loi de Faraday, on peut rajouter le phénomène d’auto-induction (flux propre) « à la main », en rajoutant l’inductance propre L du bobinage dans le circuit électrique :

par loi des mailles, il vient e_ind/Bext(t)=Ri(t)+Ldi

dt puis étude en RSF par la méthode complexe … si si … z

ω imposée constante uniforme et stationnaire

vue de dessus

B⃗_ext=Bu⃗_x B⃗_ext=Bu⃗_x

θ =ωt

⃗u_S

V. Courants de Foucault

1. Présentation

Si présence de conducteurs non filiformes (de géométrie surfacique ou volumique) mobiles dans un champ B⃗ statique ou fixes dans un champ B⃗ variable, alors des courants induits apparaissent.

Ces courants induits sont appelés courants de Foucault.

2. Avantages et inconvénients

• Pertes par effet Joule : chauffage par plaque à induction et forge à induction.

Remarque : c’est pour éviter les pertes par effet joule que le noyau d’un transformateur est feuilleté.

• Freinage par induction : utilisé dans les camions et TGV (ralentisseurs électromagnétiques), pas de contact donc usure modérée du dispositif !