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SOLUTION – 60. Démontrer qu’un triangle de côtés a, b, c est rectangle si et seulement si : ( a

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Academic year: 2022

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SOLUTION – 60.

Démontrer qu’un triangle de côtés a, b, c est rectangle si et seulement si : ( a4 + b4 + c4 )2 = 2 (a8 + b8 + c8)

On a les identités suivantes :

(a2 + b2 + c2) ( − a2 + b2 + c2) (a2 − b2 + c2) (a2 + b2 − c2) = [(b2 + c2)2 − a4 ] [a4 − (b2 − c2)2] =

− (b4 − c4)2 − a8 + a4 [(b2 + c2)2 + (b2 − c2)2] =

− a8 − b8 − c8 + 2 (a4 b4 + a4 c4 + b4 c4 ) = (a4 + b4 + c4 )2 − 2 (a8 + b8 + c8)

Or, le triangle est rectangle si et seulement si

(− a2 + b2 + c2) = 0 ou (a2 − b2 + c2) = 0 ou (a2 + b2 − c2) = 0.

Comme (a2 + b2 + c2) > 0, le triangle est rectangle si et seulement si :

(a2 + b2 + c2) (− a2 + b2 + c2) (a2 − b2 + c2) (a2 + b2 − c2) = 0 donc si et seulement si : (a4 + b4 + c4 )2 −2 (a8 + b8 + c8) = 0 C Q F D.

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