le 17 F´evrier 2011 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
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Fonctions plusieurs variables
Exercice 1 Quels sont les ensembles de d´efinition des fonctions suivantes ? (repr´esentez graphi- quement cet ensemble).
a) f(x, y) = ln
√1+xy
1−xy b) f(x, y) =e
1 x2+y2−1
c) f(x, y, z) = ln(1 +x2−z2) d) f(x, y, z) = |xy+yz+zxx|+|y|+|z|
Exercice 2 Etudier l’existence d’une ´eventuelle limite pour X = (x, y)→(0,0) des fonctions : a) f(x, y) = xx+y2+y2 b) f(x, y) = xx44+yy22
c) f(x, y) = (|xx|2++y|y|2)2 d) f(x, y) = √x2
x2+y2
e) f(x, y) = xx22−+yy22
Exercice 3 Calculer les d´eriv´ees partielles de a) xesinyz
b) (ax2+by2)n
c) xyz, x >0 et y >0
Exercice 4 Soit la fonction f d´efinie par : {
f(x, y) = x2y+y4 2 si (x, y)̸= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0) 1 - f est-elle continue sur R2?
2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles ? Sont-elles continues ? 3 - Montrer que
δ2f
δxδy = δ2f δyδx.
Exercice 5 On pose Ω =R2/{(0,0)}. Soit f :R2→R
{
f(x, y) =xyxx22−y+y22 si (x, y)∈Ω f(0,0) = 0
1) Montrer quef est continue sur R2.
2) Montrer quef est diff´erentiable surΩ et calculer sa diff´erentielle.
3) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles ∂f∂x(0,0) et ∂f∂y(0,0).
5) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles secondes δxδyδ2f (0,0) et δyδxδ2f (0,0). Que peut-on en d´eduire ?
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Exercice 6 R´esoudre les ´equations aux d´eriv´ees partielles :
δ2f
δx2 = 0 (f fonction de deux variables x et y)
δ2f
δxδy = 0 (f fonction de deux variables x et y)
δ3f
δxδyδz = 0 (f fonction de trois variables x,y et z)
Exercice 7 Montrer que toutes les fonctions de la forme z=xf(xy) o´uf est deux fois d´erivable, sont solutions de l’´equation aux d´eriv´ees partielles :
δ2f δx2.δ2f
δy2 = ( δ2f δxδy)2
Exercice 8 Soit z = eϕ(x,y), ϕ ´etant deux fois d´erivable. Calculer ∂x ∂y∂2z . En d´eduire toutes les fonctions ϕ telles que
∂2ϕ
∂x ∂y +∂ϕ
∂x.∂ϕ
∂y = 0
Exercice 9 D´eterminer les points critiques et, lorsque cela est possible, les extremas des fonc- tions suivantes :
1) f(x, y) = 1+xy 2.
2) f(x, y) = 3x3y−2xy+y2−4.
3) f(x, y) =ex−xy.
4) f(x, y, z) =z(ex−1)−y2. 5) f(x, y) =x3+y2ex.
Exercice 10 Determiner les extremas globaux def(x, y) = (x−1)y(y−x)sur le domaine d´elimit´e par les droite (y=x), (y= 0)et (x= 1).
Exercice 11 On consid`ere, dans un rep`ere orthonorm´e(Ox, Oy, Oz), les deux droites suivantes :
∆, de vecteur directeur −→u(1,2,−1), passant par A(1,3,0); ∆′, de vecteur directeur −→u′(2,3,1), passant par A′(0,1,2).
D´eterminer la plus courte distance de ∆`a ∆′ (c’est-`a-dire le minimum de la distanceM M′, M etM′ appartenant respectivement `a∆et∆′). Comparer la direction alors obtenue pourM M′
`
a celles de ∆et ∆′.
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