Analyse numérique
EPF - 3A
V. Nolot
Sommaire
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximation
3 Résolution de systèmes linéaires
4 Equations différentielles
5 Equations aux dérivées partielles
Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln,xα ...). Exemple : Résoudre
e−x2+x=0.
Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln,xα ...). Exemple : Résoudre
e−x2+x=0.
Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln,xα ...).
Exemple : Résoudre
e−x2+x=0.
Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln,xα ...).
Exemple : Résoudre
e−x2+x=0.
Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . . Z b
a
f(t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive def (théorème du Calculus)
2
. . .sin(x)?
Réponse : oui six est un angle usuel (ou proche)
Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . . Z b
a
f(t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive def (théorème du Calculus)
2
. . .sin(x)?
Réponse : oui six est un angle usuel (ou proche)
Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . . Z b
a
f(t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive def (théorème du Calculus)
2
. . .sin(x)?
Réponse : oui six est un angle usuel (ou proche)
Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . . Z b
a
f(t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive def (théorème du Calculus)
2
. . .sin(x)?
Réponse : oui six est un angle usuel (ou proche)
Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . . Z b
a
f(t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive def (théorème du Calculus)
2
. . .sin(x)?
Réponse : oui six est un angle usuel (ou proche)
Les problèmes liés à l’approximation
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Problèmes d’erreur Problème de coût Conclusion
3 Résolution de systèmes linéaires
4 Equations différentielles
5 Equations aux dérivées partielles
Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de e
Grâce à la formule de Taylor : e=1+ 1
1!+ 1 2!+ 1
3!· · ·
+R3≈2,666+0,052 où
R3= Z 1
0
et
3!(1−t)3dt
est le reste de Taylor intégral de la fonction exp en 0 à l’ordre 3 pour x=1.
Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de e
Grâce à la formule de Taylor : e=1+ 1
1!+ 1 2!+ 1
3!
· · ·
+R3
≈2,666+0,052
où
R3= Z 1
0
et
3!(1−t)3dt
est le reste de Taylor intégral de la fonction exp en 0 à l’ordre 3 pour x=1.
Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de e
Grâce à la formule de Taylor : e=1+ 1
1!+ 1 2!+ 1
3!
· · ·
+R3≈2,666+0,052 où
R3= Z 1
0
et
3!(1−t)3dt
est le reste de Taylor intégral de la fonction exp en 0 à l’ordre 3 pour x=1.
Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de π
n→+∞lim
24n+1(n!)4
(2n)!(2n+1)! =π.
Donc sinest assez grand :
24n+1(n!)4 (2n)!(2n+1)! ≈π
Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de π
n→+∞lim
24n+1(n!)4
(2n)!(2n+1)! =π.
Donc sinest assez grand :
24n+1(n!)4 (2n)!(2n+1)! ≈π
Les problèmes liés à l’approximation Problèmes d’erreur
Deux types d’erreur
Erreur d’approximation
Erreur dediscrétisation
Les problèmes liés à l’approximation Problèmes d’erreur
Deux types d’erreur
Erreur d’approximation Erreur dediscrétisation
Les problèmes liés à l’approximation Problème de coût
Coûts
Temps de calcul (puissance des ordinateurs limitée)
Stockage
Facilité de la mise en oeuvre
Les problèmes liés à l’approximation Problème de coût
Coûts
Temps de calcul (puissance des ordinateurs limitée) Stockage
Facilité de la mise en oeuvre
Les problèmes liés à l’approximation Problème de coût
Coûts
Temps de calcul (puissance des ordinateurs limitée) Stockage
Facilité de la mise en oeuvre
Les problèmes liés à l’approximation Conclusion
Conclusion
L’ingénieur doit
savoir utiliser lesbons outils numériquespour une situation donnée,
évaluer l’erreurcommise,
être vigilant auxerreurs d’arrondide l’ordinateur.
Les problèmes liés à l’approximation Conclusion
Conclusion
L’ingénieur doit
savoir utiliser lesbons outils numériquespour une situation donnée,
évaluer l’erreurcommise,
être vigilant auxerreurs d’arrondide l’ordinateur.
Les problèmes liés à l’approximation Conclusion
Conclusion
L’ingénieur doit
savoir utiliser lesbons outils numériquespour une situation donnée,
évaluer l’erreurcommise,
être vigilant auxerreurs d’arrondide l’ordinateur.
Résolution de systèmes linéaires
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximation
3 Résolution de systèmes linéaires Introduction
Méthodes directes Méthodes itératives
4 Equations différentielles
5 Equations aux dérivées partielles
Résolution de systèmes linéaires Introduction
Système linéaire
a11 a12 . . . a1n
... a22 ... ... . . . ... an1 · · · ann
x1
x2 ... xn
=
b1
b2 ... bn
ou
AX =b.
Résolution de systèmes linéaires Introduction
Définition
Définition
Une matrice est ditenon singulière si son déterminant est non nul (et pas très proche de0).
On s’assure que la matriceAdu système est non singulière. Pourquoi ?
Attention :on ne résout jamais directementX =A−1b.
Résolution de systèmes linéaires Introduction
Définition
Définition
Une matrice est ditenon singulière si son déterminant est non nul (et pas très proche de0).
On s’assure que la matriceAdu système est non singulière. Pourquoi ?
Attention :on ne résout jamais directementX =A−1b.
Résolution de systèmes linéaires Introduction
Définition
Définition
Une matrice est ditenon singulière si son déterminant est non nul (et pas très proche de0).
On s’assure que la matriceAdu système est non singulière. Pourquoi ?
Attention :on ne résout jamais directementX =A−1b.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Méthodes directes
Définition
Une méthode est dite directe si elle permet d’obtenir la solution d’un système en unnombre finid’opérations élémentaires.
Exemple :
LorsqueAest triangulaire
LorsqueAest quelconque : avec le pivot de Gauss
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Méthodes directes
Définition
Une méthode est dite directe si elle permet d’obtenir la solution d’un système en unnombre finid’opérations élémentaires.
Exemple :
LorsqueAest triangulaire
LorsqueAest quelconque : avec le pivot de Gauss
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Méthodes directes
Définition
Une méthode est dite directe si elle permet d’obtenir la solution d’un système en unnombre finid’opérations élémentaires.
Exemple :
LorsqueAest triangulaire
LorsqueAest quelconque : avec le pivot de Gauss
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matriceAesttriangulaire:
−1 2 3 0 2 −4 0 0 −2
x1 x2
x3
=
−1 0 4
x1
x2
x3
=
−14
−4
−2
n2opérations
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matriceAesttriangulaire:
−1 2 3 0 2 −4 0 0 −2
x1 x2
x3
=
−1 0 4
x1
x2
x3
=
−14
−4
−2
n2opérations
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matriceAesttriangulaire:
−1 2 3 0 2 −4 0 0 −2
x1 x2
x3
=
−1 0 4
x1 x2
x3
=
−14
−4
−2
n2opérations
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matriceAesttriangulaire:
−1 2 3 0 2 −4 0 0 −2
x1 x2
x3
=
−1 0 4
x1 x2
x3
=
−14
−4
−2
n2opérations
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matriceAesttriangulaire:
−1 2 3 0 2 −4 0 0 −2
x1 x2
x3
=
−1 0 4
x1 x2
x3
=
−14
−4
−2
n2opérations
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matriceAesttriangulaire:
−1 2 3 0 2 −4 0 0 −2
x1 x2
x3
=
−1 0 4
x1 x2
x3
=
−14
−4
−2
n2opérations
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matriceAesttriangulaire:
−1 2 3 0 2 −4 0 0 −2
x1 x2
x3
=
−1 0 4
x1 x2
x3
=
−14
−4
−2
n2opérations
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Sans stratégie de pivot
Lorsque la matriceAestquelconque:
(S) :
−x1 +3x2 +4x3 = 1
2x1 +6x3 = 1
−2x1 −3x2 +8x3 = −1
Le système(S)se réécrit matriciellement :
−1 3 4
2 0 6
−2 −3 8
.
x1
x2 x3
=
1 1
−1
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Sans stratégie de pivot
Lorsque la matriceAestquelconque:
(S) :
−x1 +3x2 +4x3 = 1
2x1 +6x3 = 1
−2x1 −3x2 +8x3 = −1
Le système(S)se réécrit matriciellement :
−1 3 4
2 0 6
−2 −3 8
.
x1
x2
x3
=
1 1
−1
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 1
2 0 6 1
−2 −3 8 −1
∼
−1 3 4 1
0 6 14 3 L02←L2+2L1 0 −9 0 −3 L03←L3−2L1
∼
−1 3 4 1
0 3 7 32 L02←12L2
0 −9 0 −3
∼
−1 3 4 1 0 3 7 32
0 0 21 32 L03←L3+3L2
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 1
2 0 6 1
−2 −3 8 −1
∼
−1 3 4 1
0 6 14 3 L02←L2+2L1 0 −9 0 −3 L03←L3−2L1
∼
−1 3 4 1
0 3 7 32 L02←12L2
0 −9 0 −3
∼
−1 3 4 1 0 3 7 32
0 0 21 32 L03←L3+3L2
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 1
2 0 6 1
−2 −3 8 −1
∼
−1 3 4 1
0 6 14 3 L02←L2+2L1 0 −9 0 −3 L03←L3−2L1
∼
−1 3 4 1
0 3 7 32 L02← 12L2 0 −9 0 −3
∼
−1 3 4 1 0 3 7 32
0 0 21 32 L03←L3+3L2
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 1
2 0 6 1
−2 −3 8 −1
∼
−1 3 4 1
0 6 14 3 L02←L2+2L1 0 −9 0 −3 L03←L3−2L1
∼
−1 3 4 1
0 3 7 32 L02← 12L2 0 −9 0 −3
∼
−1 3 4 1 0 3 7 32
0 0 21 32 L03←L3+3L2
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
(S) :
−x1 +3x2 +4x3 = 1
2x1 +6x3 = 1
−2x1 −3x2 +8x3 = −1 est doncéquivalentà
(S0) :
−x1 +3x2 +4x3 = 1 3x2 +7x3 = 32 21x3 = 32
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
On résout
−x1+3x2+27 = 1 3x2 = 32−12
x3 = 141
⇔
x1 = 27 x2 = 13 x3 = 141
Sol(S) =
2
7,1 3, 1
14
.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
On résout
−x1+3x2+27 = 1 3x2 = 32−12
x3 = 141
⇔
x1 = 27 x2 = 13 x3 = 141
Sol(S) =
2
7,1 3, 1
14
.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
On résout
−x1+3x2+27 = 1 3x2 = 32−12
x3 = 141
⇔
x1 = 27 x2 = 13 x3 = 141
Sol(S) =
2
7,1 3, 1
14
.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dansla 1e colonne.
1 4 −1 1
1 −2 −3 1 4 −1 2 −1
0 1 0 −4
x1 x2 x3
x4
=
2 4 2 0
· · ·
4 −1 2 −1
0 17/4 −3/2 5/4 0 0 −70/17 30/17
0 0 0 −29/7
x1
x2 x3 x4
=
2 3/2 70/17
0
· · ·
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dansla 1e colonne.
1 4 −1 1
1 −2 −3 1 4 −1 2 −1
0 1 0 −4
x1 x2 x3
x4
=
2 4 2 0
· · ·
4 −1 2 −1
0 17/4 −3/2 5/4 0 0 −70/17 30/17
0 0 0 −29/7
x1
x2 x3 x4
=
2 3/2 70/17
0
· · ·
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dansla 1e colonne.
1 4 −1 1
1 −2 −3 1 4 −1 2 −1
0 1 0 −4
x1 x2 x3
x4
=
2 4 2 0
· · ·
4 −1 2 −1
0 17/4 −3/2 5/4 0 0 −70/17 30/17
0 0 0 −29/7
x1
x2
x3 x4
=
2 3/2 70/17
0
· · ·
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dansla 1e colonne.
1 4 −1 1
1 −2 −3 1 4 −1 2 −1
0 1 0 −4
x1 x2 x3
x4
=
2 4 2 0
· · ·
4 −1 2 −1
0 17/4 −3/2 5/4 0 0 −70/17 30/17
0 0 0 −29/7
x1
x2
x3 x4
=
2 3/2 70/17
0
· · ·
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot total
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue parmitous les coefficientsdu système.
1 4 −1 1
−3 −2 −3 1 4 −1 −5 −1
−1 0 3 −4
x1 x2
x3 x4
=
2 4 2 0
Remarque : Cela nécessite des interversions de lignes mais aussi de colonnes.
⇒la solution est le vecteur obtenuà permutation près.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot total
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue parmitous les coefficientsdu système.
1 4 −1 1
−3 −2 −3 1 4 −1 −5 −1
−1 0 3 −4
x1 x2
x3 x4
=
2 4 2 0
Remarque : Cela nécessite des interversions de lignes mais aussi de colonnes.
⇒la solution est le vecteur obtenuà permutation près.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot total
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue parmitous les coefficientsdu système.
1 4 −1 1
−3 −2 −3 1 4 −1 −5 −1
−1 0 3 −4
x1 x2
x3 x4
=
2 4 2 0
Remarque : Cela nécessite des interversions de lignes mais aussi de colonnes.
⇒la solution est le vecteur obtenuà permutation près.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthodes itératives
Définition
Une méthode est diteitérativesi elle permet de construire unesuitede vecteurs (dont le point de départ est fixé) quiconvergevers la solution du système.
La convergence de(X(k))k doit être indépendante du vecteur initialX0. Exemple :
Méthode de Jacobi
Méthode de Gauss-Seidel
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthodes itératives
Définition
Une méthode est diteitérativesi elle permet de construire unesuitede vecteurs (dont le point de départ est fixé) quiconvergevers la solution du système.
La convergence de(X(k))k doit être indépendante du vecteur initialX0.
Exemple :
Méthode de Jacobi
Méthode de Gauss-Seidel
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthodes itératives
Définition
Une méthode est diteitérativesi elle permet de construire unesuitede vecteurs (dont le point de départ est fixé) quiconvergevers la solution du système.
La convergence de(X(k))k doit être indépendante du vecteur initialX0. Exemple :
Méthode de Jacobi
Méthode de Gauss-Seidel
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Définition
Leconditionnementd’une matrice (inversible) est le nombre suivant : cond(A) =|||A||| × |||A−1|||
où||| · |||est unenorme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :
On a :cond(A)≥1.
SiAest symétrique alors|||A|||2=ρ(A)(rayon spectral) et siA est inversible :
cond2(A) =ρ(A)ρ(A−1) = max|λi(A)| min|λi(A)|.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Définition
Leconditionnementd’une matrice (inversible) est le nombre suivant : cond(A) =|||A||| × |||A−1|||
où||| · |||est unenorme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :
On a :cond(A)≥1.
SiAest symétrique alors|||A|||2=ρ(A)(rayon spectral) et siA est inversible :
cond2(A) =ρ(A)ρ(A−1) = max|λi(A)| min|λi(A)|.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Définition
Leconditionnementd’une matrice (inversible) est le nombre suivant : cond(A) =|||A||| × |||A−1|||
où||| · |||est unenorme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :
On a :cond(A)≥1.
SiAest symétrique alors|||A|||2=ρ(A)(rayon spectral)
et siA est inversible :
cond2(A) =ρ(A)ρ(A−1) = max|λi(A)| min|λi(A)|.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Définition
Leconditionnementd’une matrice (inversible) est le nombre suivant : cond(A) =|||A||| × |||A−1|||
où||| · |||est unenorme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :
On a :cond(A)≥1.
SiAest symétrique alors|||A|||2=ρ(A)(rayon spectral) et siA est inversible :
cond2(A) =ρ(A)ρ(A−1)
=max|λi(A)| min|λi(A)|.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Définition
Leconditionnementd’une matrice (inversible) est le nombre suivant : cond(A) =|||A||| × |||A−1|||
où||| · |||est unenorme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :
On a :cond(A)≥1.
SiAest symétrique alors|||A|||2=ρ(A)(rayon spectral) et siA est inversible :
cond2(A) =ρ(A)ρ(A−1) = max|λi(A)|
.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Théorème
Soientx etx+δx solutions deAX=betA(x+δx) =b+δb. On a : kδxk
kxk ≤cond(A)kδbk kbk .
Le conditionnement donne une information sur l’erreur relativede la solution : plus le conditionnement est proche de 1, plus les erreurs relatives sur la solution seront limitées (cf poly Thm1 et Thm2).
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Théorème
Soientx etx+δx solutions deAX=betA(x+δx) =b+δb. On a : kδxk
kxk ≤cond(A)kδbk kbk .
Le conditionnement donne une information sur l’erreur relativede la solution : plus le conditionnement est proche de 1, plus les erreurs relatives sur la solution seront limitées (cf poly Thm1 et Thm2).
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construireX(k) telle que lim
k→+∞X(k)=X oùX estlasolution du systèmeAX =b.
Pour nous,
X(k) =BX(k−1)+
C(I−B)A−1b
Erreur :εk =X(k)−X =B(X(k−1)−X) =· · ·=Bk(X0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matriceB.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construireX(k) telle que lim
k→+∞X(k)=X oùX estlasolution du systèmeAX =b.
Pour nous,
X(k)=BX(k−1)+C
(I−B)A−1b
Erreur :εk =X(k)−X =B(X(k−1)−X) =· · ·=Bk(X0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matriceB.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construireX(k) telle que lim
k→+∞X(k)=X oùX estlasolution du systèmeAX =b.
Pour nous,
X(k)=BX(k−1)+
C
(I−B)A−1b
Erreur :εk =X(k)−X =B(X(k−1)−X) =· · ·=Bk(X0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matriceB.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construireX(k) telle que lim
k→+∞X(k)=X oùX estlasolution du systèmeAX =b.
Pour nous,
X(k)=BX(k−1)+
C
(I−B)A−1b Erreur :εk =X(k)−X =B(X(k−1)−X)
=· · ·=Bk(X0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matriceB.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construireX(k) telle que lim
k→+∞X(k)=X oùX estlasolution du systèmeAX =b.
Pour nous,
X(k)=BX(k−1)+
C
(I−B)A−1b
Erreur :εk =X(k)−X =B(X(k−1)−X) =· · ·=Bk(X0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matriceB.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construireX(k) telle que lim
k→+∞X(k)=X oùX estlasolution du systèmeAX =b.
Pour nous,
X(k)=BX(k−1)+
C
(I−B)A−1b
Erreur :εk =X(k)−X =B(X(k−1)−X) =· · ·=Bk(X0−X)
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Résultats de convergence
Théorème
Soit ρ(B) =max|λi(B)| le rayon spectral de B. La méthode itérative converge si et seulement siρ(B)<1.
Théorème
SiAest à diagonale dominante (ie|aii| ≥∑nj6=i|aij| ∀i=1, . . . ,n) alors la méthode itérative converge.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Résultats de convergence
Théorème
Soit ρ(B) =max|λi(B)| le rayon spectral de B. La méthode itérative converge si et seulement siρ(B)<1.
Théorème
SiAest à diagonale dominante (ie|aii| ≥∑nj6=i|aij| ∀i=1, . . . ,n) alors la méthode itérative converge.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
4x1 −x2 +x3 +x4 = 2
−2x1 −4x2 +x3 +x4 = 5
−x1 +2x2 +4x3 −x4 = 2
x1 −4x4 = 0
La matrice est à diagonale dominante.
x1 = 14(2−(−x2+x3+x4)) x2 = −14(5−(−2x1+x3+x4)) x3 = 14(2−(−x1+2x2−x4)) x4 = −14(0−(x1))
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
4x1 −x2 +x3 +x4 = 2
−2x1 −4x2 +x3 +x4 = 5
−x1 +2x2 +4x3 −x4 = 2
x1 −4x4 = 0
La matrice est à diagonale dominante.
x1 = 14(2−(−x2+x3+x4)) x2 = −14(5−(−2x1+x3+x4)) x3 = 14(2−(−x1+2x2−x4)) x4 = −14(0−(x1))
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
4x1 −x2 +x3 +x4 = 2
−2x1 −4x2 +x3 +x4 = 5
−x1 +2x2 +4x3 −x4 = 2
x1 −4x4 = 0
La matrice est à diagonale dominante.
x1 = 14(2−(−x2+x3+x4)) x2 = −14(5−(−2x1+x3+x4)) x3 = 14(2−(−x1+2x2−x4)) x4 = −14(0−(x1))
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
x1 = 14(2−(−x2+x3+x4)) x2 = −14(5−(−2x1+x3+x4)) x3 = 14(2−(−x1+2x2−x4)) x4 = −14(0−(x1))
se réécrit :
x1
x2 x3
x4
=
0 14 −14 −14
−12 0 14 14
1
4 −12 0 14
1
4 0 0 0
x1
x2 x3
x4
+
1
−254 1 2
0
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
x1 = 14(2−(−x2+x3+x4)) x2 = −14(5−(−2x1+x3+x4)) x3 = 14(2−(−x1+2x2−x4)) x4 = −14(0−(x1))
se réécrit :
x1
x2 x3 x4
=
0 14 −14 −14
−12 0 14 14
1
4 −12 0 14
1
4 0 0 0
x1
x2 x3 x4
+
1
−254 1 2
0
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
Le système nous invite à poser :
x1(k) x2(k) x3(k) x4(k)
=
0 14 −14 −14
−12 0 14 14
1
4 −12 0 14
1
4 0 0 0
x1(k−1) x2(k−1) x3(k−1) x4(k−1)
+
1 2
−54
1 2
0
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
fork =1 until convergence do fori=1:ndo
xi(k)= bi−∑nj6=iaijxj(k−1) aii
end for end for
X(0) = (x1(0),x2(0), . . . ,xn(0))t est un vecteur fixé.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
fork =1 until convergence do
fori=1:ndo
xi(k)= bi−∑nj6=iaijxj(k−1) aii
end for
end for
X(0) = (x1(0),x2(0), . . . ,xn(0))t est un vecteur fixé.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
fork =1 until convergence do fori=1:ndo
xi(k)= bi−∑nj6=iaijxj(k−1) aii
end for end for
X(0) = (x1(0),x2(0), . . . ,xn(0))t est un vecteur fixé.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
fork =1 until convergence do fori=1:ndo
xi(k)= bi−∑nj6=iaijxj(k−1) aii
end for end for
X(0) = (x1(0),x2(0), . . . ,xn(0))t est un vecteur fixé.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Jacobi : une façon plus brutale
On ré-écrit la matriceAdu systèmeAX =b: A=D+L+U
oùDest diagonale,Ltriangulaire inférieure,Utriangulaire supérieure.
Ainsi :
BJ=−D−1(L+U) et
X(k)=BJX(k−1)+D−1b.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Jacobi : une façon plus brutale
On ré-écrit la matriceAdu systèmeAX =b: A=D+L+U
oùDest diagonale,Ltriangulaire inférieure,Utriangulaire supérieure.
Ainsi :
BJ=−D−1(L+U)
et
X(k)=BJX(k−1)+D−1b.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Jacobi : une façon plus brutale
On ré-écrit la matriceAdu systèmeAX =b: A=D+L+U
oùDest diagonale,Ltriangulaire inférieure,Utriangulaire supérieure.
Ainsi :
BJ=−D−1(L+U) et
X(k)=BJX(k−1)+D−1b.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Gauss-Seidel - algorithme
fork =1 until convergence do fori=1:ndo
xi(k)=bi−∑ij−=11aijxj(k)−∑nj=i+1aijxj(k−1) aii
end for end for
X(0) = (x1(0),x2(0), . . . ,xn(0))t est un vecteur fixé.
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Gauss-Seidel - algorithme
fork =1 until convergence do
fori=1:ndo
xi(k)=bi−∑ij−=11aijxj(k)−∑nj=i+1aijxj(k−1) aii
end for
end for
X(0) = (x1(0),x2(0), . . . ,xn(0))t est un vecteur fixé.
