E689 A la manière du bonneteau
Sur chaque sommet d"un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs: ‒ 18153, ‒ 24204, 46391,
‒ 48408, 54459
Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiers x, y et z avec y < 0, alors on peut remplacer respectivement x par x + y, y par ‒ y et z par z + y.
On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.
Prouver si oui ou non le processus se termine en un nombre fini d'étapes. Si oui, quels sont les entiers finaux?
Les cinq nombres sont tous multiples de 2017. On préfère manipuler leurs quotients par 2017 qui sont : -9, -12, 23, -24, 27. A partir de ces quotients, un nombre fini d'étapes permet d'aboutir à +1, +1, +1, +1, +1.
A partir des nombres initiaux on peut aboutir à 2017, 2017, 2017, 2017, 2017.
Dans chaque ligne de ce tableau, la cellule sur fond de couleur cyan contient un nombre négatif qui change de signe en passant à la ligne suivante.
Le tableau de gauche montre qu'en 30 étapes on arrive à +1, +1, +1, +1, +1
Le petit tableau de droite propose une variante à partir de la 18ème étape, on constate que c'est encore en 30 étapes qu'on parvient à +1, +1, +1, +1, +1.
-9 -12 23 -24 27
9 -21 23 -24 18
-12 21 2 -24 18
12 9 2 -24 6
12 9 -22 24 -18
12 -13 22 2 -18
-1 13 9 2 -18
-19 13 9 -16 18
-19 13 -7 16 2
19 -6 -7 16 -17
2 -6 -7 -1 17
2 -13 7 -8 17
2 -13 -1 8 9
2 -14 1 7 9
-12 14 -13 7 9
-12 1 13 -6 9
12 -11 13 -6 -3
1 11 2 -6 -3 ↔ 1 11 2 -6 -3
-2 11 2 -9 3 1 11 -4 6 -9
2 9 2 -9 1 1 7 4 2 -9
2 9 -7 9 -8 -8 7 4 -7 9
2 2 7 2 -8 8 -1 4 -7 1
-6 2 7 -6 8 8 -1 -3 7 -6
-6 2 1 6 2 2 -1 -3 1 6
6 -4 1 6 -4 2 -4 3 -2 6
2 4 -3 6 -4 -2 4 -1 -2 6
2 1 3 3 -4 -2 4 -3 2 4
-2 1 3 -1 4 -2 1 3 -1 4
-2 1 2 1 3 -2 1 2 1 3
2 -1 2 1 1 2 -1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
