Chapitre 2 : Les vecteurs (Rappels)

(1)

A

B

D

C A

B

D

C

A

B

D

C A

B

D

C

Chapitre 2 : Les vecteurs (Rappels) I – Translation et vecteur

Définition ;

Une translation est une transformation du plan associée à un « glissement le long d’une droite » et définie par une direction (la droite), un sens de déplacement sur la droite et une distance.

Définition :

A et B sont deux points distincts du plan.

Le vecteur AB est défini par :

sa direction : c'est la droite (AB), son sens : de A vers B,

sa norme : c'est la distance AB.

Vocabulaire :

A est l'origine du vecteur AB. B est l’extrémité du vecteur _AB. Notation :

La norme du vecteur AB est notée AB . On a donc AB = AB Définition :

On dit que les vecteurs AB et CD sont égaux et on note : AB CD= lorsque : - ils ont la même direction : les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

- ils ont le même sens : les demi-droites [AB) et [CD) ont le même sens.

- ils ont la même norme : ^AB ⁼ ^CD c’est-à-dire AB = CD Remarque :

⎯⎯→u est un vecteur. Si ^⎯⎯→u = AB = CDalors AB et CD sont des représentants du vecteur^⎯⎯→u . Propriété :

Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Propriété :

Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC et AD = BC

(2)

Constructions Les vecteurs ⎯→

AB et ⎯→

MM' sont égaux signifie que ABM’M est un parallélogramme Les vecteurs doivent donc avoir :

- La même direction (parallèles).

- Le même sens.

- Le même norme.

Voici donc 2 méthodes (avec ou sans quadrillages) pour construire un point à partir d’une égalité de vecteurs

EN UTILISANT LES QUADRILLAGES EN UTILISANT LE COMPAS (PAPIER BLANC)

On veut construire le point M’ tel que MM'=AB. On veut construire le point M’ tel que MM'=AB.

A M

B

1. On trace une flèche qui représente le vecteur ⎯→

AB c’est à dire le trajet qui va de A vers B.

A M

B

2. On décompose ce trajet en utilisant les quadrillages. Sur notre exemple, c’est « 2 carreaux vers le bas, 5

carreaux vers la droite ».

A M

B

3. On reproduit exactement le même trajet à partir du point M.

On obtient le point M’ image de M par la translation de vecteur ⎯→

AB . On a bien ⎯→

AB = ⎯→

MM'.

M

’

1

2

1 2 3 4 5

1

2

1 2 3 4 5

M A

B

1. On prend la distance entre A et B…

… et on la reporte à partir de M.

M A

B

M A

B

2. On prend la distance entre A et M…

… et on la reporte à partir de B. Le point d’intersection des deux arcs est M’.

M A

B M

’

(3)

u

v

u -v u - v

A

B

C

A

B

C

Propriété :

AB = BC si et seulement si B est le milieu de [AC]

Définition :

Deux vecteurs sont dits opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même norme et des sens contraires. Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB . On note BA=-AB Définition :

Un vecteur dont un représentant a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul.

On le note 0. AA = BB = 0 II – Opérations sur les vecteurs

1. Somme de vecteurs Définition :

La somme de deux vecteurs ^⎯⎯→u et ^⎯⎯→v

est le vecteur, noté ^⎯⎯→u + ^⎯⎯→v , défini ainsi : ^⎯⎯→v A étant un point quelconque, on place le point B tel ^⎯⎯→u

que AB = ^⎯⎯→ ^⎯⎯→u , puis le point C tel que BC = ^⎯⎯→ ^⎯⎯→v ; ^⎯⎯→u ^⎯⎯→v alors ^⎯⎯→u + ^⎯⎯→v = AC. ^⎯⎯→

^⎯⎯→u + ^⎯⎯→v L’égalité AB + BC = AC est appelée relation de Chasles.

Exemples :

AB BC CD+ + =AD AE FB EF AE EF FB AB+ + = + + = Définition :

La différence du vecteur ^⎯⎯→u et du vecteur ^⎯⎯→v s’obtient en ajoutant au vecteur ^⎯⎯→u l’opposé du vecteur ^⎯⎯→v :

⎯⎯→u – ^⎯⎯→v = ^⎯⎯→u + (-^⎯⎯→v ).

Exemples :

( )

AB AC AB− = + -AC =AB CA CA AB CB+ = + = 2. Multiplication d’un vecteur par un réel

Propriété :

⎯⎯→u désigne un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.

Le produit du vecteur ^⎯⎯→u par le réel k est le vecteur k^⎯⎯→u tel que :

(4)

Propriétés :

• ku = 0 équivaut à k = 0 ou u = 0

• Pour tous réels k, k’ et tous vecteurs u, v :

k(u+v) = ku + kv k(k’u) = (kk’)u

(k + k’) u = ku + k’u 1 =  =u u 1 u

III - Vecteurs et coordonnées Définition :

Un repère (O ; I ; J) est aussi noté (O ; i ; j) avec i =OI et j =OJ On dit que (i ; j) est une base du repère.

Les coordonnées d’un vecteur u dans la base (i ; j ) sont les coordonnées du point M tel que u=OM.

Exemples :

On a le point I de coordonnées (1 ; 0) donc i a pour coordonnées (1 ; 0) On a le point J de coordonnées (0 ; 1) donc j a pour coordonnées (0 ; 1) Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont égales.

(

^;

)

u x y et ^{v x}

(

^^; ^y^

)

sont égaux si, et seulement si, x= x et y= y . Propriété :

(O ; i ; j) est un repère orthonormé du plan. On considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors le vecteur AB a pour coordonnées

(

xB−xA ; yB−yA

)

.

Propriétés :

(

^;

)

u x y et ^{v x}

(

^^; ^y^

)

sont deux vecteurs et k est un réel quelconque,

• 0 0 ; 0

( )

• ^⎯⎯→u + ^⎯⎯→v

(

^x⁺^x^^; ^y⁺^y^

)

^•^-^{u x}

(

^- ^{; -}^y

)

^•^{k u}^

(

^{kx ky}^;

)

Propriété :

(

^;

)

u x y dans la base

( )

ⁱ ^; ^j ^^u ^{=  + }^{x i} ^y ^j

Lorsque k > 0

• k^⎯⎯→u et ^⎯⎯→u ont même direction

• k^⎯⎯→u a le même sens que ^⎯⎯→u

• la longueur de k^⎯⎯→u est le produit de k par la longueur de ^⎯⎯→u .

A

B C

u ku

Lorsque k < 0

• k^⎯⎯→u et ^⎯⎯→u ont même direction

• k^⎯⎯→u est de sens opposé à celui de ^⎯⎯→u

• la longueur de k^⎯⎯→u est le produit de l’opposé de k par la longueur de ^⎯⎯→u .

A

B

C

ku u

(5)

A

B C

D u

v

IV – Norme d’un vecteur Propriétés :

● 0 =0 ● Si k est un réel , k u = k u

● u+v  u + v (Inégalité triangulaire) Propriétés :

Le plan est muni d’un repère orthonormé

(

O ; I ; J

)

A

(

xA ; yA

)

et B

(

xB ; yB

)

sont 2 points et ^{u x y}

(

^;

)

est un vecteur du plan.

La norme de u est égale à ^u = ^x²+^y²

La norme de AB est égale à ^⎯⎯→ AB = (xB−xA) (²+ yB−yA)² = AB.

V - Colinéarité de deux vecteurs 1. Vecteurs colinéaires Définition :

Dire que deux vecteurs non nuls ^⎯⎯→u = AB et ^⎯⎯→ ^⎯⎯→v = CD ^⎯⎯→

sont colinéaires signifie qu’ils ont la même direction.

Cela signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues.

Propriété :

Dire que les vecteurs non nuls ^⎯⎯→u et ^⎯⎯→v sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre réel k, non nul, tel que ^⎯⎯→v = k^⎯⎯→u .

Remarque :

Par convention, on dit que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur^⎯⎯→u . Définition :

(

O ; I ; J

) (

^;

)

u x y et ^{v x}

(

^^; ^y^

)

sont deux vecteurs du plan.

Le déterminant de u et v, noté ^det

(

^{u v}^;

)

, est le réel x − y y x Notation :

( )

det ; x x u v y y

= 

 Propriété :

(

O ; I ; J

) (

^;

)

u x y et ^{v x}

(

^^; ^y^

)

sont deux vecteurs du plan.

u et vsont colinéaires ^^det

(

^{u v}^;

)

=   −  =   = ⁰ ^x ^y^ ^{y x}^ ⁰ ^x ^y^ ^{y x}^

(6)

Exemples :

● 1 1

3;-2 u 

 

 et 2 3 5; -5 v 

 

  alors ^det

(

^;

)

¹ ^-³ ^-¹ ² ^-¹ ¹⁰

3 5 2 5 5 5

u v =     −  = + . Donc u et v sont colinéaires.

● 1 1

3;-2 u 

 

 et 2 3 5; -5 v 

 

  alors ^det

(

^;

)

¹ ^-³ ^-¹ ² ^-¹ ¹⁰

3 5 2 5 5 5

u v =     −  = + . Donc u et v sont colinéaires.

2. Parallélisme et alignement Propriétés :

• (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si CD et ^⎯⎯→ AB sont colinéaires. ^⎯⎯→

• A, B et C sont alignés si et seulement si AB et ^⎯⎯→ AC sont colinéaires ^⎯⎯→

VI. Vecteur directeur d'une droite Définition :

Un vecteur est appelé vecteur directeur d'une droite lorsqu'il a la même direction que cette droite.

Propriété :

Soit u un vecteur directeur d'une droite (d). Un vecteur non nul v est un autre vecteur directeur de (d) si et seulement si les vecteurs uet v sont colinéaires.

Propriété caractéristique :

Soit A un point du plan, u un vecteur non nul et (d) la droite passant par A de vecteur directeur u.

Un point M appartient à la droite (d) AM et u sont colinéaires.

Exemple :

Dans un repère du plan, on donne : A(4 ; 0), B(2 ; -3), C(2 ; 1) et ³ u^{ }_{ }_{ }5

 . 1. Tracer la droite (AC) et la droite (d) passant par B, de vecteur directeur u . 2. Le point E 7

-3 ; 2

 

 

 appartient-il à la droite (AC) ? 3. Montrer que le point A n'appartient pas à la droite (d).

(7)

VII - Equations cartésiennes d'une droite Propriété :

Dans un repère du plan, toute droite admet une équation de la formeax by c+ + =0avec

(

^{a b}^;

)

^

(

^{0 ; 0}

)

appelée équation cartésienne de la droite.

Exemple :

Soit A

(

^{-2 ; 1}

)

un point d'une droite (d) et ³ u^{ }_{ }_{ }2

 un vecteur directeur de (d).

M

(

^{x y}^;

)

^^(d) ^AM ² ^et ³

1 2

x u

y

   

 

   

   

 +

− sont colinéaires^²

(

^x^{+ −}²

) (

³ ^y^{− =}¹

)

⁰

2x 4 3y 3 0 2x 3y 7 0

 + − + =  − + = .

2x−3y+ =7 0est une équation catésienne de la droite (d).

Remarque :

S'il existe un réel k tel que a= k a b, = k bet c= k calors a x b y c +  + = 0est une équation cartésienne de la droite (d).

(-2x+3y− =7 0, 6x−9y+ =21 0 sont des équations catésiennes de la droite (d) de l’exemple précédent.)

Propriété :

Dans un repère du plan, toute équation de la forme ax by c+ + =0 avec

(

^{a b}^;

)

^

(

^{0 ; 0}

)

est l'équation d'une droite. Cette droite a pour vecteur directeur u ^-b a

  

  .

(8)

Exemple :

Dans un repère du plan, on donne : A(4 ; 0), B(2 ; -3), F 3 ; -⁴ 3

 

 

 et ³ u^{ }_{ }_{ }5

 .

a. Déterminer une équation cartésienne de (d) passant par B et de vecteur directeur u. b. Le point F appartient-il à la droite (d) ?

c. Le point A appartient-il à la droite (d) ? Remarques :

● Une droite admet toujours des équations cartésiennes.

● Une droite admet une équation réduite lorsqu’elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, c’est-à-dire si les équations cartésiennes sont de la forme ax by c+ + =0

avec b0 : En effet 0 - -a c

ax by c by ax c y x

b b

+ + =  = −  = − . Le coefficient directeur est alors -a

b et l’ordonnée à l’origine -c b.

● Si une droite admet une équation réduite de la forme y=mx+ p alors le vecteur u ¹

m

  

  est un vecteur directeur de la droite : y=mx+ p mx− + =y p 0