Chapitre 14 : Géométrie dans R 2

(1)

Chapitre 14 : Géométrie dans R ²

Table des matières

1 Vecteurs et droites du plan R² 2

1.1 Le planR² . . . 2

1.2 Opérations sur les vecteurs . . . 2

1.3 Colinéarité . . . 3

1.4 Droites du plan . . . 3

2 Orthogonalité dans le plan R² 4 2.1 Produit scalaire . . . 4

2.2 Droites orthogonales . . . 6

2.3 Norme euclidienne . . . 6

2.4 Cercles . . . 7

2.5 Bases orthonormées . . . 7

2.6 Projection orthogonale . . . 8

(2)

1 Vecteurs et droites du plan R

²

1.1 Le plan R

²

R² est appelé le plan affine.

Pour représenter les points du plan, on utilise le repère (O,~i,~j) où

• Oest l’origine du repère

•~i est le vecteur (1,0)

• ~j est le vecteur (0,1)

SoitM un point deR². Il existe un unique couple (x, y)∈R² tel que−−→

OM =x~i+y~j.

(x, y) sont les coordonnées deM dans le repère (0,~i,~j).

Soit~uun vecteur deR². Il existe un unique pointM tel que−−→

OM =−→u. (x, y) sont les coordonnées de−→u dans le repère (0,~i,~j).

Définition 1.

On appelle repère deR² tout triplet (Ω,−u→1,−→u2) où

• Ω est un point deR²,

• −→u1 et−u→2sont deux vecteurs de R²non colinéaires. C’est une base de R². SoitM un point deR². Il existe un unique couple (x₁, x₂)∈R² tel que−−→

OM =x₁−u→₁+x₂−→u₂. (x1, x2) sont les coordonnées deM dans le repère (Ω,−u→1,−u→2). On noteraM(x1, y1).

Soit−→u un vecteur deR². Il existe un unique pointM tel que −−→

ΩM =−→u.

(x1, x2) sont les coordonnées de−→u dans le repère (Ω,−→u1,−→u2). On notera −→u = (x1, y1).

SoientA(xA, yA) et B(xB, yB) deux points deR². On définit le vecteur−−→

ABpar le vecteur−−→

AB= (xB−xA, yB−yA).

Définition 2.

1.2 Opérations sur les vecteurs

Soit (Ω,−→u1,−→u2) un repère deR².

Soient−→u = (x1, y1) et−→v = (x2, y2) deux vecteurs deR². Soitλ∈R. 1. On définit le vecteur−−−→

u+v comme l’unique vecteur de coordonnées (x1+x2, y1+y2).

2. On définit le vecteur−→

λ.ucomme l’unique vecteur de coordonnées (λ.x₁, λ.y₁).

Définition 3.

Soit (Ω,−→u1,−→u2) un repère deR². Soient A, B etC trois points deR².

−→AC=−−→ AB+−−→

BC Théorème 1(Relation de Chasles).

(3)

1.3 Colinéarité

Soient~uet~v deux vecteurs deR². On dit que~uet~v sont colinéaires lorsque

~

v=~0 ou∃λ∈Rtel que~u=λ~v.

Définition 4.

Soit (Ω,−→u1,−→u2) un repère deR². Soient ~u= (x, y) et~v= (x⁰, y⁰) deux vecteurs deR².

~

uet~v sont colinéaires ⇐⇒ xy⁰−x⁰y= 0

⇐⇒ det x x⁰

y y⁰

= 0 Théorème 2.

Exemple1: Soient~u= (1,2) et~v= (−2, α). Pour quelles valeurs du réelαles deux vecteurs sont-ils colinéaires ?

Soit (Ω,−→u1,−→u2) un repère deR². Soient ~u= (x, y) et~v= (x⁰, y⁰) deux vecteurs deR². On appelle déterminant de~uet~v dans la base (−→u1,−→u2) le déterminant de la matrice

x x⁰ y y⁰

. Définition 5.

1.4 Droites du plan

SoitAun point deR² et soit−→u un vecteur non nul deR².

On appelle droite passant parAet de vecteur directeur−→u tous les pointsM deR²tel que

−−→AM et −→u soient colinéaires.

D=n

M ∈R²/∃k∈R, −−→

AM =k.−→uo Définition 6.

Soit (Ω,−→u1,−→u2) un repère deR².

SoitA(xA, yA) un point deR² et soit−→u = (α, β) un vecteur non nul deR². SoitDla droite passant parAet de vecteur directeur−→u.

M(x, y)∈ D ⇔ ∃t∈R,

x=xA+tα y=y_A+tβ C’est la représentation paramétrique de la droiteD.

Théorème 3.

Exemple2: SoitR(O,~i,~j) un repère du plan.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant parA(1,−3) etB(2,1).

(4)

Soit (Ω,−→u₁,−→u₂) un repère deR².

SoitA(xA, yA) un point deR² et soit−→u = (α, β) un vecteur non nul deR². SoitDla droite passant parAet de vecteur directeur−→u.

M(x, y)∈ D ⇔ β(x−xA)−α(y−yA) = 0

⇔ βx−αy+αy_A−βx_A= 0 On obtient une équation cartésienne de la droiteD.

Théorème 4.

Exemple3: SoitR(O,~i,~j) un repère du plan.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant parA(0,2), et de vecteur directeur~u= (−1,2).

Exemple4: SoitDla droite d’équation cartésiennex+ 2y+ 1 = 0. Déterminer un vecteur directeur deD.

SoientD:ax+by+c= 0 etD⁰:a⁰x+b⁰y+c⁰ = 0. On dit queDet D⁰ sont parallèles lorsque leur vecteur directeur sont colinéaires.

−b −b⁰ a a⁰

=ab⁰−a⁰b= 0 Définition 7.

Exemple5: Déterminer une équation catésienne de la droite parallèle àD:x+ 2y+ 1 = 0, passant par (1,0).

L’intersection de deux droites du plan est :

1. Soit une droite. Dans ce cas, on dit que ces deux droites sont confondues.

2. Soit un point. Dans ce cas, on dit que ces deux droites sont sécantes.

3. Soit l’ensemble vide. Dans ce cas, on dit que les deux droites sont parallèles distinctes.

Théorème 5.

Exemple6: Déterminer l’intersection des droitesD: 2x−y+ 1 = 0 et D⁰:−x+y+ 3 = 0.

2 Orthogonalité dans le plan R

²

Dans toute cette partie, on prend pour repère deR²le triplet (O,−→

i = (1,0),−→

j = (0,1)).

2.1 Produit scalaire

Soient~u= (x, y) et~v= (x⁰, y⁰) deux vecteurs deR². On appelle produit scalaire de~uet~v le réel :

~

u.~v=xx⁰+yy⁰. Définition 8.

(5)

Remarque : Cette définition du produit scalaire (avec les coordonnées des vecteurs) est cohérente avec la définition du produit scalaire qui utilise l’angle géométrique des vecteurs :

−

→u .−→v =||−→u|| × ||−→v|| ×cos((−→u ,\→−v)).

Soient~uet~v deux vecteurs deR². On dit que~uet~v sont orthogonaux lorsque~u.~v= 0.

Définition 9.

Exemple7:

1.~i= (1,0) et~j= (0,1) sont-ils orthogonaux ? 2. (−1,2) et (2,1) sont-ils orthogonaux ?

3. Pour quelle(s) valeur(s) deαréel les vecteurs (1,−1) et (2, α) sont-ils orthogonaux ?

1. Soient ~uet~v deux vecteurs deR².

(~u+~v)²= (~u+~v).(~u+~v) =~u²+ 2~u.~v+~v². (~u−~v)²= (~u−~v).(~u−~v) =~u²−2~u.~v+~v². (~u+~v)(~u−~v) =~u²−~v².

2. Soitn∈N^∗. Soient (~u1, . . . , ~un)∈(R²)ⁿ.

(~u1+· · ·+~un)²=~u²₁+· · ·+~u²_n+ 2 X

1≤i<j≤n

~ ui.~uj

Théorème 6(Identités remarquables).

Soient~u,~v etw~ trois vecteurs de R². Soient λet µdeux réels.

1. Le produit scalaire est bilinéaire

(λ~v+µ ~w).~u=λ~v.~u+µ ~w.~u (linéarité par rapport à la première variable)

~

u.(λ~v+µ ~w) =λ~u.~v+µ~u ~w. (linéarité par rapport à la deuxième variable) 2. Le produit scalaire est symétrique.

~u.~v=~v.~u 3. Le produit scalaire est défini.

~

u.~u= 0⇔~u=~0.

4. Le produit scalaire est positif

~ u.~u≥0.

Théorème 7.

Remarque :On résume ces propriétés en disant que le produit scalaire est uneforme bilinéaire symétrique définie positivesurR².

(6)

2.2 Droites orthogonales

SoitDune droite et~uun vecteur directeur deD.

On appelle vecteur normal à la droiteDtout vecteur orthogonal au vecteur~u.

Définition 10.

Exemple8: Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(−1,2) et de vecteur normal

−

→n = (1,3).

Soient D et D⁰ deux droites du plan. On dit que D et D⁰ sont orthogonales lorsque leur vecteur directeur sont orthogonaux (ou, de manière équivalente, si leur vecteur normal sont orthogonaux).

Définition 11.

Exemple9:D:ax+by+c= 0 etD⁰ :a⁰x+b⁰y+c⁰= 0 sont orthogonales si, et seulement si :aa⁰+bb⁰ = 0.

Exemple10: Déterminer les valeurs du réel λ tel que D : x−2y+ 1 = 0 et D⁰ : λx+y−1 = 0 soient orthogonales.

2.3 Norme euclidienne

Soit~u= (x, y)∈R². On appelle norme euclidienne de~ule réel :

||~u||=√

~ u²=p

x²+y². On dit que le vecteur~uest unitaire lorsque||~u||= 1.

Définition 12.

Exemple11: Déterminer les normes des vecteurs suivants : (3,−4), √

3 2 ,1

2

, (1,4).

Soit~uun vecteur deR² et soitλ∈R. On a : 1. ||λ~u||=|λ| ||~u||,

2. ||~u|| ≥0,

3. ||~u||= 0⇒~u=~0.

Théorème 8.

Soient~uet~v deux vecteurs deR². 1. |~u.~v| ≤ ||~u|| × ||~v||.

2. On a égalité si, et seulement si, les vecteurs~uet~v sont colinéaires.

Théorème 9(Inégalité de Cauchy-Schwarz).

(7)

Soient~uet~v deux vecteurs deR². 1. ||~u+~v|| ≤ ||~u||+||~v||, 2.

||~u|| − ||~v||

≤ ||~u−~v||.

Théorème 10(Inégalité triangulaire).

Soient~uet~v deux vecteurs deR².

~

uet~v sont orthogonaux si, et seulement si,||~u+~v||²=||~u||²+||~v||². Théorème 11(Théorème de Pythagore).

Exemple12: Tracer un triangleABC, isocèle enA, tel queAB=AC= 5cmet BC= 7cm.

Ce triangle est-il rectangle isocèle ?

2.4 Cercles

SoitAun point deR². SoitR∈R^∗+.

On appelle cercle de centreAet de rayonRl’ensemble des points dont la distance à CvautR.

C=n

M ∈R²/||−−→

AM||=Ro Définition 13.

SoitA(x_A, y_A) un point deR². SoitR∈R^∗+. SoitC le cercle de centreA et de rayonR.

M(x, y)∈ C ⇔ ||−−→

AM||²=R²

⇔ (x−xA)²+ (y−yA)²=R² On obtient une équation cartésienne du cercleC.

Théorème 12.

2.5 Bases orthonormées

• On appelle base deR²une famille de deux vecteurs deR² non colinéaires.

• On parle de base orthogonale lorsque les vecteurs sont orthogonaux.

• On parle de base orthonormée lorsque les vecteurs sont orthogonaux et unitaires.

~u.~v= 0,

||~u||=||~v||= 1.

Définition 14.

Exemple13: Soient~u= √

2 2 ,

√ 2 2

et~v=

√ 2 2 ,−

√ 2 2

. Montrer que (O, ~u, ~v) est un repère orthonormé.

(8)

2.6 Projection orthogonale

Soit−→u un vecteur non nul deR². SoitDune droite de vecteur directeur−→u. SoitM ∈R².

On appelle projeté orthogonal de M surDl’unique pointH deR²tel que H ∈ D

−−→M H.−→u = 0 Définition 15.

Exemple14: SoitD:x+ 2y−1 = 0 et M(2,1). Déterminer le projeté orthogonal deM surD.

SoitM un point du plan etDune droite du plan. SoitH le projeté orthogonal de M surD.

On appelle distance deM à Dla distanceM H. On la note d(M,D).

Définition 16.

Exemple15: SoitD:

x= 1 + 2t

y=−3 +t , t∈R. SoitA(1,1). Déterminer la distance deAà D.

SoitA,B et Ctrois points deR². SoitH le projeté orthogonal de Csur la droite (AB).

−−→ AB.−→

AC=

−−→AH .

−−→ AB

Théorème 13.