2018 10

UNNERSITE HASSAN 11

FSBM

COURS D'ALGEBRE 3 {SMAI)•

2018 / 2019 _:

1

10

A.

R.

2

Contenu

Chapitre 1. Espaces Vectorie1s L Rappels brefs snr les anneaux

2. Generalites dans les espaces vectoriels 3. Somme directe de sous-espaces vectoriels 4. Base d'un espace vectoriel

Chapitre 2. Matrices 1. Operations elemen.taires

2. Matrice d'une application lineaire 3. Rang d'une matrice

4. Changement de base

Chapitre 3. Determinants

1. Rappels sur le groupe syinetrique Sn 2. Formes multilineaires

3. Determinants

04 06 08 10

15 17 20 22

24 25 29

Chapitre 1

Espaces Vectoriels

1. Rappels brefs sur les anneaux

Definition (Groupe) 1.1.1 Un groupe est un ensemble G muni d'une loi de composition intern.e (LOI) *: G x G-. G telle tJUe

(1) * est associatiue: (x

*

y)

*

z

=

x

*

(y

*

z) pour tous :Ji, y, z E G.

(2) * admet un element neutre e E G : e * x x

*

^{e x pour tout}

xEG.

(3) Tout e1ement de G admet un symetrif[Ue ( ou inverse) x-^{1 :} Pour tQ'tl.t X E G il cxiste un element x-¹ E G, necessaircment unique, tel que x *X-1

=

z-¹

*

x e.

On note ( G, *) un tel groupe. Il est dit abelien ( ^O'H. commutatif) si la loi

*

est cnmmutative. •

Exemples 1.1.2 (Z,+), {Q,+), (R,+), (C,+), (R[X],+), ({1, -1}, x), (Q", x), (JR*, x), (C.*, x) sont des groupes abeliens .•

Definition (Anneau) 1.1.3 Un amieo:u est un ensemble A muni de deux ( LOT)

+,

x pov:r les(J'Uelles:

(1) (A,+) est un grov.pe abelien d'element neutre OA. Le syrnetri,que de x E A est note -x.

(2) La loi x est associative.

(3) La loi x est distributive par rapport

a+:

Pour taus x, y, z EA (x

+

y) ^X z

=

^{X: X z}

+

y ^X z et z X (x

+

y) z X X

+

z X y.

(4) La loi x adm.et un element neutre lA dit l'element unite de A.

On note ( A,

+,

x) un tel anneau. ^fl est dit commv.tatif si la loi x est c.ornmutative. •

5

Exemples 1.1.4.

(1) (Z,

+,

x), (Q,

+,

x ), (R,

+,

x), (C,

+,

x)1 (R[X],

+,

x) sont des anneaux comm.utatifs.

(2) L'ensemble .F(R,Ilt) des fonctions reelles d'une variable reelle, muni des deu.x. LCI usuelles:

(J,g) ~ f+g

(J,g) ^1-J> f x g awe (f x g)(x)

=

f(x)g(x) pour tout x ER, est un anneau commutatif d'element unite

1.

L'elem.ent neutre du groupe additif F(R.,R) est !'application mtlle OF(RJt) : R - R x ~ OF(R.ll)(x)

=

0 .•

Definition (Groupe des unites) 1.1.5 ^Sou (A,+, x} un ami.eau:

Un element x E A est dit inversible dans A s 'il existe y E A, 11,ecessairement v.niqu.e, tel que. xx y

=

^{y xx= lA-} L'e:nsemble des elements inversibles de A est un groupe pm.1,r la loi x. On l7appelle groupe des unites de A et on note U(A). L'anneau A est dit ,m corps si, de plus, toot element de A-{OA} est inversible pour la lui x ^O'U.

encore U(A} A-{OA} := A* . Examples 1.1.6 .

(1) U(Z)

=

{1,-1}.

(2) U

(R[X]) =

R".

(3) (Q,+, x), (R,+, x), (C,+, x) sont des corps commutatifu .•

2. Generalites dans les eir-pat'!!e5 vectoriels ·

N. B. Dans tout ce qui suit JI{ designeza. un corps commutatif..

Definition (Espace vectoriel) 1..2.1 Un espace veetoriel sur K ou

JK-espaee vectori.el (K-e. v.) est un =emble E muni des deua; lois s-ai:uar,;/,;es:

(1) Une loi de composition interne +:Ex E-;. E pour laqu.elle (E, +) est un groupe abelien. L'ileme:nt ne-u.tre est note OE.

(2) Une loi de composition e:derne • : K x E -+ E satisfaisant auz:

proprietes suivantes:

Pi) Pour tout x E E : 11( • x

=

x.

P2 ) Pour tous A E K, x1 y E E : ,\ • (x

+

y)

= ,\ •

x

+ ,,\ •

y.

P3 ) Pour tous A,µ E K, x E E : (.X

+

µ) • x l • x

+

^{µ. •} x.

P4) Pour tous A EK, x,y EE: ). • (µ • x) (All)• x.

On note ( E,

+, •)

un tel espace vectori.el. Les elements de K sont appeles scalaires, cew; de E vecteurs . •

Exemples 1.2.2 .

(1) (K,

+,

x) ^est un OC-e.v.

(2) (R,+, x) est un Q-e.v.

(3) (C,+, x) est un R-e.v. et egalement un Q-e.v.

(4) Les deux ensembles R[X], .r{R,Jll) munis des deux lois usuelles ( addition et multiplication par un sea.la.ire) sont des R-e. v. •

y

Proposition {Calcul dans les e. v.) 1.2.3 Soit (E, •} un K-e. v. et soient A,µ EK, x, y E E. On note x

+

(-y) := x -y. Alors

(1) ..\ • (x y) A• x - .;\ • y.

(2) .X • OE

=

OE, (3) .X • (-y)

=

- l • y.

(4) (>.. µ) • x =A• x µ • ^X.

(5) ~ • x OE.

(6) (-µ) •x

=

-(µ• x).

(7) .X • x

=

OE si et seu.lemmt si ,\ Ott: O'I.£ x OE . •

Definition (Application lineaire) 1.2.4 Soient E, F deua; Ji::-e. v.

Une application

f:

E-+ Fest dite lineaire (AL) si:

(1) f(x

+

y)

=

^f(x)

+

f(y) pour tous x,y EE.

(2) f(>.x)

=

>..J(x) pour toos A EK, x EE.

En resume f (J..x

+

µy)

=

),J(x)

+

pf (y) pour taus A, p EK, x, y EE.

Notons ([Ue f(OE) OF. L'ense:mble £,,K(E,F) des AL de E dan.s F muni des deux lois, i,iterne: (f,g) ^I--'> f

+

g, extern.e: (>..J) ^J---l, J,,.f, est un .K.- e.v. L'element nett.tre du groupe additif £-K(E,F) est z,applicati.on nulle

O.c.K(E,F) : E - F x I-¼ 04.(E,F}(x} OF • •

Exexnple 1.2.5 Soit E un K-e. v. et soit o E K.

(1) L'application identique IE : E i---+ Ex ^t--7 IE(x)

=

x est. une AL.

(2) ha, : E ^-+ E x ^I--'> ax est une "AL dite homothctie de E de rapport a . • Cas particulier 1.2.6 Soit Eun K-e.v. Une application lincaire f : E - E est <lite un endomorphisme de E. L'ensemble £11;.(E, E) des endomorphisme,s de E est note LK(E). Muni des deux LCI

(f,g) - f +g

(f, g) ^l-¼ f o g (la. composee de f et g), .CK(E) est un anneau, d'unite

groupe lin~Aire note GLx(E) . •

Son groupe des unites est appele

3. Somme directe de sons--espaces vectoriels

Definition (Sous-espaces vectoriels) 1.3.l Une partie F d'un K-e.v. (E,+, •) e,,-t dite un sous-espace vectoriel (s.e.v.) si:

(1) OE E F.

(2) x,y E F ⇒ x+y E F (stabilite pour l'addition).

(3) ,\ E K, x E F ⇒ .\•x E F ( stabilite par multiplication par un scalaire).

fl est clair que {OE} et E sont des s.e.v. de E . •

Exemples 1.3.2 Soient E, F deux K-e.v. et f : E - Fune AL. Alors (1) {x EE: f(x)

=

^{Op} est un} s.e.v. de E. ll est appele le noyau

de f note ker(f).

(2) {f(x) : x E E} est un s.e.v. de F. ll est appele l'image de f note I m(f) . •

Proposition 1.3.3 L'AL f est injective si et seulement si ker(f}

=

{OE}.

Preuve. ⇒/ Soit x E ker(f), on a: f(x) =OF= f(OE). Done x

=

OE.

-¢=/

Soient ;,;, y EE tels que /(x}

=

^{f(y). Alors x - y E ker(f)}

=

^{{OE}- •}

Notation 1.3.4 Soit nun en.tier 2": 2. L'ensemble {1, ... ,n} sera note J,,_. ■

Remarques 1.3.5 Soient E un K-e.v et C une pal-tie de E. Alors (1) L'intersection de taus les s.e:v. de E qui contiennent C est un

s.e.v. de E qui contient C. C'est le plus petit s.e.v. de E qui contient C appele le s.e.v. de E engendre par C. ll est note vect(C).

(2) Si C = {x1 , . . . ,xn}, on note vect(C) := vect{x1 , . . . ,x,,,} et on a:

n

vect{x1, ... ,xn}

= { L

^AiXi: A1,. - . ,

.An

EK.}- •

i=l

Definitions 1.3.6 Soient E1 , ••• , E,., des K-e. v. On pose

n

p

Ei

X ••• X E.,,, :=

II.&-

i=l

(1) Muni des ^dew; lois:

(x1, ... ,x..a.}

+

(Yi, . ·, Yr,,) A• {x1, ... , Xn)

- (x1

+y1,. • •

,xn

+

Yn), - (h1, ... ,.Axn) _A

P est un K-e. v. dit pmduit de.s e. v.

Ei, ... ,

E.,,.. L 'climent neutre du grov,pe additif P est Op= {OEi, ... , OE,.)-

Si E1

= · · ·

En E alors P est note E'1'. En pamculier si

Ei

=···=En= K, ·pest noter'.

(2) On sv:ppose main.tenant qu.e E1 , •.. , E,,,. sont des s.e..v: d'un

meme

K-e.v. E.

n n

(a) L'applic.ation 'P:

II

^{Ei--¼ E} (x1,••·,xn) 1--i>

L-Zi

t=l

est liniaire. Son image, notie

n

Bi + · · · +

En OU

L ^.&,

i=I

est appele,e la somme des s.e.u.

Et, ...

,En-

i=l

(b) On dit que la somme

Ei +· · ·+En

est di:recte si la relation:

entmine ^Xi

=

OE pour tout i E J.,.. Dans ce oos

Ei + • • • +

En est notee

n

Ei

EB···© En ua EE)Ei.

i=l

{c) On dit que E est somme directe des Ei si la somme E1 +•••+En est direcie et est egale

a

E. Dans ce cas tout vectev:r XE E s'ecri.t d'une maniere unique X X1

+ · · · +

^X,i

ou

^{Xi E}

&

pour tout i E Jn . •

Remarque 1.3.7 Soient E un K-e.v . . et F,G deu:i; s.e.v. de E.

Alors les deux propriet& suivantes sont equivalent.es:

(1) E est som:me directe de F et G.

(2) F+G EetFnG={OE}-

..

Dans ce cas F et G sont dits su.pplementaires. Ainsi tout vecteur x E E s'ecrit d'u.ne maniere unique sous la forme: x

=

^xp

+

^xa

ou

Xp E F et XG E G . •

4. · Base. d'un espace vectoriel

Definitions 1.4.1 Soient E u.n K-e. v. et S une partie non mde de E.

(1) S est di.le liee s'il exi.ste une famille finie {xi, ... ,xn} C S et des scalaires non tous nuls A 1, •.• • An E K tels que:

Les elements de S sont dits lineairement dependants.

{2) Si S n'est pas liee, elle est di:te libre et qu.e .ses e1€ments sont lineairement independants. Ainsi la relation:

EA,X,t=OE,

iEJ,.

les Xi

a.ans

S et les

Ai

dans K, entrafne Ai

=

0 pour tout i E Jn.

{3) S est dite generatrice si pou1· tout x EE, il existe des vecteurs

Xi, • •• , Xn E S et des scalaires ..\1, •.. ,

An

tekl que:

x=

LAiX,.

iEJn

On dit qu,e x est une combinaison lin€.ai.re ( CL) des xi.

(4) Une base de E est une partie libre et gen€.mtrice . •

l l

Remarque 1.4.2 Six E E-{OE} alors la pa.rtie {x} est une libre..

Theoreme 1.4.3 Soit B une partie non vi.de de E. Almnt les trois proprietes suivantes 1.;on,t equivalentes:

{1) B est une base de E.

(2) B est une partie gen&atrice. minimale.

(3) B est une partie libre ma:rimale . •

Theoreme 1.4.4 Soient E et F deux K-e.v., ^{<Li: i E Ju} une base de E et {b, : i E J11 } := C u.ne famill.e de F indexee par J-Alors

(1) Jl existe une AL unique f: E __,, F telle que f(a.) bt pour fmit i E J.,..

(2) Pour que f :wit i.nje,c:J,ive il fa:at et il suffit que C soi.t lilrre..

{3) Pour qu.e f soit sv:rje.ctive il fam et il suffit que C soi.t giini:n,;tria.

{ 4) Pour que f soit lnjedi:ve i.1. faut et il suffit que C soit nne base.

Preuve . .

(1) Existence. Soit x EE, il ex:iste des scalaires ,\1 , . . . , . ~ tels que

On pose: f(x) ,\1

bi + • • • +

J...nbn et on verifie facilement que fest une AL telle que

/(a;,}=

bi pour tout i E Jn.

Unicite. Toute AL i.p telle que i.p( a;,)

=

^b, pour tout i ^E Jfi coincide avec /.

(2) Les a.flinnations (2), {3) sont conBeqUences i.mmedia.tes des definitions. L'affinnation ( 4) decoule des deux precedentes.. • Definition 1.4.5 Un K-e.v. est di:t de dimension finie s'il possMe une famille generatrice finie. •

Theoreme 1.4.6 Soient £,

g

deux parties finies d'1m. de dimension finie telle.s IJUe £ f;;;

g

avec £ libre et

g

gene:ro:tri.ce

finie.

Alors il existe une base B de E tell.e gue £ f;;; B ~ g.

Preuve. L'ensemhle P ={BCE:£~ B ~ Q, B libre} est non vide car£ E P. Soit alms B₀ un ele;ment de Pde cardinal maximum, nous .allons montrer que la partie libre Bo est une base de Si Bo est contenue strictement dans g et si x E Q Bo alors Bo U { x} rat

lice

et

par consequent ^X est CL des elements de

Bo.

Comme g est gene:ratricc, tout element de E est CL des element de

Bo.

Done Bo est generab:ice. • CoJ:"ollaire 1.4. 7 Soient g une partie generatrice finie d"un K-e. w.

E. Alo rs il existe une base B de E teUe qu,e B ~ g. En partic:ulier,

tom

K-e. v. de dimension finie admet une base.

Preuve. On fixe un element non nul a clans g et on applique le theoreme precedent pour £ {a} et

g . •

CoJ:"ollaire (Theoreme de la base incomplete) 1.4.8

/Joit

E un K-e. v. de dimension finie et soient Y1, ... , YP des vecteurs lineai.reme.nt independanf;s de E. Alors il existe des vectewrs Yp+I, ... , Yn de E te1.s

qu,e {Y1, ... , Yp, Yp+1, ... ,, Yn} sont u.ne base de E.

Preuve. On pose £ {y1, ... , Yp} et si 9₀ est une famille generatrice finie de E alors g £

u

00 e.st um: :fumille generatrice finie de E qui contient £. Le theoreme 1.4.6 acheve alors la demoru;tration. •

Lemme 1.4.9 Soit pun e:ntier ~ I et soit Eun K-e.v. possedtmt une ba.c;e a p elements. Alors toute famille libre de E contient a1L plus p t!ILmenuL •

Theoreme de la dimension finie 1.4.10 Toutes les bases d'un OC-e.v. de dimension finie sont fi:nies et ont le meme nombre dJ€lements.

Preuve. Soient Eun K-e.v. de dimension finie et {a1 , . . . ,a,,}, {bi, ... , bq} deux bases de E. Com.me

bi, ... ,

bq sont des vecteurs lineairement independants, on a: p q d'apres le Lemme 1.4.9. De meme q ~ p par symetrie .•

13

Definition 1.4.11 Soit E un K-e. v. de dimension finie. Le nombre d'elements de toute base de E s'appelle la dimension de E et on note dimK E. Si B

= {

a1, . .. , a,,.} est une base de E et si x est un vecteur de E il e:riste .\1, ... , .A,. EK uniques tels que x

=

.\1a

+···+>.,,.an.

^Le

scalaire >..k s 'appelle la ~ coordonnee de x dans la base B . •

Theoreme 1.4.12 Soit Eun K-e.v. de dimension finie. Alors tout s.e.v. de E est de dimension finie et admet un su.pplementaire.

Preuve. Soit F =I=- {OE}, E un s.e.v. de E et soit x₁ E F - {OE}, alors { x_{1 }} est une partie libre de F. Supposons qu'on ait trouve clans

• p une partie libre

a

^{k elements {x1, ... ,xk}- Si} vect{x1: ...• xk} =f

· F il existe dans F un vecteur Xk+i qui n'est pas CL des vecteurs x 1, ... , ^Xk, done { x1 , . . . , xk+1} est une partie libre de F. Co:mme toute partie libre de Fest egalement libre dans E, ce processus d'extention du systeme de vecteurs libres doit s'interrompre en vertu du Lemme 1.4.9.

Il existe al.ors un entier

ko

E N* tel que vect{x1 , . . . ,x1n}

=

^F

et par consequent {x1 , . . . ,xko} := £ est une partie generatrice de F. Ce qui montre que F est de dimension :finie ayant une base

£,. D'apres le theoreme de la base incomplete il existe des vecteurs xko+I, ... ,Xn EE tels que {x1, ... ,xko,xko+I, ... ,Xn} soit une base de E. Amsi vect{xko+l, ... , Xn} ^{est Uil} supplementaire de F clans E dont une base est {xko+l, ... , xn}- •

Proposition 1.4.13 Si E et F sont deux K-e.v. de dimension finie.

Alors il en est de

meme

pour ExF et on a: ~(ExF)

=

<limK E+dimK F.

Preuve. Soient B une base de E et C une base de F. On pose B₁ =Bx {Op} et C₁

=

^{{OE} x C. Alors}

Bi

UC1 est

une

reunion disjointe finie et est une base de E x F . .

Corollaire 1.4.14 Soit E un K-e.v. de dimension finie somme directe des s.e.v. F1, ... , Fm. Alors rnII1KE

=

di.n.ix:F1

+· ·

-+dimKFm-

Preuve. L'application

est lineaire bijective. Ainsi si B est une ba5e de F1 x · · -x Fm al.ors cp(B) est une base de E et on a:

dimK E

=

card( (J}(B))

=

card( B)

=

dimK

IT

^F.

⁼ L

^{dim1t F, . •}

iEJ.., iEJ,,.

Exemple 1.4.15 Soit n un entier ~ 2 et soient i, j E J,,.. On pose { 1 si i = j

.iij

=

0 si i

=I

j

Oij est <lit Sll11lbole de Kronecker. Considerons le K-e.v. En. Les elements e1 , . . . en de K.^1\ ou e;, a pour je coordonnee tSi;, forment une base de Kn dite la. base canonique notee Bn, Ainsi dim.K K7'

=

n . .

Definition 1.4.16 Soient E, F dev.x K-e.v. Une AL bijective

J:

E ^--t F est dite un isomoTphisme d'e. v. Dans ce cas E et F sont difa isomorphes. •

Theoren1e 1.4.17 Tout K-e. v. de dimension finie n est isomorphe

•

t.U!Cn.

Preu ve. Soit E llil K-e.v. de dimension finie n et soit { a1 , . . . , a,.} une base de E. Alors !'application

E -

r

^X

L

^{A;ai 1-->}

L

^Ai~ est lineaire bijective. •

•EJn iEJn

Theoreme 1.4.18 SoientE etF deuxunK-e.v. de dimensionfinie.

Alors £,K(E, F) est de dimension finie et on a:

Definition 1.4.19 Soient E un K-e.11. de dimension fime. Ji' un K- e. v. et f : E - F une AL. On appelle rang de f et on note rg(f) la dimension de Im(f) .•

Remarque 1.4.20 . (1) rg(f)

s

^{di:mi( E.}

(2) rg{f) dimx: E si et seulement si f est injective .•

Theoreme dn rang 1.4.21 Soient Eun K-e.v. de dimension finie, Fun K-e.v. et f E Cnr(E,F). Alors di.mncE

=

dimKker(f) +rg(f) .•

Chapitre 2 Matrices

1. Operations elementaires

Definitions 2.1.1. Soient n et m deux entiers natu:rels non mrls.

{1) On appelle matrir..e de type (n, m)

a

coefficients dans K. un tableau den lignes et m colonnes ronstitue d'elements de K.

L'ensemble de telles m,oJ,rices est note Mn,m(K).

(2) Une matrice de type (n,n) est appelee ma.trice came d"onl:ren.

L'ensemble de ces dernieres matrices est note Mn(K).

Toote matrice de Mn,m(K) s'ecrit:

je colmme

J.

an a12 a1j

an

^{a22 °'2j}

Elle est notie (~J)(iJ)EJ.,xJ;..· Celle-ci. est dite la matri,re nv.Ue si

~j

=

OK pour tout (i,j) E Jn ^X Jm . • Proposition 2.1.2. Muni des deux lois:

inteme (Ui;)i,;

+

^(biJ)i,;i

externe A • ( Oii ),.;

{Cij}ij oil Cij

=a.;+

^bij poor tout (i,j) E Jn ^X Jm (.-ftj}ij oil t:4;=Atl£j po'U'l'tous AEJ!C, (i,j)EJnXJm

l'ensemble Mn,m.(K) posse.de u.ne structure de K-e.v . •

Definitions 2.1.3 Soient n, m, r des entiers non nuls et soient M

=

(l¼j)(i,7")EJ.,xJ,,._ E Mn,m(K), N

=

(bij)(i.j)EJ.,,xJ7 E Mm,r{K.).

(1) On appelle transposee de M et on note t M la matrice (b.i )(ij)E.J;..x.J..

de i:ljpe (m, n) telle que

b.; =

aj;; pour tout (i,j) E Jm x Jn. Ceci definit une AL: Mn,m(K.) -+ Mm,n(K) M ^1-7 tM. En o'fl.1:re, teM)=M.

(2) Le prod:uit de M par N, note MN est la mat-rice de type (n, r) definie par: MN= (c..,)(ij)EJ,.xJ.- OU

C;,j

= L

^l¼1:b1:1-

k.EJ.,.

A

Dans ce oos le prodv.it de t N par t M est cgalement defini et on a: t ~ M

=

t(M N) E M.,.,n(K).

Pour que les de'UX produits MN et NM soient simvltanement definis il faut et il suffit que n

=

r. Dans ce ros MN et NM sont des matrices carries d'ordre n et m respectivemrnt. Ainsi, pour avoir l' egalite NM

=

MN il faut que les trois entiers n, m; r soient cgaux. •

Proposition (Proprietes du produit) 2.1.4 Le produit des matrices

est associatif lorsqu 'il est defini. En outre, pour tous M E ~m(K), N, R E Mm,rCK) et A E :K, on a:

(1) M(N

+

R) est defini et on a: li!(N

+

R) =MN+ MR.

(2) >.(MN)

=

(.X:.M)N

=

M(.\N) . •

17

Proposition (L'anneau Mn(K)) 2.1.5 Muni de l'addition et de la multiplication des matrices, Mn(IK) est un anneau d,u.niti I.,. ou.

: = d i a g ~

n fois

En outre, !'application K-"' Mn(K) >. ^1--4 >i.In est un homomurphisme injectif (monomorphisme) d'anneaux. Son image est un sous-anneau

de Mn (JK.) isomorphe

a

K.. • A

Remarques et notation 2.1.6 Soit n un entier > 2.

(1) L'anneau M1(K) est isomorphe

a

K.

(2) L'anneau Mn(K) n'est pas commutatif. De plus, le produit de deux matrices non milles pent etre nul:

(3) Le groupe des unites de l'anneau Mn(K) est appele groupe lineaire d'ordre n

a

coefficients dans K. II est note G.Ln(K) .•

2. Matrice d'une application lineaire

Dans ce paragraphe E, F, G designeront trois JK.-e.v. de dimension finie, BE = { e1, •.. , e...} une base de E, BF = {Ji, ...• JP} une base de F et Ba une base de G.

Definition (Matrice colonne des coordonnees} 2.2.1. Soitx EE ayant pour coordonnees X1, ... , Xn par rapport

a

la base BE- 0n appelle matrice colonne des coordonees de x dans la base BE la matrice X de type ( n, l) donnee par:

x-( I) -

18

Proposition 2.2.2. Soit f E £K(E, F) et soient x EE)

X sa matrice cnlonne des coordonees dan.s la base BE et Y la matrice c.olonne des coordonees de f(x) dans la base BF- Alors Y AX

ou

^{A E Mp,n(K).} La matrice A, dite de f clans les bases Bs, Bp, est notee M(f, BE, BF).

Preuve. Soit x x1 e1

+ · · · +

Xnt;. E E. Pour tout i ^E Jn le vectem f(ei) s'ecrit

et on a:

Comme

on a:

Ainsi

avec

p

1ce..) :z=

^ajifj

^..

j=I

n p

f(x)

I:xi( ^Laidi)

i=l j=l

p

f(x)

= LYif;,

j=l

n

Yi

L

^Xiaji

⁼

^{a;r X1}

^{+ · · · +}

^ajnXn-

i=l

a~n) ( : ~1 ) -: -AX.

a,m Xn

... !(en)

a1n

ft

Ujn

Ji .

°'Pri fp

Notation 2.2.3. La matrice M(f,BE,BE) d'un endomorphisme

f

de E est not6e M(f,BE)-.

19

Theoreme 2_2.4. L'a:pplication 'P : C:...(E,F) --> Mpn(K) J ,... M{f,Bi,;,BF)

est lineaire bijective (isomorphisme d'e.v.). En outre, si f E £rg;(E,F) et g E 4(F, G) alors

Pren:ve. Il est rouninier de verifier que ip est une AL. Son noyau ker<p, visiblement trivial {04r(E,F)}, assure I1injectivite de ip. II reste

a

montrer que VJ est surjective. En effet, si M

=

(aii)(iJ)EJpx.J.., E 1\/pn(JIQ, on definit rme AL f : E ----+ F en posant: •

1cej)

= L<liit,)

i.€;.Jp

et on a: M(f, Bz, BF)

=

M. Ceci etablit la premiere assertion. Soit m.aintena.nt x E E et aoient

X sa lll8,trice colonne des coordonnees dans la base BE,

Y la matri.ce colonne des coordonnees de f(x) dans la base BF et Z la. matri.ce colonne des coordonnees de (go J) ( x) dans la base Be.

M(gof,!3B>!3a)X - Z

M(g,!3F,Ba)Y

M(g, BF, Ba)M(f, BE, BF )X.

Corollaire 2.2.5. L'application ~ : £K(E) --,. Mn(K) f r+ M(f, BE) est un isomcrrphi.sme d'anneaux.

Preuve. cf> est additive. Si, de plus, /, g E £.i.JE) on a:

if!(f og)

=

M(f og,BE)

M(f, BE)M(g, BE) d'apres le theoreme 2.2.4 - if!(/)cf>(g) .•

3. Rang d'une matrice

Definitions 2.3.1 Soient M, N E Mpn.(K).

( 1) Les colonnes de M sont des vecteurs de P. On appelle rang de ]YI et on note rg( M) le nombre maximum de vectewrs colonnes lineairement independants. C'est igalement la dimension du s. e. v. de ]l{P engendre par les vectev.rs colonnes.

(2) M et N sont dites eqv.ivalentes s'il existe Q E GLv(K), PE GLn(K) telles que

M=Q-¹ NP.

l l l

(p,p)(p, n)(n, n)

A

(3) On suppcse main-tenant n

=

p. Les deux matrices M, N sont dites semblables s'il existe PE G.Ln(K) telle qu.e 1kt p-¹NP . • Theoreme 2.3.2 Soit f E l,K(E, F). Alors il existe des bases B, B¹ de E et F, rnspectivement, telles que

M(f,B,S)

= (-

¹

0 I~)

^{E .Mv,n(K)}

^our

^est le rang def.

Preuve. Soit {e1 , ••• , e,.} une base d'un supplementaire

Eo

de ker(/) dans E. Si {

e.-+

1 , ... , en} est une base de Irer(/) ^alors 8

= {

^e1 , •.. , en}

est une base de E. En outre, {f(e1 ), . . . ,/(e,.)} est une base de Im(f) d¹apres le Theoreme du rang 1.5.4. On complete cette derniere en une base 8¹ {/(e1), ..• , /(e,.), e~+l• ... , ~} de F et on obtient la matrice

f(e1) ... f(e,.) /(er-+1) ... /(e.,,.)

1 0 0 /(e1)

M(f,B,B1)

=

^{1 0 0 f(~)}

0 0 ₄₁

0 0

~-

21

Corollaire (Caracterisation des matrices equivalentes) 2.3.3 La condition necessai.re et suffisante pour qv.e dew: matrices M,N E

Mp,,.(K.) soient equivalentes est que rg(M)

=

rg(N). E n ~ . si rg(M) r, il existe des matrices Q E GLp(K), PE GLn(.K) telks que

Corollaire 2.3.4 Soit M E Mp,n(K.) et soit f E DK(E, F). Alors

(1) rg(tM) rg(M) min{n,p}. •

(2) rg ( M(f, BE, BF)) rg(J).

Preuve ..

(1) Soit r le rang de 111 que l'on peut supposer non nul. D'apres le corollaire 2.3.3 M est equivalente

a

La matrioo t M est a.lom equivale.ntes

a tn,. ( Io I ^{g ) E}

Mn.r,(K.).

et on a: rgrM)

=

rg(tD,.)

=

^T.

(2) Les vecteurs colonnes de la matrice M(f,BE,BF) sont J(e1), ... , f(en), et on a:

rg(f) dim11Jm(f)

dimK (vect{f(e1), .. ,/{en)})

- rg( M(f,BE,BF)) par definition du rang d'une ma.trice.

Soient B { e1 , . . . , en}, B

=

{ei, ... , e,.,,} deu:x: bases de E. Alors pour tout i ^E J.,,, le vecteur e_ s'ecrit:

j=l

On note

If

la ma.trice

( Pn M(IE, B, 8)

= :

Pnl

..

elite de passage de la base B

a

la base B. Elle est inversible d'inverse

(Pl)-

¹

=

M(IE,B,B}

=

Pf

Soit ma.mtenant X

=

^x1e1

+ ... +

XnCn x1e1

+ ... + x,,,en

^{E E et} soient X sa matrice colonne des coordonees clans la base B et

Ona:

Done

X sa matrice colonne des coordonees dans la base B.

n n

I:x.(

^LP;i)e1

i=l i=l

n n

- L c~=X@ji)ej.

j=l i=l

n

Xj

=

^LX@fi, et on .a:

i=l

= ~

23

Proposition 2.4.1 SoiC!fd BE, BE dew; bases de E, BF, BF dew;

bases de F et f E £K(E, F). Awrs

Preuve. Vega.lite/ ^po

f f

olE : E - F illustree par le diagramme:

donne

ou encore

(E1BE)

.!.+

(F,BF) IE l.

!

lp

- f -

(EiBE) - (F,BF)

Corollaire 2.4.2 Soient BE, BE deu:J: bases de E et f E £K(E).

Alors les deu:z: mal:rice,s M

=

M(f,BE) et N = M(f,.BE) sont semblables.

ConcretemC!fd N p~I MP oil. P

!{: ..

Chapitre 3 Determinants

N .B. E dcsigncra un e.v. de dimcrurion finie n ::':': 2 sur K = R on C, a.,ant une base B {e1, ... , e,.}.

1. Rappe1s sur le groupe symetrique S,,..

A

Definitions 3.1.1 Soit V un ensemble non vi.de. Alors Pensemble S (V) des applications bijedi.ves de V dans V, mv.ni de la composition des applications, est un groupe appele le groupe des permutatiuons de l'ensemble V Le. groupe des permutations de l'ensemble Jn. est appele groupe symetrique de degre n note Sn- Soit c, E Sn une perm:utation,

on note:

1L )

a-(n)

On dit que permutation T E Sn e..st une transposition s ¹il a;i,s!;e deu:.r:

elements i, j E Jn tels qae r(i)

=

j, r(j)

=

i et r(k)

=

^{k pour tout k E}

Jn {i,j}. Cette transposition est notee r

=

(i j). On a ividemment

T-1 ='T. •

Theoreme (Ord.re et generateurs de Sn) 3.1.2 Le groupe symetrique S,,.. est d'onlre nl engendTe par ses tronsopositions, autrement dit, tvute permutation de S,,.. s 'ecrit c,omme un produit fini de transpositions. •

Remarque .3.1.3 La decomposition d'une permutation a E Sn en un produit fun de transpositions n'est pas unique. Cependa.nt, si r1 . . . Tr, Tj_ ••• ^~ designent deux decomposition...-, de a en produits finis de transpositions, alors r et s ont la. meme parite. Ce qui donne un invariant (-l)T

=

(-1)" .•

Definition (Signature d'une permutation) 3.1.4 Soit a-ES,..

On appelle signature de u, et on note f::u, l 'entier (-1 )7" our est le nmnbre de transpositions qui appamissent dans une der.omposition arbitmire de er en produit de transpositions. On dit que la permutation a est paire si E:cr 1 et impaire si E:u - L •

Proposition 3.1.5 L'application Sn -+ ({1,-1}, x) u - ^Eu est un homomurphisme surjectif de groupes. •

Theoreme (Groupe alterne) 3.1.6 Les permutations paires de Sn constituent un sous-!)TOtl,pe de Sn d'onlre

1

appele gT'Ofl,pe altern.e de de.gre n. n est note

An . •

2. Fonnes multilineaires

Definitions 3.2.1. Soit n un entier ~ L

( 1) Une fmme lineaire ( ou 1-Iineai:re) sur E est tme application f : E - K.

(2) Une forme bilineaire (F.B.) S'UT E OU f01'ffle 2-lineaire est -une application B : E x E - K telle que pour tous a, b E E : B(a,.): E - K yi-+ B(a,y) et

B(.,b): E - K x 1-+ B(x,b) sont des AL, c'est

a

dire {a) B(o:x+{Jx',y) o:B(x,y)+f3B(x',y),

(b) B(x, >.y

+

^µy')

=

^>.B(x, y)

+

^µB(x, y') pour tous x, x1, y, y1 EE et a,

/3,

).,µEK.

(3) Une application qi, : F:m -+ K est dite une forme m-lineai:re si cit est l.ini!aire en chaque variable, C 'est

a

dire:

est une AL pour tout i E Jn. L'ensemble des formes n- lineai.n:s sur E est un e. v. sv.r K noti L.. ( E) . •

Exelllples 3.2.2 . .

(1) Une fonne 1-lineaire est une forme lineaire.

(2) L'application Rx JR~ R (x, y) 1-+ xy est u.ne F.B. sur JR.

{3) Plus generalement, !'application

Rn X Rn-, JR ({xi, . . , Xn), (Yh •.. ;

Yn)) ._

^X11JI

^{+ · · · +}

^x.,,,,y,.

est une F.B. sur le JR-e.v. R." .•

Definition {Forme lineaire alternee) 3.2.3. Une forme n-liniaire q, sur E est dite alternee si 4>(x1, •.. ,Xn}

=

0 chaque foi.s oi,, apparaissent dev.:i; term.es id.entiques parmi X1, ••• , :z;.,,.. Les form.es n-lineaire olternees sur E constituent un s.e.v. de Cn(E) note /4,.(E) . .

Soient maintenant IP E L:n(E) et <T E Sn, on definit une nouvelle fonne ~lineaire u* ( g,) sur E en posant:

o-*(<J>)(x1, ... ,xn) <.P(Xo-(1),··. ,Xo-(n)).

Soient u,µ E Sn, on verifie aiscment qne: (a-o µ)*(<J>)

=

a-*(µ"'('1>)) .

..

Theoreme (Une Caracterlsation de An(E)) 3.2.4.. Sait 4'> E £n(E).

Alors 4'> E .An(E) si et seulement si ,*(4'>) =-~pour totrte tmnspositwn, de Sn.

Prenve. Condition suffisante. Si xi = x₃ avec i

=I-

j on considere la transposition r

=

(i j), et on a::

7*(<l>(x1, .•. , Xn) par hypothese

<P(xi, ... , Xn).

Done 2q>(x1, ... , Xn)

=

0 et on a: g> E .A.n,(E)

Condition necessaire. Soit T

=

(i j) avec i

<

j, on a;

0

=

'P(X1, ..• , Xi-h Xi+ Xj,Xs+I, •.. , X;-1,Xi

+

Xj,Xj+l; .•• ,Xn)

~ ~

ie place j" place

- +(x1, ... ,xi, ... ,x;, ... ,xn)

+

<l>(xi, ... ,x;, ... ,xi, ... ,Xn)- Done @(x1, ... ,x;, ... ,xi, ... ,xn)

=

-@(x1, ... ,xn)-D'autre part:

q>(x1, ... ,Xj, ...

,x,, ...

^{,Xn) -} @(Xr(l), .•. ,Z.,-(i), •. - ,Xr(i), •.• ,X.,.(n))

r*(IP)(x1, ... , Xn)- Ainsi -r*{'1>)

=

^{-@ .•}

27

Corollaire 3.2.5. Soient 4"> E An(E) et er E Sn- Alors u*(•)

=

£u'1>- Preuve. er se decompose en un produit ,_{1 . . .} Ts de transpositions et on a: £,,-

=

(-1)8. Ainsi

O"*(<J>) (T1---'TS'(<J>)

- r;(r;( ...

(,;(<I>) ••• ))

- (-l)⁸q> d'apres le Theoreme 3.2.4

£,.-c1>. -

Lemme 3.2.6. L'application

.6.B : E1' ---+ OC <I> (

L

a1.i1e1oi,

L

^a½l ek:z, .•. ,

L

^{ak,.n~) I----+}

L

£a«a-(l)l ••. a.,-(n)n

k1EJ,. k-,iEJn k..EJn aES,.

est une forme n-lineaire alternee sur E.

Preuve. (Voir TD) .•

Theoreme 3.2. 7. rlim.1t: .A_(E)

=

1.

Preuve. Soient <I> ^E A,.(.E) et Xi

=

a1ie1

+ · · · +

a,.ie,., i E In. On a:

'1>(

L

""1_1ek11

L

^a1::z1ek2 , • • • ,

L

a1:,.afik..)

ki_EJ.,. k.EJn k..EJn.

L

^{a1ci1 c1> ( ek1 ,}

L

ak:zl e½, ... ,

L

a1=,.ne,.,,.)

ki EJn k2EJ.,. kEJn

L

^ak1I

L

^{ak22 • · ·}

L

^a1;.n <I>( ek1 , eq, ... , ek,.) k1EJ,. /i:,zEJ,. k..EJ,.

L

^{ak1l ak22 ... llk,,,_n '1>(} ek1, ek-.l, ... , e..,_J car q> est alternee .

lesk;#2a.2

Pour tous k1 , __ . ,

kn

E Jn, distincts deux

a

^deUJ[, il existe une unique permutation O" E Sn telle que k1

=

u(I), ... ,

kn=

u(n). A.msi

<l>(x1, ... , Xn)

= L

lla(l)l . . . ll,,-(n)n'1>(ea{l), - .. , ea{n))-

<TES..

Or

cI>( e,,-(1), •.. , e,,.(n))

Done

u*(

cI>(e1, ..• ,

En))

£,,.4>( e1, ... , en) d 'apres le Corolla.ire 3.2.5

- L

lla(l)l • • • au(n)n tfl( ea(l),. • •, ea(a)) uES,.

cI>(e1,•••,t;.)AB(X1, ... ,xn) _A

c'e.st ad.ire 4>

=

AAB OU.A= 4>(e1, ... , en)- On amontreque~(E) = vect{AB}- •

Demonstration du Lemme 3.2.6

Montons que A₈ est alternee. En effet, si x,

=

x; avec i

i=-

j on pose ^T

=

(i j), et on a:

A5(x1, • • •, Xn) =

L

£,.-a,,-(1)1 • • • a.,-(n)n

+ L

£,,.a.,.(1)1 • • -a..-{-n)n

aEA,. aES .. -A,.

L

E,,-au(l)l • • • a.,-(n)n

+ L

£.,..,-a.,..,-(1)1 • • - a,n{n)n

rrEA,. o-EAn

car u I---¼ u-r est une bijection de

An

sur Sn - An

Comme Xi

=

^x₃ on a: aki

=

^akj pour tout k E Jn. Done aa(w),i

=

^au-(i)j

et a,,-(j)i

=

a,,.(j)j, ce qui donne AB(x1, ... , Xn)

=

0.

Montons que AB

cl-

0. Pour tout i E Jn,

e.

s'ecrit

e.= Lokiek.

kE.l,.

et on a:

011 · --Onn

- 1..

Definition 3.2.7 Le determinant den vedeurs x1 , . . . ,x., E E par rapport

a

la base B

= {

^{e1, ... , e .. }} est le scalaire. .6.B(x1, ... , x.,) . •

Remarque 3.2.8 Si C = {/1 , .•• ,

f.,}

est une autre base de E alors

En effet, il existe .A EK tel que .6.n

=

..A.6.c et on a: .6.B{x1, .. - , x,..)

=

>...6.c ( x1, ... , Xn). En particulier

>...6.c(h,- • - ,fn)

>.. car

.6.c(/i, ...

,J.,)

=

1. •

3. Determinants

Soient cp E .A..i(E)-{O}, u E CK(E). Pour tout (x1, ... ,x,.) EE"', on note: cpu{x1,---,Xn) := <I>(u(x1), ... ,u(:1:n)). L'application cpu est

a

^{son tour une forme} n-lineairc alternee sur E et s'ecrit cpu =>,.(}>OU

>..EK. Nous avons la precision suivante:

Lemrne 3.3.1 ..\ est independant de cp _

Preuve. Soit \J! E An(E) - {O}, iI existe µ E K tel que W

=

µip.

Done

Wu (µ<I!)., - µ<I> ..

- µ(Aip) ..AW ••

Definition (Determinant d'un endomorphisme) 3.3.2 Soit u E £-K ( E). On appelle determinant de u, et on note det u, le scalaire.

>.. tel que, cilu . ..X<T! pour toute forme n-lineaire olternee '1> sur E . •

Re.marques 3.3.3 Soit u E £K(E).

{l) Si ii.> E .An(E) est telle que il.>(e1, .•. ,en) I alors <.P =AB.En particulier

(2) detu est independant du choix de la. base de E.

(3) Siu est de:fini par: u(e;)

=

Xi pour tout i E Jm alors detu

=

&s(x1, ... ,Xn)-.

Theoreme 3.3.4 Les proprietes suivantes ont lieu:

{1) detIE 1.

(2) Siu, v E £K(E), alors det(u o v)

=

(detu)(detv).

A

(3) Siu E £K(E), alors u e..,t inversible si et seulement si det u 0.

Preuve ..

(1) Resulte de la definition de dct u.

(2) Soit cl? E .An(E) - {O} et soient z1 , . . . ,x11 E E tels que

il.>(x1, ••• , Xn)

=/-

0, on a:

(detu){detv)d>{x1, ... , Xn) - (detu)d>('u(x1), ... , v(xn))

'1>(

(u o t1){x1), ... , (u o v )(xn)) det(u o v)ID(x1, ... ,Xn)-

(3) ~ / Siu est inversible, on a:

1 detIE

- det(u o u-¹)

- (detu)(dettr¹).

Done detu -=I-0.

<= / Siu¢ GL~.(E), alorsrg(u) <net pour tons x1 , ••• , Xn E E, Im vecteurs u(x1), ... , u(x.,..) sont lies. Ainsi, pour tout cJ? E

An(E) {O}:

0 t})(u(x1), .•. , u(x.n)) car

run

des u(xi) est une CL des autres - ( det u )t})( X1, ... 'Xn), c'e.st

a

dire det u

=

0 .•

Corollaire 3.3.5 Soient x1., ••. ,Xu EE. Alors {x1 , .•• ,:i;..} est une base de E si et seulement si le determinant des ^Xi par ra.ppmt

a

toute base de E est non ntd.

Preuve. Soit B

= {

e1, ... , e"n} une base de E et soit u l'endomorphisme u de E defilli par:

•

Alors

{xi, . .. , Xn} est une base de E {:::} u est iuversible

¢} L\s(x1, ... 'Xn) detu 0 (Theoreme 3.3.4). • Soit maintenant B

=

{e1, ... ,en} une base de E et soit u E 1.::g_(E).

Ona:

u(e;)

L

^{tlije;;, j E Jn.}

iEJ.,

D'a.pres la definition de detu, on ^a:

detu

L

EaGu(l)1 • • • a..-(n)n• • uES,,,

Definition 3.3.6 Soit A

=

(Uii)iJEJ,. E Mn{K). On appelle determinant de A, et on note det A, le soolai,re:

~ e.,.a,,.(1)1 ••• a,,-cn)n· • uES,.

Exemple 3.3. 7 Soit

A ( an ^{a12 ) ,} on a:

1121 a22

Done

A

( a~1

_:

a~)

_{: , detA}

₌

a...i a.m.

Remarque 3.3.9 Soient A (a.;)i,iEJ,. E M,..(K) et UA 'E 4(.JK11) defini par:

uA(e;)

= La.;~

iEJ,..

on { eh .. : , e,..}

=

B.,, est la base canonique de Kn. On a:

detA

=

detuA .•

En tenant compte de l'IBOmorphisme de Mn(K) sur LK~) donne par: Ai--+ uA, on obtient le resultat suivant:

Theoreme 3.3.10 Soie:nJ. A, B E M,.(K). Alers (1) detln 1.

{2) det(AB)

=

(detA)(detB).

(3) A est inversible si et seulement si detA

=I-

0.

Preuve . .

(1) detln

=

detJE

=

¹ d'apres le theoreme 3.3.4 (2) On a:

M(uAB, Bn) - AB

· M(uA,Bn)Af(us,Bn) - M(uA ouB,Bn)- Done ^uAB

=

^uA o u 8 et on a:

det(AB) - detuAB det(uA o uB) - (detuA)(detuB)

(detA)(detB).

(3) ⇒

/

Si A E GLn{K)) alors 1 - detln

det(AA-¹⁾ - (detA)(detA-¹).

33

A

-¢= / On a: det 'lLA

=

^det A

#

0. Done UA est inversible. Soit B

=

M(u-¹, Bn)- On a:

AB= M(uA,Bn).llf(ui,Bn) =I.,.= BA.

Done A E GLn(K) . •

Theoreme 3.3.11 Soit A E Mn(K). Alors det tA detA.

Preuve. Si A= (<4i)a,;eJ,., alors

detA -

L

Euau(l)l .•• Ou(n)n·

a-ES..

det tA -

L

E:µOlp(l) • • • '1np(n)•

p.ES,.

Pour toute permutation a E Sn, on a:

a1µ(1} • • • Onµ(n) au(l)µu(l) • • • llu(n)µ,r(n)

En particulier, pour u

=

µ-¹ : a1.,,(I) ... a..µ(n) aµ-l(l)I ••• a,-.-i(n)n·

Done

det ^t A

= L

eµaµ-l.(1)1 ••. a,,-l(n)n µEB..

L

Eµ.-1aJL(1)l · .. aµ(n)n carµ ^i--+ µ-1 est une bijection de Sn µ,ES.,,

detA ca:r eµ-i

=

ew •

Definition 3.3.12 Soit A= (<4;)i.;EJ,. E A4(K).

(1) On appelle mineur du terme <Li;, et on note fl.ii, le determinant de la matrice d'ordre n - 1 obtenue en S'tJ.1}1Jf'imant la ie ligne et la f colonne.

(2) On appelle cofedeur de Uij le sc.alaire (-l)i+i Aii· •

Theoreme (Developpement suivant une ligne OU une cokmne) 3.3.13 Soit A (a.;)iJEJ,,. E Mn(K). Alors pov,r tous i,j E Jn on a:

detA

I)-1)1:+iav.~

(Developpement suivant la i! ligne)

L

{-l)k+ia1:;A111; (De1.1eloppement suivant la je colonne).

kEJ.,.

Prenve. Il suflit d'etablir la deuxieme egalite pour j

=

^L En efiet, si la formnle est etablie pour j

=

1 on considere la matrice Aj

=

(bv )i,iEJ..,

doouite de A en permutant la premiere et la. je colonne. On a.:

detA

=

det.A;

- 1:{-l)h-1-¹~(-l)iAk;

1:EJ,,.

L (

^{-1 )"+i ai.;Akj.}

kEJ,..

"

Pour j 1 et k E Jn, on pose:

et on a:

det A

L

^{det M1;;.}

kEJ....

Considerons main.tenant la ma.trice N1r., deduite de Mk en pennntant la premiere et lake ligne. On a: detM1c

=

-detNk

=

-ak1(-l)⁵Akl.,

detA

=

1:(-1)'-+¹auAk1•

kEJ.,_

La premiere egalite est consequence de la deuxieme et du theoreme 3.3.11 precedent .•

Proposition (Matrices blocs) 3.3.14 Suit A E Mu(ll{) te.lle que

A=(~I~)

ou

^{M E Mp{K), NE Mq{:OC)} avec ^q

=

n ^p. Alors detA = (detM)(detN).