Archive compl`ete

(1)

Exercices

de math´ematiques de Math Sp´e

Archive compl`ete

Lycée Henri-Poincaré, Nancy

Walter Appel

58 rue Notre-Dame des Anges 54 000 Nancy

Voici quelques  exercices que j’utilise dans mes enseignements en prépa.

Un certain nombre d’entre eux viennent directement des oraux de concours ; sont alors notés le nom de l’école ainsi que la filière et l’année de la planche. Ils sont plus ou moins regroupés par années au sein de chaque fiche.

Les corrections sont données sans aucune garantie : tout le monde fait des erreurs, et je suis très loin de faire exception à la règle. Vu le nombre d’erreurs que je retrouve encore régulièrement... Par conséquent, toute remarque est la bienvenue : on peut m’écrire à

walter.appel@prepas.org

pour toute suggestion, rapport d’erreur etc.

J’espère que ces exercices pourront dépanner des collègues (notamment tous ceux qui se retrouvent avec une nouvelle classe et qui ont besoin rapidement de nombreux exercices). J’ai également pas mal de feuilles de TD que je suis prêt à partager avec qui veut (mais tout n’est pas encore prêt pour être mis sur le ouèbe, donc il suffit de m’écrire).

Note importante

: il va sans dire qu’il n’y a pas de droit associé à ces exercices, que tout le monde en profite sans en tirer

profit ( !), mais je tiens à préciser que beaucoup d’exercices ont été glanés çà et là chez des collègues (notamment M. Quercia,

N. François), chez mes anciens professeurs de Taupe (D. Suratteau et R. Lachaux), dans des bouquins, etc. Un bon nombre de

corrections sont dues à Éric Ricard, Marc Rezzouk et d’autres collègues. (Les erreurs en revanche ne sont dues qu’à moi.) Tout

ça reste donc bien entendu à l’usage privé des collègues et de leurs classes.

(2)

Premi`ere partie

Alg`ebre

(3)

Vocabulaire ensembliste, applications

ENS.1

Montrer que f :

N²−→N

(r, s)

7−→

2

^r

(2s + 1)

est une bijection.

♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:15] Utiliser la parit´e.

ENS.2

Soit E un ensemble quelconque. On ordonne

P(E)

par l’inclusion.

1)

Est-ce un ordre total ?

2)

Existe-t-il un plus grand élément ? Un plus petit élément ?

3)

Soient A,B

⊂

E. Trouver la borne supérieure et la borne inférieure de

A

=

{

A, B

} ⊂P(E).

♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:16]

Pas ordre total.

supA= A∪BetinfA= A∩B.

ENS.3

E est un ensemble fini. Existe-t-il une injection (resp. une surjection,

resp.

une bijection) de E dans

P(E)

? Même question si E est un ensemble infini.

Indication : Soitφune application deEdansP(E). On poseA ={x∈E ;x /∈φ(x)}. À l’aide de l’ensembleA, montrer queφne saurait être surjective.

Siφ: E→P(E), on poseA ={x∈E ;x /∈φ(x)}, il n’a clairement pas

d’ant´ec´edent.

ENS.4

E étant un ensemble, on désigne par

F

(E, E) l’ensemble des applications de E dans E. Montrer que

F

(E,E),

◦

est un monoïde (unitaire). Quels sont les éléments symétrisables ? Quels sont les éléments simplifiables à gauche (c’est-à-dire les éléments g

∈F

(E, E) vérifiant g

◦

f = g

◦

f

^′⇒

f = f

^′

pour tout f, f

^′∈F

(E, E)) ? Quels sont ceux qui sont simplifiables à droite ?

Sym´etrisables : les bijections.

Simplifiable `a gauche : les injections.

Simplifiables `a droite : les surjections.

ENS.5

Soient E, F, des ensembles, et f : E

→

F une application de E dans F. Soient A, B des parties de E.

1)

Montrer que f(B)

r

f(A)

⊂

f (B

r

A).

2)

A-t-on égalité ?

3)

Montrer que l’égalité a lieu si f est injective.

4)

En déduire que, si f est une bijection de E sur F, on a, pour tout partie A de E : f(∁

_E

A) =

∁_F

f(A).

5)

Montrer que, si M

⊂

F et N

⊂

F, f

^h−1i

(M

r

N) = f

^h−1i

(M)

r

f

^h−1i

(N).

6)

Montrer que, si N

⊂

F, on a f

^h−1i

(∁

_F

N) =

∁_E

f

^h−1i

(N).

ENS.6

Soient E et F des ensembles, f une application de E dans F. Montrer qu’il y a équivalence entre les énoncés :

(a)

f est injective ;

(b)

pour tout couple (X, Y)

∈P(E)²

, f(X

∩

Y) = f(X)

∩

f(Y).

(c)

pour tout ensemble X et pour tout couple (φ, ψ) d’applications de X dans E, on a (f

◦

φ = f

◦

ψ) =

⇒

φ = ψ.

ENS.7

Soient E et F deux ensembles, et f : E

→

F une application.

1)

Soit A

⊂

E. Montrer que, si f est injective, alors f

|A

: A

→

f(A) est bijective.

2)

Soit B

⊂

F. Montrer que, si f est injective, alors en posant A = f

⁻¹

(B), la restriction f

|^A

: A

→

B est bijective.

mardinovembre— WalterAppel  Divers/ensembleexo.tex

vocabulaire ensembliste, applications 

ENS.8

Soient E, F, G trois ensembles, f : E

→

F et g : E

→

G deux applications. On considère h: E

−→

F

×

G

x

7−→

f(x), g(x) .

1)

Montrer que si f ou g est injective, alors h est injective.

2)

On suppose f et g surjectives ; h est-elle nécessairement surjective ?

ENS.9

Soient E, F, G trois ensembles, f : E

→

F et g : F

→

G deux applications.

1)

Montrer que si g

◦

f est injective et f surjective, alors g est injective.

2)

Montrer que si g

◦

f est surjective et g injective, alors f est surjective.

1)On supposeg◦finjective etfsurjective.❏Soientx, y∈Ftels que g(x) =g(y). Il existeu, v∈Etels quex=f(u)ety=f(v), donc g◦f(u) =g◦f(v)doncu=vet doncx=y.❏Doncgest injective.

2)On supposeg◦fsurjective etginjective.❏Soity∈F. Alorsg(y)∈G, etg◦f´etant surjective, il existex∈Etel queg◦f(x) =g(y). Par injectivit´e deg,y=f(x).❏

ENS.10 (b)

Soient A et B deux ensembles.

Montrer que B

⊂

A

⇔

A

∪

B = B.

ENS.11

Soient E un ensemble et f : E

→

E une application telle que f

◦

f

◦

f = f. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.

•On supposefinjective.

❏Soitx∈E. Alorsf(x) =f◦f◦f(x); par injectivit´e, on ax=f◦f(x), doncx∈Imf.❏

Doncfest surjective.

•On supposefsurjective.

❏Soientx, y∈Etels quef(x) =f(y). Par surjectovité def, il existex^′tel quex=f(x^′). De même, il existex^′′tel quex^′=f(x^′′). On fait de même

poury. Alors

f◦f◦f(x^′′) =f◦f◦f(y^′′)

donc f(x^′′) =f(y^′′)

ce qui montre quex^′=y^′et, par suitex=y.❏ Ainsi,fest injective.

ENS.12

Soient A et B deux parties non vide d’un ensemble E. On considère l’application f :

P(E)−→P(A)×P(B)

X

7−→

(X

∩

A, X

∩

B).

1)

Montrer que f est injective si et seulement si A

∪

B = E.

2)

Montrer que f est surjective si et seulement si A

∩

B =

∅.

3)

Dans le cas où f est bijective, déterminer f

⁻¹

.

ENS.13

Soient A et B deux ensembles. On suppose qu’il existe f : A

→

B injective. Montrer qu’il existe une surjection de B sur A.

Réciproque ?

On poseC =f(A). Alorsfe: A→Cest une bijection. On choisit mainteant a∈Aet on pose

h: B−→A x7−→

(a six /∈C e

f⁻¹(x) six∈C.

Pour la réciproque, l’axiome du choix est hélàs nécessaire.

Divers/ensembleexo.tex WalterAppel— mardinovembre

(4)

 vocabulaire ensembliste, applications

ENS.14

Soit f :

R→R

une fonction. Écrire, avec des quantificateurs :

1)

lim

x→+∞

f(x) = 0 ;

2)

la négation de la phrase précédente ;

3)

f est continue ;

4)

f n’est pas continue.

ENS.15

Soit (u

n

)

_n∈N

une suite numérique. Écrire, avec des quantificateurs :

1)

lim

n→∞

u

n

= 0 ;

2)

la négation de la phrase précédente ;

3)

(u

n

)

_n∈N

converge ;

4)

(u

n

)

_n∈N

diverge.

♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:49b]

ENS.16 (Un peu de logique)

On vous présente quatre cartes imprimées sur les deux faces. On sait que chaque carte présente une lettre sur une face et un chiffre sur l’autre face. Posées sur la table, les quatre cartes présentent les symboles suivants :

A B 2 3

Par ailleurs, on vous précise que la règle d’impression des cartes est la suivante :

« Si une face présente une voyelle, alors l’autre face présente un chiffre pair ».

Quelle(s) carte(s) faut-il retourner pour vérifier la règle ?

♦[Divers/ensembleexo.tex/alg:50] Il faut retourner « A » et « 3 ».

ENS.17 (b)

Soient E, F, G et H quatre ensemble, et f : E

→

F, g : F

→

G et h : G

→

H trois applications. On suppose que g

◦

f et h

◦

g sont bijectives. Montrer que f , g et g sont bijectives.

ENS.18

Soit E un ensemble et p : E

→

E une application telle que p

◦

p = p. Montrer qu’il y a équivalence entre les énoncés :

(a)

f injective ;

(b)

f surjective ;

(c)

f bijective.

♦[Divers/ensembleexo.tex/div:67]

(a)⇒(c)Supposonspest injective.❏Soity∈E, alorsp(y) =p` p(y)´ donc, par injectivit´e,y=p(y).❏Ainsi,pest surjective, donc bijective.

(b)⇒(c)Supposonspsurjective.❏Soientx, y∈Etels quep(x) =p(y).

Alors il existeu, v ∈ Etels quex =p(u)ety =p(v), ce qui montre p²(u) =p²(v)doncp(u) =p(v)doncx=y.❏

Ainsi,pest injective, donc bijective.

ENS.19 (⋆)

Soit E un ensemble, soit A

∈P(E). On note

A

⁻

=

B

∈P(E) ; B⊂

A A

⁺

=

C

∈P(E) ; A⊂

C et A

^∗

= A

⁻×

A

⁺

. On considère l’application f :

P(E)→

A

^∗

définie par

∀

X

∈P(E)

f(X) = (X

∩

A, X

∪

A).

Vérifier que f est une bijection.

vocabulaire ensembliste, applications 

ENS.20

Soit E un ensemble. Pour toute partie A de E, on définit les applications φ

A

:

P(E)−→P(E)

X

7−→

X

∩

A

et ψ

A

:

P(E)−→P(E)

X

7−→

X

∪

A

.

Montrer qu’il y a équivalence entre les énoncés :

(a)

φ

A

injective ;

(b)

φ

A

surjective ;

(c)

A = E.

Proposer un énoncé similaire pour l’application ψ.

il y a équivalence entre les énoncés : (a)ψAinjective ;

(b)ψAsurjective ; (c)A =∅.

ENS.21 (⋆⋆)

Soient E et F deux ensembles. Soit f : E

→

F une application. On définit l’application

e

f :

P(F)−→P(E)

B

7−→

f

⁻¹

(B).

Montrer que f

e

est injective si et seulement si f surjective, et et de même, que f

e

est surjective si et seulement si f injective.

ENS.22 (b)

Remplir les tables de vérités des opérateurs logiques

xor

(disjonction « ou inclusif »),

xor

(ou exclusif),

and

(conjonction

« et »),

⇒

(« implique ») et

⇔

(si et seulement si ) :

and

V F

or

V F

xor

V F

⇒

V F

⇔

V F

and

V F

V V F

F F F

or

V F

V V V

F V F

xor

V F

V F V

F V F

⇒

V F

V V F

F V V

⇔

V F

V V F

F F V

ENS.23

Soient

P

et

Q

deux assertions. Sachant que chacun des énoncés suivants est équivalent à l’assertion

P ⇒ Q, remplacer les

pointillés par les lettres

P

et

Q

:

1)

. . . implique . . . .

2)

Pour que . . . soit vraie, il suffit que . . . soit vraie.

3)

Une condition nécessaire pour que . . . soit vraie est que . . . le soit.

4)

Une condition suffisante pour que . . . soit vraie est que . . . le soit.

1)PimpliqueQ.

2)Pour queQsoit vraie, il suffit quePsoit vraie.

3)Une condition n´ecessaire pour quePsoit vraie est queQle soit.

4)Une condition suffisante pour queQsoit vraie est quePle soit.

(5)

 vocabulaire ensembliste, applications

ENS.24

Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses ?

1)

Une condition suffisante pour qu’un nombre réel soit supérieur ou égal à 2 est qu’il soit supérieur ou égal à 3.

2)

Pour qu’un entier soit supérieur ou égal à 4, il faut qu’il soit strictement supérieur à 3.

3)

Pour qu’un nombre réel soit strictement supérieur à 2, il suffit que son carré soit strictement supérieur à 4.

4)∃

x

∈Z ∃

y

∈N

x

6−

y

²

.

5)∀

x

∈Z ∃

y

∈N

x

6−

y

²

.

6)∃

x

∈Z ∀

y

∈N

x

6−

y

²

.

7)∀

x

∈Z ∀

y

∈N

x

6−

y

²

.

1) Vrai, 2) Vrai, 3) Faux,

4) Vrai (x=y= 0), 5) Faux (x= 1), 6) Faux (y²=|x|+ 1), 7) Faux (x= 0,y= 1).

ENS.25

ENS.26 (⋆⋆)

X MP – 2003

Trouver E =

f :

N→N

; f + f

◦

f + f

◦

f

◦

f = 3 Id

N

.

♦[Rec03/ensemble-r3.tex/r3:68]

Solution de Philippe Châteaux (la mienne était plus longue et plus compli- quée...)

Soitf∈E. Cette fonction v´erifie donc, pour toutn∈N: f(n) +f`

f(n)´ +f`

f` f(n)´´

= 3n. (.)

Notons tout d’abord quefest trivialement injective.

On en d´eduit quef(0) = 0.

On poseA = ˘

n ∈N ; f(n) 6=n¯

. SupposonsA6=∅et posons a= min A. Alorsf(a)6=adonc, par injectivit´e,f(a)> a, puisf`f(a)´>aet f`f`f(a)´´>a, contradiction.

Ou bien par r´ecurrence. On supposef(k) =kpour toutk∈[[0 ;n−1]], alors par injectivit´ef(n)>npuisf`

f(n)´>netf` f`

f(n)´´>n, donc f(n) =net la r´ecurrence peut avancer.

Conclusion : E ={IdN}.

ENS.27 (b)

Centrale PC – 2003

Soient E, F, G trois ensembles et des applications

E

−−−−→^f

F

−−−−→^g

G.

1)

Montrer que si g

◦

f est injective, alors f est injective.

2)

Montrer que si g

◦

f est injective et f est surjective, alors g est injective.

3)

Montrer que si g

◦

f est surjective, alors g est surjective.

4)

Montrer que si g

◦

f est surjective et g injective, alors f est surjective.

Encore un scandale : il suffit d’´ecrire ! ! !

1) On supposeg◦finjective etfsurjective.❏Soientx, y∈Ftels que g(x) =g(y). Il existeu, v∈Etels quex=f(u)ety=f(v), donc g◦f(u) =g◦f(v)doncu=vet doncx=y.❏Doncgest injective.

2) De1)on déduit quefest bijective, l’injectivité degest immédiate.

3) On supposeg◦fsurjective etginjective.❏Soity∈F. Alorsg(y)∈G, etg◦f´etant surjective, il existex∈Etel queg◦f(x) =g(y). Par injectivit´e deg,y=f(x).❏

4) De3)on déduit quegest bijective d’où la surjectivité def.

ENS.28 (b)

Soit E un ensemble. Soient A

⊂

E et B

⊂

E deux sous-ensembles de E. On note

P(E)

l’ensemble des parties de E. Notons f :

P(E)→P(A)×P(B)

la fonction définie par

∀

X

∈

E f(X) = (X

∩

A, X

∩

B).

1)

Montrer que f est surjective si et seulement si A

∩

B =

∅.

2)

Quand f est-elle injective ?

1) T.

2) Il faut et il suffit queA∪B = E.

mardinovembre— WalterAppel Rec05/ensemble-r5.tex

(6)

D´enombrement

DEN.1 (

P C^2p_n =P

C^2p+1_n

)

Les deux questions ne sont pas indépendantes.

1)

Soit E un ensemble non vide. On choisit a

∈

E et on considère l’application φ: ℘(E)

−→

℘(E)

X

7−→

φ(X) = X +

{

a

}

où l’on a noté « + » la

différence symétrique

entre deux ensembles, définie par

X + Y

^déf.

= (X

r

Y)

∪

(Y

r

X).

Déterminer φ

◦

φ. Qu’en résulte-t-il pour φ ?

2)

Soit n

∈N^∗

. Montrer combinatoirement que

X

2q6nq∈N

C

^2q_n

=

X

2q+16nq∈N

C

^2q+1_n

.

♦[Divers/denombrementexo.tex/den:1]

Eun ensemble quelconque de cardinaln. On veut donc montrer que l’ensemble des parties de cardinal pair est de même cardinal que celui des partie de cardinal impair. Pour cela, on choisita∈A, et on définit l’application f:℘(E)→℘(E)qui à une partieP⊂associePr{a}sia∈E, etP∪ {a}si

a /∈P. C’est bien une bijection.

On en d´eduit d’ailleurs que Xn k=0

(−1)^kC^k_n= 0.

DEN.2 (Nombre d’applications croissantes)

Soient n, p deux entiers naturels. Quel est le nombre d’applications strictement croissantes de [[1, n]] dans [[1, p]] ?

On rappelle que

[[1, n]] =

{

1, . . . , n

}.

Il faut mettre(p−n)billes dans(n+ 1)trous. Or pour mettreNobjets dansg trous, il y a(N+g−1)!/N!(g−1)!solutions (voir ¸ca avec des parois par exemple :

g−1parois à mélanger avecNobjets, soit(N +g−1)!permutations mais les (g−1)parois et lesNobjets sont indiscernables). Le résultat est_(p−n)!n!^p! .

DEN.3

Les deux questions ne sont pas indépendantes.

1)

Soit n un entier naturel. Montrer que

Xn k=0

C

^k_n

3

^n−k

k = n4

ⁿ⁻¹

.

Indication : On rappelle que(a+b)ⁿ= Pn k=1

C^kna^kb^n−kpour tuta, b∈Retn∈N, et on pourra utiliser la fonction F(x) = (3 +x)ⁿ.

2)

Soit E un ensemble quelconque. On note n = Card E. Calculer S =

X

X,Y⊂E

Card(X

∩

Y) et T =

X

X,Y⊂E

Card(X

∪

Y).

On commence par exprimer la première somme. Somme surkde : nombre d’ensemblesAde cardinalk, foisk, fois nombre d’ensemblesXetYtels que X∩Y = A, ce dernier nombre étant choisi en choisissant d’abord les éléments deErAqui sont dansX∪Y, il y en anavecp= 0, . . . , n−k, soitC^p_n−k choix, et pour chaque élément, on a le choix : il appartient àXouY, soit2^p. On a donc

S = Xn k=1

C^kn×k× 0

@^n−kX p=0

C^p_n−k2^p 1 A=

Xn k=1

C^kn3^n−kk=n4ⁿ⁻¹.

(On utiliseF(x) = (x+ 3)ⁿ,F^′(x) =n(x+ 3)ⁿ⁻¹,F^′(1) = S.) On peut aussi noter que, pour toutX,Y∈℘(E), on a

Card(X∩Y) + Card(X∩∁EY) + Card(∁EX∩Y) + Card(∁EX∩∁EY) =n, ce qui montre que4S =n2²ⁿ.

D’autre part, on remarquera queX∪Y =∁E`∁EX∩∁EY´

, ce qui montre queS + T =n2²ⁿ, donc on aT = 3S = 3n4ⁿ⁻¹.

DEN.4 (

PCard X)

Soit E un ensemble fini de cardinal n. Calculer

X

X∈P(E)

Card X.



dénombrement 

♦[Divers/denombrementexo.tex/den:4] ´Egal `aPn

k=0kC^kn.

DEN.5

Démontrer que, si p, n

∈N

avec 1

6

p

6

n, on a

Xp k=0

C

^k_n

C

^p−k_n−k

= 2

^p

C

^p_n

.

C^k_nC^p−k_n−kest le nombre de parties de cardinalkdans un ensemble de cardinaln, multipli´e par le nombre de parties de cardinalp−kdans le reste de l’ensemble (de cardinalp−k.) C’est donc le nombre de parties de cardinalp

dans un ensemble de cardinaln, sauf que chaque ´el´ement de l’ensemble peut faire partie deAou deB, donc on a2^pchoix possibles.

On fait une injection, et on utilise le lemme des bergers.

DEN.6

Les deux questions ne sont pas indépendantes.

1)

Montrer que, pour tout n, p

∈N

tels que 1

6

p

6

n, on a

Xp k=0

C

^k_n+k

= C

^p_n+p+1

= C

ⁿ⁺¹_n+p+1

.

2)

Soient n

∈N

et p

∈N^∗

. On pose

E

n,p déf.

=

(x

1

, . . . , x

p

) ; x

1

, . . . , x

p∈N,

x

1

+

· · ·

+ x

p

= n et α

n,p

= Card E

n,p

. Calculer α

n,p

.

On calcule pour les petites valeurs den, et on fait une r´ecurrence montrant

queαv´erifie les bonnes relations, etαn,p^déf.= C^p−1_n+p+1= Cⁿ_n+p−1.

DEN.7 (A

∩B =∅)

Soit E un ensemble de cardinal n. Calculer le nombre de couples (A, B)

∈P(E)²

tels que A

∩

B =

∅.

Même question avec A

∩

B = un singleton.

Même question avec A

⊂

B.

3ⁿ.

n3ⁿ⁻¹.

3ⁿaussi, et c’est normal. ´Etablir un bijection.

DEN.8 (Diagonales d’un polygˆ one)

On considère un polygône (convexe) à n sommets. Combien a-t-il de diagonales ? En combien de points (intérieurs ou extérieurs au polygône) ces diagonales se coupent-elles ?

Il y an(n−3)/2diagonales. Si on ne compte pas les sommets, elles se coupent en

1 2

n(n−3) 2

„n(n−3)

2 −2(n−4)−1

«

=n(n−3)(n²−7n−14)

8 .

C’est fou !

DEN.9 (Surjections)

Combien y a-t-il de surjections de [[1, n + 1]] dans [[1, n]]?

Pour qu’un applicationf: [[1, n+ 1]]→[[1, n]]soit surjective, il faut qu’un et un seul élément de[[1, n]]ait deux antécédants, et que tous les autres n’en aient

qu’un seul. Il y a donc

C²_n+1×n×(n−1)! =n(n+ 1)!

2 possibilit´es.

DEN.10 (Permutations de

[[1,12]])

Combien y a-t-il de bijections f de

{

1, . . . , 12

}

dans lui même possédant :

1)

la propriété : n est pair

⇒

f(n) est pair ?

2)

la propriété : n est divisible par 3

⇒

f(n) est divisible par 3 ?

3)

ces deux propriétés à la fois ?

4)

Reprendre les questions précédentes en remplaçant

bijection

par

application.

(7)

 dénombrement

A gauche les r´esultats pour les` bijections, `a droites our lesapplications.

1) (6!)² 6⁶×12⁶.

2) 4!×8! 4⁴×12⁸.

3) 2!2!4!4! 2²×4²×6⁴×12⁴.

DEN.11 (Permutations de couples)

On doit placer autour d’une table ronde un groupe de 2n personnes, n hommes et n femmes, qui constituent n couples.

Combien existe-t-il de dispositions...

1)

au total ?

2)

en respectant l’alternance des sexes ?

3)

sans séparer les couples ?

4)

en remplissant les deux conditions précédentes ?

♦[Divers/denombrementexo.tex/den:11] 1) (2n)!.

2) 2(n!)².

3) 2ⁿ⁺¹×n!.

4) 4×n!.

DEN.12

X MP – 2003

Soit (E,

·

) un ensemble muni d’une loi de composition interne non associative. Soit (a

1

, . . . , a

n

)

∈

E

ⁿ

. Quel est le nombre de parenthésages possibles du produit a

1

a

2· · ·

a

n

?

♦[Rec03/denombrement-r3.tex/r3:191]

mardinovembre— WalterAppel Rec05/denombrement-r5.tex

(8)

Arithm´etique dans Z Z Z

ARI.1 (⋆⋆)

Montrer que 1 +

¹₂

+

· · ·

+

¹_p∈

/

N

pour tout p

∈N,

p

>

2.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:1]

On poseHnla propri´et´e : «xnest de la forme pn

2qnavecpnimpair ».

On montre alorsHn⇒H2n ⇒H2n+1et on vérifie que ce schéma est suffisant pour conclure à la validité deHà tout rang.

ARI.2

Soient a, b

∈Z

et n

∈N^∗

. Montrer que

pgcd(a

ⁿ

, b

ⁿ

) =

pgcd(a, b)

n

ppcm(a

ⁿ

, b

ⁿ

) =

ppcm(a, b)

n

.

ARI.3 (⋆)

Pour tout n

∈N^∗

, on définit les entiers a

n

et b

n

par (1 +

√

2)

ⁿ

= a

n

+ b

n

√

2.

1)

Déterminer a

n

et b

n

pour n = 1, 2, 3.

2)

Montrer que pgcd(a

n

, b

n

) = 1 pour tout n

∈N^∗

.

Indication : On pourra par exemple considérer(1−√2)ⁿ.

On a(1−√

2)ⁿ=an−bn√

2, donca²_n−2b²_n= (1 +√ 2)ⁿ(1−√

2)ⁿ=

(−1)ⁿ, et on applique le théorème de Bézout.

ARI.4

Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme p = 4n + 3 avec n

∈N^∗

.

Tout d’abord,Qest non vide (7∈Q).

Reduction ad absurdum.❏On suppose que cet ensembleQest fini. Alors Q ={a1, . . . , an}. On poseS = 4q1. . . qn−1. On a alorsqi≡3 [4], or

S≡3 [4]donc, commeS∈/Q,Sest non premier. OrSimpair, etSest premier avec tous lesqi, donc tous les diviseurs deSsont≡1 [4]. DoncS≡1 [4]: contradiction.❏

ARI.5 (⋆⋆)

On pose F

n

= 2

²ⁿ

+ 1 pour tout n

∈N.

1)

Soit n

∈N. Montrer que : pour que

(2

ⁿ

+ 1) soit premier, il est nécessaire qu’il existe k

∈N

tel que n = 2

^k

.

2)

Si m et n sont des entiers naturels, et si m

6

= n, montrer que pgcd(F

m

, F

n

) = 1.

Indication : On pourra étudier(Fm−2)/Fn.

On supposen= 2^k·bavecbimpair. Sib6= 1, alors

2²^k^·b+ 1 = 2²^k^·b−(−1)^b=“ 2²^k^···b+ 1”

(· · ·) :non premier.

On supposem > n. Alors2^m= 2ⁿ(2^m−n). Donc

2²^m+ 1 = (2²ⁿ)²^m−n−(−1)²^m−n+ 2 = (2²ⁿ+ 1)K + 2, c’est-`a-dire que(Fm−2)/Fn = K. Posonsd= pgcd(Fm,Fn)etc= ppcm(Fm,Fn). Alorsdc−2 =dKBdoncddivise 2, ord6= 2doncd= 1.

ARI.6

Tout carré impair est congru à 1 modulo 8.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:7] (2n+ 1)²= 4n(n+ 1)

| {z } pair

+1.

ARI.7 (⋆)

Soit p

∈N,

p

>

2. Soit (n, k)

∈N²

. Montrer que, si k divise p

²−

p alors il divise également p

ⁿ−

p.



arithmétique dansZ 

Petite r´ecurrence utilisantpⁿ⁺¹−p= (pⁿ−p)p+ (p²−p).

Ou bien remarquer quepⁿ−p=p(pⁿ⁻¹−1) =p(p−1)(pⁿ⁻²+· · ·+p+1).

ARI.8

Montrer que, pour tout a, b

∈Z, on a

pgcd(a

²

+ b

²

, ab) = pgcd(a, b)

2

.

Posonsd= pgcd(a, b). Il existeA,B∈Z^∗tels quea=dAetb=dB, avecAetBpremiers entre eux. Soitpun facteur premier commun `aABet

`aA²+ B². AlorspdiviseAouB, disons par exempleA. Dans ce cas, il di- viseA²et doncB²= B²+ A²−A², donc il diviseB. Doncp= 1. Donc pgcd(A²+ B²,AB) = 1doncpgcd(a²+b², ab) =d².

ARI.9 (b)

Soit n

∈N,

n

>

3. Montrer que [[n! + 2, . . . , n! + n]] ne contient aucun nombre premier.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:10] En effet,kdivisen! +kpour toutk∈[[2, n]].

ARI.10 (⋆)

Notons pour tout n

∈N,

n

>

2, π(n) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Montrer que, pour n

>

14, on a π(n)

6

n

2

−

1.

Une r´ecurrence imm´ediate permet de montrer queπ(2m) 6m−1et

π(2m+ 1)6m−1, r´ecurrence que l’on commence pourm= 7en utili- sant queπ(2n−1) =π(2n)pour toutn>2.

ARI.11 (⋆)

Montrer que, si n

>

3, au moins l’un des nombres 2

ⁿ−

1 et 2

ⁿ

+ 1 est composé.

En effet,(2ⁿ−1)(2ⁿ+ 1) = 4ⁿ−1est divisible par3. De plus chacun des

nombres est plus grand que3.

ARI.12

Soit p un nombre premier, p

>

2.

1)

Montrer que, si 8p

−

1 est premier, alors 8p + 1 est composé.

2)

Montrer que, si 8p

²

+ 1 est premier, alors 8p

²−

1 est premier.

1)(8p−1)(8p+ 1) = 64p²−1≡p²−1 = (p+ 1)(p−1)≡0 [3]

sip6= 3, puisque si l’on prend deux impairs successifs, l’un est divisible

par3.

2)8p²+1≡0 [3]sip6= 3. Donc la premi`ere phrase ne saurait ˆetre vraie...

(c’est tir´e par les cheveux...)

ARI.13 (⋆)

Montrer que 6

|

5n

³

+ n pour tout n

∈N.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:14] Une simple r´ecurrence en notant que

5(n+ 1)³+ (n+ 1) = 5n³+n+ 15n(n+ 1)

| {z } pair

+6.

ARI.14 (⋆)

Montrer que, pour tout n

∈N^∗

, 8

|

5

ⁿ

+ 2

·

3

ⁿ⁻¹

+ 1.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:15] R´ecurrence avec

un+1= 5un−4(3ⁿ⁻¹+ 1

| {z } pair sin>2 ).

ARI.15

Notons τ(n) le nombre de diviseurs positifs de l’entier n. Montrer que

Xn

k=1

τ(k) =

Xn k=1

E n k

.

On peut ´ecrire Xn

k=1 τ(k) =

Xn

k=1 X d|k

1 = Xn

d=1 X 16k6n

d|k 1 =

Xn

d=1 E“n

d

” ,

puisqueP 16k6n

d|k

1et le nombre de multiples dedcontenus dans[[1, n]], au nombre deE“n

d

” .

(9)

 arithmétique dansZ

ARI.16 (Congruences simultan´ees & pirates) (⋆⋆)

Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de N pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces.

Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment ; le cuisinier reçoit alors 4 pièces.

Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces.

Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates ?

785 pi`eces d’or.

Il faut ´ecrireN = 17k1+ 3 = 11k2+ 4 = 6k3+ 5. Par diff´erences, on obtient

des relations de type « B´ezout ».

On a alors quek1etk2sont premiers entre eux. De mˆemek2etk3. (k1= 46,k2= 71etk3= 130...)

ARI.17

Notons x

1

= 2002

²⁰⁰²

, x

n+1

= p(x

n

) où « p » désigne l’opération « somme des chiffres (dans l’écriture décimale) ». Calculer x

5

.

On montre quex5≡4 [9]puis, par une s´erie de majorations logarithmiques,

quex5610, doncx5= 4.

ARI.18

Notons x

1

= 2003

²⁰⁰³

, x

n+1

= p(x

n

) où « p » désigne l’opération « somme des chiffres (dans l’écriture décimale) ». Calculer x

5

.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:18bis]

2003 ≡5 [9]donc2003²⁰⁰³ ≡5²⁰⁰³. Or5⁶ ≡ 1 [9], et2003 =

1998 + 5≡5 [6]donc2003²⁰⁰³ ≡5⁵≡2 [9]. Puis, par une s´erie de majorations logarithmiques, quex5610, doncx5= 2.

ARI.19

Notons x

1

= 2004

²⁰⁰⁴

, x

n+1

= p(x

n

) où « p » désigne l’opération « somme des chiffres (dans l’écriture décimale) ». Calculer x

5

.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:18ter]

2004≡6 [9]donc2004²⁰⁰⁴≡6²⁰⁰⁴. Or6²≡0 [9], et2004≡0 [2]

donc2004²⁰⁰⁴≡0 [9]. Puis, par une s´erie de majorations logarithmiques, que

x5<18, doncx5= 0oux5= 9. La solution0n’est pas envisageable, donc x5= 9.

ARI.20

Notons x

1

= 2005

²⁰⁰⁵

, x

n+1

= p(x

n

) où « p » désigne l’opération « somme des chiffres (dans l’écriture décimale) ». Calculer x

5

.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:18quat]

2005≡7 [9]donc2005²⁰⁰⁵≡7²⁰⁰⁵ [9]. Or7³≡1 [9], et2005 =

2004 + 1≡1 [6]donc2005²⁰⁰⁵≡7¹≡7 [9]. Puis, par une s´erie de majorations logarithmiques, quex5610, doncx5= 7.

ARI.21

Notons x

1

= 2006

²⁰⁰⁶

, x

n+1

= p(x

n

) où « p » désigne l’opération « somme des chiffres (dans l’écriture décimale) ». Calculer x

5

.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:18quint]

2006≡ −1 [9]donc2005²⁰⁰⁵≡(−1)²⁰⁰⁵ [9]≡8 [9]. Puis, par une

s´erie de majorations logarithmiques, quex5610, doncx5= 8.

ARI.22 (Amusant) (⋆⋆)

Soit N un entier strictement positif. Calculer

r→∞

lim lim

H→∞

lim

m→∞

XH i=0

1

−

cos

^2m

(i!)

^r

π N

.

Indication : Montrer que la limite cherchée est le plus grand facteur premier deN.

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/div:2bis]

On décomposeN =p^α₁¹· · ·p^αnⁿoù(p1, . . . , pn)∈Pⁿ. La somme est finie et s’arrête àpnpuisque sii > pn,(i!)^r/N∈N.

Pouri∈[[0 ;pn−1]],(i!)^r/Nn’est pas un entier, et ce quelle que soit la valeur der, donc le cosinus tend vers0quandmtend vers l’infini et la limite cherch´ee est donc simplementpn, le plus grand facteur premier.

ARI.23

Si l’on travaille en base 8, donner un critère simple de divisibilité par 7.

mardinovembre— WalterAppel Divers/arithmetiqueexo.tex

arithmétique dansZ 

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/ari:19] La somme des chiffres est un multiple de7, et l’on peut it´erer.

ARI.24 (Carr´es dans

^Z^Z^Z/_pZ_Z_Z

)

Soit p un nombre premier, p

>

3. Montrer que k est un carré dans

^Z

/

_pZ

si et seulement si k

^(p+1)/2≡

k [p].

ARI.25 (Puissances de

7)

Quel est le dernier chiffre de 7

⁷⁷⁷

777

?

♦[Divers/arithmetiqueexo.tex/div:38]

On v´erifie7⁴≡4 [1]0,T²≡1 [4],7⁷⁷⁷

7

impair donc7⁷⁷⁷

7

≡3 [4]et

n≡7³≡3 [1]0.

ARI.26

On suppose que a

^r−

1 est un nombre premier. Montrer que r est premier et que a vaut 2. Réciproque ?

On supposea, rentiers et>2.

a−1divisea^r−1, qui est premier, donca= 2. Si l’on supposer=pq, alors

2^p−1divise2^r−1: contradiction. Doncrest premier.

La r´eciproque est bien sˆur fausse :2¹¹−1 = 2047 = 23·89.

ARI.27

Démontrer que, pour tout entier n

∈N,

10

³ⁿ−

1

≡

0 [3

ⁿ⁺²

].

(Arnaudies).

Essayons une r´ecurrence : la relation n’a rien d’extraordinaire pourn= 0, elle dit que9est divisible par9. Supposons qu’elle soit vraie pour un rangn, et utilisons nos connaissances sur les identit´es remarquables du styleX³−1 = (X−1)(X²+ X + 1):

10³ⁿ⁺¹−1 = (10³ⁿ)³−1 = (10³ⁿ−1)(10^2.3ⁿ+ 10³ⁿ+ 1).

Le premier facteur est par hypothèse divisible par3ⁿ⁺², et puisque10 ≡ 1 [(]3), le deuxième facteur est divisible par3. Donc10³ⁿ⁺¹−1est divisible par3ⁿ⁺³, ce qu’il fallait démontrer.

ARI.28 (Divisibilit´e par

7)

Démontrer le critère suivants de disibilité par 7 (tiré de

Topics in number theory

de Paul Erdös) :

on considère le nombre n écrit en base 10 sous la forme a

1

a

2

. . . a

q

. On retire le chiffre a

q

des unités, que l’on retranche au nombre a

1

a

2

. . . a

_q−1

ainsi raboté : on obtient n

^′

= a

1

. . . a

_q−1−

2a

q

. Alors n est divisible par 7 si et seulement si n l’est.

Vérifier ainsi rapidement que 691068 est divisible par 7.

ARI.29

ARI.30

TPE MP – 2001

Démontrer qu’il existe un nombre infini de nombres premiers congrus à

−

1 modulo 4.

♦[Rec01/arithmetique-r1.tex/ari-r:1]

ARI.31

TPE MP – 2001

Résoudre x

²−

3x + k = 0 dans

^Z

/

_17Z

, où k

∈^Z

/

_17Z

.

On peut par exemple bourriner : k= 0 x= 0, x= 3

k= 1 ∅

k= 2 x= 2, x= 1

k= 3 ∅

k= 4 ∅

k= 5 ∅

k= 6 x= 7, x= 13 k= 7 x= 5, x= 15

k= 8 ∅

k= 9 ∅

k= 10 ∅

k= 11 x= 8, x= 12

k= 12 ∅

k= 13 x= 4, x= 16 k= 14 x= 9, x= 11 k= 15 x= 10 k= 16 x= 6, x= 14

ARI.32

CCP MP – 2001

Résoudre dans

Z

l’équation : y

²

= x(x + 1)(x + 2)(x + 8).

Rec01/arithmetique-r1.tex WalterAppel— mardinovembre

(10)

 arithmétique dansZ

ARI.33

TPE MP – 2002

Résoudre, dans (Z/36Z)

²

le système

(

5x

−

y = 11 3x + 5y = 1

♦[Rec02/arithmetique-r2.tex/ari-r2:1]

On multiplie la premi`ere ´equation par 7 (qui est inversible dansZ/36Z) pour

obtenir−x−7y= 5, puis un pivot classique donnex= 2ety=−1.

ARI.34

CCP PC – 2002

Montrer qu’il n’existe pas de couple (x, y)

∈N^∗2

tel que y

²

= x(x + 1)(x + 2).

♦[Rec02/arithmetique-r2.tex/ari-r2:2]

Supposons quex≥1soit une solution.

En raisonnant de mˆeme avec les facteurs dex/p², on aboutit `ax=t². On

a(y/t)²= (x+ 1)(x+ 2), ce qui impossible puisque(x+ 1)(x+ 2)ne peut ˆetre le carr´e (par encadrement) que dex+ 1oux+ 2.

– Six+ 1est impair, alors de même c’est un carréx+ 1 = t². On a(y/t)² = x(x+ 2), donc par encadrement la seule possibilité est x(x+ 2) = (x+ 1)²ce qui n’est pas possible.

Il n’y a pas de solution.

ARI.35 (⋆⋆⋆)

X MP – 2003

Soit abcdef

¹⁰

un nombre écrit en base 10, divisible par 13. Montrer que bcdef a

¹⁰

est aussi divisible par 13.

♦[Rec03/arithmetique-r3.tex/r3:193]

PosonsN =abcdefetN^′=bcdef a. On

N^′= 10(N−10⁽·a) +a= 10 N−a(10⁶−1).

Il ne reste donc qu’`a prouver que13divise10⁶−1. Or 10⁶−1 = 999·1001 = 999·(7·11·13).

On peut ´egalement le prouver en calculant modulo13: 10⁶≡(−3)⁶≡(9)³≡(−4)³=−64 = 1 [1]3.

ARI.36 (⋆⋆)

X MP – 2003

Soit p un nombre premier. Soit f :

Z

/

_pZ→^Z

/

_pZ

.

1)

Montrer qu’il existe P

∈^Z

/

_pZ

[X] coïncidant avec f sur

^Z

/

_pZ

.

2)

Est-ce toujours le cas dans

^Z

/

_pⁿ_Z

où n

>

2 ?

1) Du fait que l’on travaille dans un corps, on peut utiliser les polynˆomes interpolateurs de Lagrange.

2) Non. PrendreA =Z/4Z. On chercheP =PαiXⁱtel queP(0) = P(1) = P(3) = 0etP(2) = 1.

La conditionP(0) = 0donneα0= 0. Par ailleurs, P(2) =α0

|{z}

=0

+α1×2 +α2×4 +α2×8 +. . .

| {z }

=0dansZ/4Z

et l’´equation2α1= 1n’admet pas de solution car2n’est pas inversible.

ARI.37

Mines MP – 2003

1)

Résoudre dans

N

l’équation x

^y

= y

^x

.

2)

Y a-t-il d’autres solutions dans

Q⁺

? Peut-on les localiser ?

ARI.38

Centrale MP – 2003

On cherche le reste de la division euclidienne de (n

−

1)! par n. Notons

P

l’ensemble des nombres premiers.

1)

On suppose n

∈P.

a)

Résoudre les cas n = 1, 2 et 3.

b)

Déterminer l’ensemble Ω =

n

p

∈ ^Z

/

_nZr{

0

}

; p

6

= p

⁻¹o

.

c)

Calculer 2

·

3

· · ·

(n

−

3)

·

(n

−

2).

d)

Conclure.

2)

On suppose que n /

∈P.

a)

Résoudre le cas où n = ab, avec a et b distincts supérieurs ou égaux à 2.

b)

Résoudre le cas n = p

²

avec p /

∈P.

c)

Résoudre le cas n = p

²

avec p

∈P.

d)

Résoudre dans le cas n = 4.

3)

Récapituler les résultats obtenus.

arithmétique dansZ 

ARI.39

Soit n

∈N,

n

>

3. Soit d un diviseur de n. Montrer qu’il existe un unique sous-groupe d’ordre d dans

^Z

/

_nZ

. En déduire que n =

X

d|n

φ(d), où φ est la fonction indicatrice d’Euler.

ARI.40

Centale MP – 2003

Quel est le dernier chiffre de 7

⁷⁷

?

On v´erifie que7⁴ ≡1 [10]. Il suffit donc de trouver7⁷ [4]. OrT ≡ −1 [4]donc7⁷≡ −1≡3 [4]donc7⁷⁷≡7³≡3 [10].

ARI.41

TPE MP – 2003

Dans

^Z

/

_nZ

, on considère l’équation

x

²

= x. (E)

1)

Résoudre (E) si n est premier.

2)

On considère x solution de (E). On pose α = n

∧

x et β = n

∧

(x

−

1). Montrer que αβ = n.

3)

Réciproque ?

ARI.42 (24

|p²−1)

(⋆)

Mines MP – 2004

Montrer que, pour tout p premier tel que p

>

5, le nombre p

²−

1 est divisible par 24.

p²−1 = (p+ 1)(p−1). De plus,p´etant impair,(p+ 1)et(p−1)sont pairs donc ils sont tous les deux divisibles par2, et l’un d’entre eux est mˆeme divisible par4, doncp²−1est divisible par8.

De plus, l’un trois nombresp−1,petp+ 1est divisible par3, mais ce n’est pasppar hypoth`ese, doncp²−1est divisible par3.

Au total,p²−1est divisible par3·8 = 24.

ARI.43 (⋆⋆⋆)

Mines MP – 2004

1)

Soit n un entier ; soit a un entier premier avec n. Montrer que a

^ϕ(n)≡

1 [n].

En déduire que, pour tout entier p premier et pour tout k

∈N,

k

^p≡

k [p].

2)

Soit p un entier premier et soit k < p un entier. Montrer que k divise

_k^p

.

3)

Soit n

>

2 tel que, pour tout a < n, a

ⁿ⁻¹≡

1 [n] et, pour tout diviseur d de n

−

1, a

^d6≡

1 [n]. Montrer que n est premier.

ARI.44 (⋆⋆)

Mines MP – 2004

On note n = 1222

· · ·

221 avec 2005 chiffres « 2 » entre les « 1 ». Quelle est la plus grande puissance de 11 qui divise n ?

ARI.45 (⋆)

Déterminer le dernier chiffre en base 10 de 7

⁽⁷⁷⁾

.

ARI.46 (Valuation de

p

dans

n!) Centrale MP – 2004

1)

On note v

p

(n!) la

valuation de

p

dans

n!, c’est-à-dire l’exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de n!.

Montrer que v

p

(n!) =

P

k>1

E n

p

^k

.

Application : déterminer le nombre de zéros finaux dans l’écriture décimale de 2004 !.

2)

Soit p un entier premier. Montrer que, pour tout k

∈

[[1 ; p

−

1]], p divise C

^k_p

.

3)

Soit p un entier premier, p

>

3. Montrer que, pour tout r

>

1,

(1 + p)

^p^r≡

1 + p

^r+1

[p

^r+2

].

(11)

 arithmétique dansZ

ARI.47 (⋆⋆)

TPE MP – 2004

Résoudre l’équation x

²

+ 2x

−

3 = 0 dans

^Z

/

_7Z

et

^Z

/

_21Z

.

mardinovembre— WalterAppel Rec05/arithmetique-r5.tex

(12)

Algèbre générale

Manipulations alg´ebriques

ALG.1 (Existence d’un idempotent) (⋆⋆⋆)

Soit E un ensemble fini muni d’une loi de composition interne associative. Montrer qu’il existe s

∈

E tel que s

²

= s.

♦[Divers/algebreexo.tex/alg:34]

Choisissonsa∈Equelconque. Posons, pour toutn∈N,un^déf.=a²ⁿ. Puisque Eest fini, cette suite ne saurait être injective : il existe donc deux élementsunet un+pégaux. Posonsb=a²ⁿ. Alorsb²^p=b. Sip= 1on a réôndu à la ques-

tion. Sip >1, on remarque que six^m=xalorsx^m−1est idempotent puisque (x^m−1)²=x^2m−2=x^m·x^m−2=x·x^m−2=x^m−1. Alorss= 2²^p⁻¹ convient.

ALG.2

X PC – 2001

Simplifier

n−1Y

k=0

sin

x + kπ n

.

♦[Rec01/algebre-r1.tex/alg-r:3]

On se reporte `a l’exercicePOL.17page 40.

On cherche `a r´esoudre formellement

(X+1)ⁿ= e^2inα donc (X+1) = e^2iαe^2iπk/n avec k∈[[0 ;n−1]].

Les racines sont donc

λi= e^2i(α+kπ/n)−1 = 2ie^i(α+kπ/n)sin

„ α+kπ

n

« . Le produit des racines est donc

n−1Y

k=0 λi=

n−1Y

k=0

2e^i(α+^kπⁿ⁺^π²⁾sin

„ α+kπ

n

«

(−1)ⁿ` 1−2e^inα´

= 2ⁿe^inαeⁱ^n(n−1)π²ⁿ e^iπ/2 n−1Y

k=0 sin

„ α+kπ

n

«

(−1)ⁿ⁻¹2ie^inαsin(nα) = 2ⁿe^inα(−1)ⁿ(−i) n−1Y

k=0 sin

„ α+kπ

n

«

d’o`u la formule n−1Y

k=0 sin

„ α+kπ

n

«

=sinnα 2ⁿ⁻¹.

ALG.3

Mines MP – 2001

Calculer

n−1Y

k=1

1

−

e

^2ikπ/n−1

.

♦[Rec01/algebre-r1.tex/alg-r:2] Cf.POL.74page 50.

ALG.4 (⋆)

CCP PC – 2001

Calcul de

Xn k=0

(k + 1) C

^k_n

et de

Xn k=0

(

−

1)

^k

(k + 1) C

^k_n

.

PosonsA(x) = Pn k=0

C^k_nx^k+1=x(1+x)ⁿ, alorsA^′(x) = Pn k=0

(k+1)C^k_nx^k=

(1 +x)ⁿ+nx(1 +x)ⁿ⁻¹= (1 +x)ⁿ⁻¹ˆ 1 + (n+ 1)x˜

et le premier truc vaut A^′(1) = (n+ 2)2ⁿ⁻¹.

Pareil pour l’autre.

ALG.5

TPE MP – 2001

On pose, pour tout n, p

∈N

: S

n,p

=

Xn k=0

C

^k_n

(

−

1)

^k

k

^p

.

1)

Calculer S

n,0

et S

n,1

.

2)

Calculer S

n,p

pour p

∈

[[0 ; n]]. On pourra introduire t

7→

(1

−

e

^t

)

ⁿ

.

Sn,0= Xn

k=0

C^kn(−1)^k= (1−1)ⁿ= 0, etSn,1= Xn

k=0

C^kn(−1)^kk= 0pour n>2.

Sn,p= 0sin > p, etSn,n= (−1)ⁿn!.

ALG.6

X MP – 2003

Calculer 1

·

2

·

3 + 2

·

3

·

4 +

· · ·

+ 998

·

999

·

1000.

Plus généralement, proposer une méthode de calcul (rapide) de

P^N

n=1

n(n + 1)

· · ·

(n + k).



algèbre générale 

♦[Rec03/algebre-r3.tex/r3:27]

On peut passer par des séries entières, et vérifier en dérivant trois fois que D³

„1−x^N+1 1−x

«

= N−2X

k=1

k·(k+ 1)·(k+ 2).

Il ne reste qu’`a ´evaluer enx= 1.

ALG.7

X MP – 2003

Soient x

1

, . . . , x

n

deux à deux distincts, et y

1

, . . . , y

n

deux à deux distincts, tels que

Qn

i=1

(x

i−

y

j

) ne dépende pas de j.

Montrer que

Qn j=1

(x

i−

y

j

) ne dépend pas de i.

ALG.8 (⋆⋆)

CCP PC – 2003

Simplifier S

n

=

Pⁿ

k=0 n k

cos(kθ).

Sn=Re

„_n P k=0

`n k

´e^ikθ

«

=Re` (1 + e^iθ)ⁿ´

. On fait apparaˆıtre l’angle moi-

ti´e, et l’on obtient donc Sn= 2ⁿcos

„nθ 2

«

·cosⁿ

„θ 2

« .

ALG.9

Navale PC – 2003

Notons z

1

, . . . , z

_n−1

les racines n-ièmes de l’unité (excluant 1). Calculer

S =

n−1Q

i=1

(z

−

z

i

)

n−1Q

i=1

(z + z

i

) .

ALG.10 (⋆)

On note S =

{

z

∈C

; z

⁹

= 1

}.

1)

Montrer que

X

z∈S

z

⁵

z

⁴

+ a =

−

9a

⁷

(1 + a

⁹

) .

2)

Étudier

X

z∈S

z

^p

(z

⁴

+ a) pour tout p

∈

[[0 ; 9]].

Groupes

ALG.11 (Cycles de

S_n

)

Montrer que si c et c

^′

sont des n-cycles de

Sn

qui commutent entre eux, alors il existe un entier r tel que c

^′

= c

^r

.

♦[Divers/groupesexo.tex/alg:40]

´Ecrivonsc=`

1c(1). . . cⁿ⁻¹(1)´ etc^′=`

1c^′(1). . . c^′n−1(1)´ . L’ensemble{1, . . . , n}étant égal à l’ensemble˘

1, c(1), . . . , cⁿ⁻¹(1)¯ , il existe un entierrtel quec^′(1) =c^r(1)(et06r6n−1).

De mˆeme, choisissonsp∈[[1, n]], alors il existe un entierqtel quep=c^q(1);

montrons maintenant quec^′(p) =c^r(p):

c^′(p) =c^′c^s(1) =c^sc^′(1) =c^sc^r(1) =c^rc^s(1) =c^r(i), ce qui ach`eve la d´emonstration.