8 COMPOSÉE DE FONCTIONS
8 Composée de fonctions
Définition 1 (Ensemble image).
Soit f une fonction définie sur Df. Soit I ⊆Df. On note f(I) l’ensemble image de I par f défini par : f(I) = {y ∈R|∃x∈I, f(x) =y}
Exemple 2.
Si on considère f(x) =x2, alors : . f(R) = R+
. f([1,4[) = [1,16[
. f(]−2,3]) = [0,9]
Définition 3 (Fonction composée).
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg telles que f(Df)⊆Dg. On appelle fonction composée de f par g la fonction notée g◦f définie par :
∀x∈Df, g◦f(x) = g(f(x)) On lit "g rond f".
Exemple 4.
Si f(x) = 2x+ 1 et g(x) =x2 alors :
. g◦f =g(f(x)) = g(2x+ 1) = (2x+ 1)2 . f ◦g =f(g(x)) = f x2
= 2x2+ 1
Remarque.
. En général, g◦f 6=f◦g
. La composée de fonction est associative, c’est à dire :
f◦g◦h=f ◦(g◦h) = (f◦g)◦h
Proposition 5.
Soient f et g deux fonctions dérivables. On a :
(f◦g)0(x) = g0(x)×f0◦g(x)
Exemple 6.
Soit u une fonction.
. (cos(u(x))0 =u0(x)×(−sin(u(x)) . (eu(x))0 =u0(x)×eu(x)
IUT de Cachan GEII2 1
