Fonctions

I.

Définition.

d est une partie de l’ensemble des réels.

Définir une fonction sur d, c’est associer à chaque réel x de d, un réel et un seul, appelé l’image de x. d est appelé l’ensemble (ou domaine) de définition de la fonction.

Notations :

• Une fonction est généralement désignée par l’une des lettres f, g, h …

• L’image d’un réel x de d par la fonction f est notée f(x). f(x) est un nombre réel.

• Au lieu d’écrire "f est la fonction, allant de d dans , qui à x associe f(x)", on peut écrire : f : d  ℝ

x  f(x)

Exemple : f est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x )=x – 2

√

L’ensemble de définition de cette fonction est [0 ; +∞[ et pour calculer l’image d’un nombre de cet ensemble, on procède ainsi :

• image de 0 par f : f(0) = 0 – 2 ×

√

(

)

√

(

)

√

(

)

√

Le choix de l'ensemble de définition dépend aussi du contexte :

Exercice : On dispose d'un carré de métal de 20 cm de côté. Pour fabriquer une boîte

parallélépipédique, on enlève à chaque coin un carré de côté a et on relève les bords par pliage.

L'ensemble de définition de la fonction V qui à a associe le volume V(a) de la boîte est [0;10].

II.

Courbe représentative d'une fonction.

f est une fonction définie sur un ensemble d.

Dans un repère, la courbe représentative c de la fonction f, est l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) telles que :

x ∈ d et y = f(x) .

On dit que la courbe c a pour équation y = f(x) dans ce repère. Remarque : Dire qu’un point M de coordonnées (a ; b) appartient à c revient à dire que : a est dans d et f(a) = b.

b est un antécédent de a par f .

1/3 -20

a

d c

2. Lectures graphiques. a) Recherche d’image s :

f est une fonction définie sur d, c est la représentation graphique de f, a est un élément de d. Si A est le point de c d’abscisse a, alors f(a) est l’ordonnée de A.

Exemple : La courbe c ci-contre est la représentation graphique

d’une fonction f définie sur [– 2 ; 2].

Pour lire graphiquement l’image de – 1,5 c’est à dire f(– 1,5), on peut procéder ainsi :

• on repère – 1,5 sur l’axe des abscisses et on trace, par ce point, la parallèle à l’axe des ordonnées ;

• cette droite rencontre c en A ;

• on cherche ensuite l’ordonnée de A en traçant par ce point la parallèle à l’axe des abscisses.

On lit graphiquement : f(– 1,5) ≈ −0,7

b) Recherche d’antécédents :

f est une fonction définie sur d, c est la représentation graphique de f, b est un réel. (d) est la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point (0 ; b).

1er _{cas : (d) ne rencontre pas c : cela signifie que b n’a pas d’antécédent par f dans d (ou aucun}

élément de d n’a b pour image par f).

2ème _{cas : (d) rencontre c en A(a ; b). Alors A est sur c donc f(a) = b et a est un antécédent de b}

par f.

Exemple : Reprenons la fonction précédente. Pour lire graphiquement les antécédents de 1 par

f :

• on repère 1 sur l’axe des ordonnées et on trace la droite (d) d’équation y = 1 ;

• elle rencontre c en B et C dont les abscisses sont respectivement – 1 et 1. Conclusion : D'après le graphique, – 1 et 1 sont les antécédents de 1 par f.

Remarque : La lecture graphique ne donne en général qu’une valeur approchée du résultat cherché.

II

.

Sens de variation et extremums d'une fonction.

f est une fonction définie sur un intervalle I. Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :

si a < b alors f(a) ≤ f(b).

Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :

si a < b alors f(a) ≥ f(b).

Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors f(a) < f(b).

Dire que f est strictement décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors f(a) > f(b).

2/3

Exemples : Les courbes c1 et c2 représentent respectivement des fonctions

f et g définie sur [– 2 ; 4].

• D’après l’allure de la courbe c1,

pour tous réels u et v de [– 2 ; 4], si u < v alors f(u) ≤ f(v). f est croissante sur [– 2 ; 4]. (Elle est même strictement croissante sur [– 2 ; 4].)

graphiquement : "La courbe monte".

Remarque : on dit aussi que f conserve l'ordre sur [– 2 ; 4].

• D’après l’allure de la courbe c2,

pour tous réels u et v de [– 2 ; 4], si u < v alors g(u) ≥ g(v). g est décroissante sur [– 2 ; 4]. (Elle est même strictement

décroissante sur [– 2 ; 4].)

graphiquement : "la courbe descend".

Remarque : on dit aussi que g change l'ordre sur [– 2 ; 4].

2. Fonction constante sur un intervalle.

f est une fonction définie sur un intervalle I.

Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a ≤ b alors f(a) = f(b).

3.

É tude du sens de variation d'une fonction

• fonction f définie sur [– 5 ; 3] par sa courbe : O ₁ 1 -5 -4 -1 3 -1 3 • sens de variation de f : La fonction f est : - décroissante sur [– 5 ; – 4] ; - croissante sur [– 4 ; – 1] ; - décroissante sur [– 1 ; 3]. • Tableau de variation de f

On résume ainsi les informations obtenues ci-contre :

x – 5 – 4 – 1 3

f(x) 4 3

– 1 – 1

4.

Extremums d'une fonction sur un intervalle.

f est une fonction, I un intervalle inclus dans son domaine de définition et a un réel de I.

• Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) ≥ f(a).

• Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur de la fonction : pour tout réel x de I, f(x) ≤ f(a).

Exemple : Le minimum sur l’intervalle [– 5 ; 6] de la

fonction f représentée ci-contre est – 2. Il est obtenu lorsque x = 3

2 . En effet, A est le point le plus "bas" de la courbe.

Le maximum sur l’intervalle [– 5 ; 6] est 4.

Il est obtenu lorsque x = – 3. En effet, B est le point le plus "haut" de la courbe.

3/3 -O -5 B -3 4 A 3 2 -2 6 3