UPMC Séries de fonctions et intégrales dépendant d’un paramètre 2M261 printemps 2017
Amphi B, feuille d’exercices no4 : intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
Exercice 1 (Intégrale de Gauss). Soit h : R2 Ñ R, pt, xq ÞÑ e´pt2`1qx2
t2`1 . Pour tout x P R, on pose
gpxq “ ż1
0
hpt, xqdt.
1. Déterminergp0q. Indication : quelle est la dérivée de Arctan?
2. Pour toutxPR, montrer que 0ďgpxq ďe´x2gp0q. En déduire quelimxÑ8gpxq “0.
3. Déterminer la dérivée partielleBh{Bx. Est–elle continue ?
4. En utilisant un théorème du cours, déterminerg1pxq pour tout xPR. Puis montrer que pour toutxPR on a
p˚q g1pxq “ ´2fpxqf1pxq
pour une certaine fonction dérivablef :RÑR, vérifiantfp0q “0, que l’on déterminera.
Indication : pourx“0faire le changement de variableu“xt. Vérifier que la formulep˚q a aussi lieu pourx“0.
5. Pour toutxPR, montrer que gpxq “ π
4 ´fpxq2. 6. En déduire la valeur deI “
ż`8
0
e´t2dt.
Exercice 2 (La fonction Γ). Soit h:pR˚`q2 ÑR,pt, xq ÞÑtx´1e´t. Pour tout xPR˚` on pose Γ0pxq “
ż1
0
hpt, xqdt, Γ0pxq “ ż`8
1
hpt, xqdt, Γpxq “Γ1pxq `Γ2pxq.
1. Justifier que les intégrales ci-dessus convergent, et montrer queΓ est continue sur R˚`. 2. Déterminer la fonctionBh{Bx.
3. SoientaP s0,1setδ ą0. Calculer ż1
a
logptqtδ´1dt. (Faire une intégration par parties, en posantuptq “logptq etv1ptq “tδ´1.)
4. Montrer que les intégrales ż`8
1
Bh
Bxpt, xqdt, resp.
ż1
0
Bh
Bxpt, xqdt, convergent uniformément surR, resp. surrδ,`8rpour tout δą0.
5. Montrer queΓ est dérivable sur R˚`.
6. Montrer queΓpx`1q “xΓpxq, pour tout x P R˚`. Indication : considérer żA
a
tx´1e´tdt pourAąaą0 et faire une intégration par parties en posant uptq “e´tet v1ptq “tx´1, puis faire tendreavers 0etA vers `8.
1
7. CalculerΓp1q puis en déduire la valeur deΓpnq pour toutnPN˚.
8. En faisant un changement de variable approprié, montrer que Γp1{2q est égal l’intégrale de Gauss, calculée dans l’exercice précédent. En déduire la valeur deΓ`
n`1 2
˘ pour tout nPN.
2
