ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE ÉNONCÉ

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE ÉNONCÉ

Questions faisant partie d'un même exercice.

[1,2,3,4,5] [6,7,8,9,10,11] [12,13,14,15,16,17] [18,19,20,21,22] [23,24,25,26,27,28]

[29,30,31,32,33,34,35] [36,37,38,39,40]

1. Une tige métallique homogène OA, de masse m et de longueur l, peut tourner autour d'un axe horizontal Oz. La liaison au niveau de son extrémité fixe O

peut être considérée comme parfaite. L'extrémité mobile A glisse sans frottement sur un profil circulaire, de sorte qu'à chaque instant l'ensemble tige/profil assure la fermeture d'un circuit électrique constitué d'un condensateur de capacité C.

L'ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme et constant B = Bez dirigé suivant l'axe de rotation Oz (voir figure ci-contre).

On désigne par i(t) la valeur instantanée du courant qui circule dans le circuit, par θ l'angle formé par la tige et la verticale et par g l'accélération de la pesanteur. On négligera les chutes de tension dans les parties résistives du circuit. Donner l'expression de la force électromotrice d'induction e(t) qui apparaît dans le circuit.

a)

( )

dt d 2 t B

e = A² θ

b)

( )

dt B d t

e = A² θ c)

( )

dt d 4 t B

e = A² θ

d)

( )

dt B d 2 t

e = A θ

2. Exprimer le courant i(t) dans le circuit.

a)

( )

^{2 2}₂

dt d C 4 t B

i θ

= A

b)

( )

dt d 2

C t B

i ² θ

= A

c)

( )

^{2 2}₂

dt d C 2 t B

i θ

= A

d)

( )

^{2 2}₂

dt d 2

C t B

i θ

= A

3. Calculer le moment résultant ML(∆) par rapport à l'axe ∆ = Oz de la force magnétique de Laplace.

a) _L

( )

^{2 4 2}₂

dt d 4

C

M ∆ =−B A θ

b) _L

( )

^{2 4 2}₂

dt d C 2

M ∆ =−B A θ

c) _L

( )

^{2 2 2}₂

dt d 2

C

M B θ

−

=

∆ A

d) _L

( )

^{2 2}₂

dt d C 4

M B θ

−

=

∆ A

4. Calculer la pulsation ω1 des petites oscillations du pendule sachant que le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe de rotation ∆ = Oz vaut

( )

m ²

3 I∆ =1 A .

a) m B C

mg 3

3 1 2

A A+

=

ω b)

C B 5 m 2

mg

2 1 2

A A+

= ω

c) 4m 3B C

mg 6

3 1 2

A A+

=

ω d)

C B m 3

mg 2

2 1 2

A A+

= ω

5. Le condensateur est remplacé par une bobine d'inductance propre L et de résistance négligeable.

Calculer la nouvelle pulsation ω₂ des petites oscillations du pendule.

a) 4m L

L B mg

3 ^{2 3}

2 A

A+

=

ω b)

L m 4

L B 3 mg

6 ^{2 3}

2 A

A+

= ω

C i(t) Oz

A g

B ez

θ

c) A A

m 4

L B 2 mg

3 ^{2 2}

2

= +

ω d)

A A m 2

B 4 mgL ^{2 3}

2

= + ω

6. Un milieu, de constante diélectrique ε₀ et de perméabilité magnétique µ₀ égales à celles du vide, contient, par unité de volume, des nombres égaux n d'ions positifs (charge +e, masse M) et d'électrons (charge −e, masse m) de sorte que dans un volume mésoscopique (macroscopiquement petit) la charge totale soit globalement nulle.

On soumet ce milieu à l'action d'un champ électrique E, d'amplitude E0, de pulsation ω, que l'on peut exprimer en notation complexe sous la forme : E=E₀exp

(

−iωt

)

. On négligera les interactions entre particules.

Déduire des solutions forcées des équations différentielles du mouvement d'un ion et d'un électron, l'expression du courant volumique j qui s'établit dans le milieu.

a) j E



 



 +

− ω

= mM

m M e in ₂

2 2

b) j E



 



 +

= ω

mM m M ine

2

c) j E



 



 +

− ω

= mM

m M

ne² d) j E



 



 +

= ω

mM m M ine

7. Le champ électrique de la question précédente est celui d'une onde électromagnétique plane monochromatique de vecteur d'onde k. On notera B le champ magnétique de l'onde et on négligera son action sur le mouvement des particules chargées du plasma. Des équations de Maxwell écrites en notation complexe, on peut déduire que :

a) Les champs E et B sont transverses et orthogonaux entre eux.

b) E et B sont orthogonaux entre eux mais seul E est transversal.

c) E et B sont orthogonaux mais seul B est transversal.

d) E et B sont transverses mais ne sont pas orthogonaux entre eux.

8. Montrer que la relation de dispersion k(ω) du milieu peut se mettre sous la forme :











 ω

−ω

= ω

2 2p 2

2 2 1

k c . Exprimer ω_p (pulsation plasma) et c.

a)

( )

0 0 0

2

p ,c 1

mM m M ne

µ

= ε µ

= +

ω b) ₀

( )

^{0 0}

2

p ,c

m M

mM

ne = ε µ

+

= ε ω

c)

( )

0 0 0

2 0

p ,c 1

mM m M ne

µ

= ε µ

+

= ε

ω d)

( )

0 0 0

2

p ,c 1

mM m M ne

µ

= ε ε

= + ω

9. Calculer les vitesses de phase vϕ et de groupe vg pour ω > ω_p.

a) _g ^{2 2}_p

2p 2

v c c ,

v ω −ω

=ω ω

− ω

= ω

ϕ b)

2p g 2

2p

2 c

v c ,

v ω −ω

= ω ω

− ω ω

ϕ =

c) ^{2 2}_p

p 2 g

2 p

p c

v c ,

v ω −ω

=ω ω

− ω

= ω

ϕ d) _g ²_p ²

2 2p

v c c ,

v ω −ω

= ω ω

− ω

= ω

ϕ

10. Montrer que la propagation d'une onde dans un plasma est équivalente à la propagation d'une onde dans un milieu sans charge ni courant et de permittivité ε. Exprimer ε.

a) _^









 ω

−ω ε

=

ε 2

p 2

0 1 b) _^









 ω

−ω ε

=

ε ₀ 1 ^p c) _^









 ω

−ω ε

=

ε 2

2p

0 1 d)

2 2p

0 1

ω

−ω ε

= ε

11. Les couches inférieures de l'atmosphère sont constituées d'un gaz neutre d'indice n_i ≈1. Les couches supérieures (ionosphère) sont assimilables à un plasma analogue à celui étudié précédemment.

On définit l'indice ns d'un tel milieu par la relation :

0 2s

n ε

= ε . Une onde plane susceptible de se propager

dans l'ionosphère aborde la couche ionosphérique sous l'incidence i.

Calculer la cosinus de l'angle it au-dessus duquel l'onde est totalement réfléchie vers le sol (angle de réfraction limite).

a)

p

it

cos ω

= ω b)

ω

=ω^p it

cos c) ₂

2p

it

cos ω

=ω d) ₂

p 2

it

cos ω

= ω

12. Une plaque horizontale P est animée dans son plan xOy d'un mouvement de translation rectiligne oscillatoire sinusoïdal de pulsation ω = 500 rad.s⁻¹. La

vitesse vp de la plaque est donnée à chaque instant par la relation : v_p =v₀sin

( )

ωt e_x.

Cette plaque est surmontée, sur une hauteur h, d'un fluide visqueux homogène supposé incompressible, de masse volumique ρ et de viscosité dynamique η (voir figure ci- contre).

On assimilera la plaque à un plan infini de sorte que l'on pourra négliger les effets de bord. On négligera également les effets de la pesanteur.

Montrer que, dans ce modèle infini, le champ des vitesses v(x,y,z,t) du fluide peut s'écrire : a) v = v(x,z,t)ex b) v = v(x,y,t)ex c) v = v(x,t)ex d) v = v(z,t)ex

13. Exprimer le force volumique de viscosité f.

a) _{2 x}

2

z ve

f ∂

η∂

= b) _{2 x}

2

x ve

f ∂

η∂

= c) _x

z ve

f ∂

η∂

= d) _x

x ve

f ∂

η∂

=

14. Déduire, de l'équation de Navier-Stokes, l'équation aux dérivées partielles à laquelle obéit la vitesse v.

a) ₂

2

z v t

v

∂

∂ ρ

=η

∂

∂ b)

z v t v

∂

∂ ρ

=η

∂

∂ c)

x v t v

∂

∂ ρ

=η

∂

∂ d) ₂

2

x v t

v

∂

∂ ρ

= η

∂

∂

15. La solution physiquement acceptable de cette équation aux dérivées partielles peut se mettre sous la forme :

a)

( )





 





−δ ω



 





−δ

=v exp x sin t z t

, z , x

v ₀ b)

( )





 





−δ ω



 





−δ

=v exp z sin t z t

, z

v ₀

c)

( )





 





−δ

 ω



 





−δ

= x

t x sin exp v t , x

v ₀ d)

( )





 





−δ ω

= z

t sin v t , z

v ₀

16. Calculer δ pour η = 2,33 kg.m⁻¹.s⁻¹ et ρ = 1,26.10³ kg.m⁻³.

a) δ = 5,1 mm b) δ = 7,2 mm c) δ = 2,7 mm d) δ = 4,3 mm

17. En déduire la puissance moyenne par unité de surface P que doit fournir l'opérateur pour entretenir le mouvement de la plaque.

a) v²₀ ρηω2

P = b)

v²₀ ρηω8

P = c)

v²₀ ρη4

P = d)

ρ

= ηω v²₀ 2 P

18. Un générateur de tension parfait alimente un circuit électrique constitué par deux impédances complexes Z_g =R_g +jX_g et Z_u =R_u +jX_u connectées en série. Quelles doivent être les relations, entre Rg et Ru d'une part et Xg et Xu d'autre part, pour que la puissance absorbée par Z_u soit maximale ? a) R_g = Ru b) X_g = Xu c) X_g = −X_u d) R_g = Xu

19. On considère le circuit électrique représenté sur le schéma de la figure ci-dessous constitué d'un condensateur de capacité C, d'un résistor de résistance Ru et deux bobines identiques d'inductance propre

z h

x O

Fluide visqueux g

ez

e_x

P

L. Ces éléments sont tous connectés en série et les deux bobines peuvent, de plus, être couplés magnétiquement.

On peut choisir le sens du couplage grâce à un interrupteur. Dans la position (I) l'inductance mutuelle M est positive tandis qu'elle est négative dans la position (II). Le coefficient de couplage

L k= M peut

être ajusté à une valeur comprise entre 0 et 1.

Le circuit est alimenté par un générateur de force électromotrice e

( )

t =E₀cos

( )

ωt de 50 V efficaces et de résistance interne Rg = 5 Ω. Sa pulsation ω est telle

que les impédances présentées par le condensateur et chacune des bobines non couplée sont respectivement 5 Ω et 12 Ω.

On désire que la puissance consommée dans Ru soit maximale. Quelle doit être la valeur de Ru ? a) Ru = 7 Ω b) Ru = 5 Ω c) Ru = 3 Ω d) Ru = 12 Ω

20. Calculer cette puissance maximale Pumax :

a) Pumax = 125 W b) Pumax = 25 W c) Pumax = 50 W d) Pumax = 75 W 21. Quelle doit être la valeur du coefficient de couplage k ?

a) k = 0,512 b) k = 0,317 c) k = 0,415 d) k = 0,792

22. La résistance du résistor vaut maintenant Ru = 10 Ω. On fait varier k et éventuellement le sens du couplage des bobines. Déterminer la gamme de puissance qui peut alors être fournie au résistor Ru. a) 53W≤P_u ≤78W b) 47W≤P_u ≤92W c) 28W≤P_u ≤102W d) 12W≤P_u ≤111W

23. Un cylindre horizontal de section droite S est rempli d'un gaz de masse volumique ρ0 au repos et de coefficient de compressibilité isentropique χ_S. A

l'équilibre, le gaz est à la pression atmosphérique P0. On note p(x,t) la surpression ou pression acoustique à l'instant t dans le plan de cote x lorsqu'une onde acoustique se propage dans le gaz. On se placera dans le cadre de l'approximation acoustique. En appliquant le théorème du centre de masse à une tranche de gaz comprise entre les plans de cote x et x + dx, déterminer l'équation aux dérivées partielles liant la vitesse de déplacement v(x,t) de la tranche de gaz considérée à la surpression p(x,t) qui y règne.

a) x

p t v

0 ∂

=∂

∂

ρ ∂ b)

x p t v

0 ∂

−∂

∂ =

ρ ∂ c)

t p x v

0 ∂

−∂

∂ =

ρ ∂ d)

t p x v

0 ∂

=∂

∂ ρ ∂

24. En supposant que la tranche de gaz subit une évolution adiabatique réversible au passage de l'onde, écrire une autre équation aux dérivées partielles liant v(x,t) et p(x,t).

a) t

p x

v

S ∂ χ ∂

∂ =

∂ b)

x p t

v

S∂ χ ∂

∂ =

∂ c)

x p t

v

0 S

∂

∂ ρ

−χ

∂ =

∂ d)

t p x

v

S ∂ χ ∂

−

∂ =

∂

25. En déduire la vitesse de propagation c de l'onde dans le gaz.

a)

S 0

c 1 χ

= ρ b) c= ρ₀χ_S c)

S

c 0

χ

= ρ d)

S 0

c 1 χ

=ρ

26. Le gaz est le siège d'une onde progressive plane monochromatique de pulsation ω et de vecteur d'onde k_i =ke_x se propageant dans le sens des x croissants et d'une onde plane réfléchie de vecteur d'onde k_r =−ke_x se propageant en sens inverse. En notation complexe, les surpressions p

( )

x,t

i et

( )

x,t

pr associées respectivement aux ondes directe et réfléchie s'écrivent :

( )

^{x,t p exp}

[

ⁱ

(

^{t kx}

) ]

^{et p}

( )

^{x,t p exp}

[

ⁱ

(

^{t kx}

) ]

pi = 0i ω − r = 0r ω +

L M

L

e(t)Rg C Ru

−M

L L

(I) (II)

P p(x,t)₀+

P₀

x O e_x

P

On note p

( )

x,t l'expression en notation complexe de la surpression résultant de la superposition des deux ondes.

L'onde réfléchie provient de la réflexion de l'onde directe sur une paroi P de masse m disposée dans le plan de cote x = 0 et pouvant se déplacer autour de cette position d'une quantité ξ(t) (très petite devant la longueur d'onde de l'onde acoustique) avec une vitesse u

( ) ( )

t =ute_x. Cette paroi est en outre soumise à l'action d'une force élastique que l'on peut modéliser par un ressort de raideur K et d'une force de frottement visqueux f=−2αmω₀ue_x où α est une constante positive et

m K

0 =

ω . On admettra qu'à droite de la paroi P, l'air reste constamment à la pression atmosphérique P0.

Exprimer l'amplitude complexe u₀ de la vitesse de déplacement de la paroi en régime forcé.

a)

( )

(

^{ωω −ω ++ αω ω}

)

=

2 0 02

r 0 i 0 0

0 m 2i

p p

u S b)

( )

(

^{ωω−ω −+ αω ω}

)

=

2 0 20

r 0 i 0 0

0 m 2i

p p S u i

c)

( )

(

^{ωω−ω ++ αω ω}

)

=

2 0 02

r 0 i 0

0 m 2i

p p S

u i d)

( )

(

^{ωω−ω −+ αω ω}

)

=

2 0 20

r 0 i 0

0 m 2i

p p S u i

27. On définit le coefficient de réflexion r pour l'amplitude complexe de la surpression par la relation

i 0

r 0

p

r=p . Montrer que l'on peut mettre r sous la forme :

( ) ( )

ω +

ω

= − A 1

A

r 1 . Exprimer A

( )

ω .

a)

( )

^{ω =}

(

^ω2^−ρω2^{ω+ αω}0^ω

)

0 0 2

i 2 mk

S

A i b)

( )

^{ω =}

(

^ω2 ^−ρω2^{ω− αω}0^ω

)

0 20 0

i 2 mk

S A i

c)

( )

^{ω =}

(

^{ω −ρω}2 ^{+ω αω}0^ω

)

2 0

20 0

i 2 k

A mS d)

( )

^{ω =}

(

^ω2^−ρω2^{−ω αω}0^ω

)

0 0 2

i 2 m

kS A i

28. Calculer le coefficient de réflexion r lorsque la paroi est maintenue immobile en x = 0. ₀

a) r₀ =0 b) r₀ =1 c) r₀ =−1 d)

2 r₀ =1

29. Un récipient à parois rigides et calorifugées est divisé en trois compartiments étanches par deux cloisons mobiles P1 et P2 pouvant se déplacer sans

frottement. La cloison P1 est diathermane tandis que la cloison P2 est adiabatique (voir figure ci-contre). Les compartiments (1), (2) et (3) contiennent chacun une mole de gaz parfait diatomique. Un générateur électrique fournit de l'énergie au gaz par l'intermédiaire d'un résistor de résistance R0, de capacité thermique négligeable, parcouru par un courant constant d'intensité I0 pendant une durée τ.

Dans l'état initial, les gaz sont à la même température T0 et à la même pression p0. Ils occupent alors chacun le même

volume V0. On désigne par R la constante des gaz parfaits et par

V p

c

= c

γ le rapport des capacités thermiques massiques à pression constante cp et à volume constant cV. On fait passer un courant suffisamment faible pour que le système évolue lentement. On arrête le chauffage lorsque la température du compartiment (3) est T_3f =aT₀ avec a > 1.

Calculer la pression finale pf en fonction de p0, a et γ.

a) p_f =p₀a^{γ/( )γ−1} b) p_f =p₀a^{γ/( )1−γ} c) p_f =p₀a^{( )γ−1/γ} d) p_f =p₀a^γ 30. Calculer le volume V3f du gaz dans le compartiment (3) en fonction de V0, a et γ.

a) V_3f =V₀a^{( )1−γ} b) V_3f =V₀a^−1/γ c) V_3f =V₀a^−γ d) V_3f =V₀a^{1/( )1−γ}

P

₁

P

₂

R₀ I₀

(1) (2) (3)

Parois mobiles

31. Exprimer le volume final V1f du gaz dans le compartiment (1) en fonction de V0, a et γ.

a) 1f ^{= 0}

(

3⁻a^{( )1−γ}

)

2

V V b) ^V1f ^=V₂⁰

(

^3−a−γ

)

c) 1f ^{= 0}

(

3⁻a^{1/( )1−γ}

)

2

V V d) 1f ^{= 0}

(

3⁻a^−1/γ

)

2 V V

32. En déduire la température finale T_1f du gaz dans le compartiment (1) en fonction de T₀, a et γ.

a) 1f ⁰ a

(

3 a ^{1/( )1}

)

2

T =T ^γ − ^{− γ−} b) 1f ⁰ a ^{/( )1}

(

3 a^{1/( )1}

)

2

T =T ^{γ γ−} + ^γ−

c) 1f ^{= 0} a^γ

(

3⁻a^−1/γ

)

2

T T d) 1f ^{= 0} a^{γ/( )γ−1}

(

3⁻a^{1/( )1−γ}

)

2 T T

33. Calculer le travail Wg fourni par le générateur.

a) _g

(

2T_1f T_3f 3T₀

)

1

W R + −

−

= γ b) _g

(

T_1f T_3f T₀

)

1

W R + +

−

= γ c) _g

(

T_1f T_3f T₀

)

1

W R − +

−

=γ d) _g

(

2T_1f 3T_3f 3T₀

)

1

W R + −

−

= γ

34. Calculer la variation d'entropie ∆S du système constitué par l'ensemble des gaz des trois compartiments.

a) 















 + 









−

= γ

∆

0 f 1 0

f 1

V V ln 2 T ln T 1 R 1

S b)

















 + 









−

= γ

∆

0 f 1 0

f 1

V ln V T ln T 1 R 1 2 S

c) 













 

 + 



 





− γ

= γ

∆

0 f 1 0

f 1

V ln V T ln T R 1

S d)















 

 + 



 



= 

∆

0 f 1 0

f 1

V ln V T ln T R 2 S

35. Calculer l'entropie totale Sp produite dans le système constitué par l'ensemble des gaz et du résistor.

a) S_p =0 b) S_p =∆S c) S_p =−∆S d) _







= 

0 f

p T1

ln T R 2 S

36. L'objectif d'un microscope est constitué de deux miroirs sphériques M1 et M2 de même centre O (voir figure ci-contre). Le miroir M1 est concave et l'on

désigne par R₁ =S₁O la valeur arithmétique de son rayon de courbure. Le miroir est percé d'une ouverture circulaire centrée sur son sommet S1. Le miroir M2 de sommet S2 est convexe et R₂ =S₂O représente la valeur arithmétique de son rayon de courbure. Il existe entre les valeurs arith- métiques des deux rayons la relation : R2 = kR1 avec k < 1.

La lumière qui provient d'un objet se propage d'abord de gauche à droite, se réfléchit sur M1 puis sur M2 pour traverser enfin l'ouverture pratiquée dans M1. La dimension

de M2 est suffisamment petite pour que l'on puisse considérer que ce miroir n'occulte pratiquement pas les rayons lumineux provenant d'un objet placé devant lui.

Un objet étendu est placé dans le plan de front passant par O. Trouver la position OAi du point Ai

conjugué de O par rapport à l'ensemble des deux miroirs.

a) OAi =0 b) OAi =R₂ c) OAi =R₁ d) OAi =

(

k+1

)

R1

37. Quel est dans ce cas le grandissement transversal Gt de ce système optique ?

a) Gt = 1 b) Gt = −1 c) Gt = 2 d) Gt = −2

38. On admettra que le système constitué par l'ensemble des deux miroirs est équivalent à une lentille mince L dont le centre optique est confondu avec le point O.

O S2 S₁

F_i

M₁ M₂

On considère un rayon lumineux parallèle à l'axe optique. Après réflexion sur M1 puis sur M2, ce rayon coupe l'axe optique au point Fi représentant le foyer image de la lentille équivalente. Exprimer la distance focale image fi de L en fonction de k.

a) 2

(

1 k

)

f_i kR¹

= − b)

(

1 k

)

f_i R¹

= + c)

(

1 k

)

f_i kR²

= + d) 2

(

1 k

)

f_i R²

= −

39. Le système doit donner d'un objet situé dans un plan de front passant par un point Ao de l'axe une image renversée située dans un plan de front passant par le point Ai. Les positions po =OAo et pi =OAi

de ces points sont telles que le grandissement transversal Gt ait une valeur Gt = m et que A_oA_i =D. Exprimer po et pi en fonction de m et D.

a) m 1

p D m, p_o D _i

= −

= b)

1 m p mD 1, m p_o D _i

= +

= +

c) m 1

p mD 1, m p_o D _i

= −

= − d)

( )

1 m

D 1 p m

1, m p_o D _i

+

= −

= +

40. De même, exprimer la distance focale image fi de L en fonction de m et D.

a) m 1

f_i D

−

= − b)

( )

²

i m 1

f Dm

−

= − c)

( )

1 m

D 1 f_i m

−

= + d)

( )

²

2

i m 1

f Dm +

= −