ÉNONCÉ
Questions liées.
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[29,30,31,32,33,34] [35,36,37,38,39,40]
Une diode à vide est constituée d'une cathode métallique filiforme C portée par l'axe Oz d'un repère R (Oxyz) et d'une anode métallique cylindrique A coaxiale à la
cathode, de hauteur h et de rayon R. Une source de tension connectée aux bornes de la diode délivre une tension continue U = VA − VC que l'on peut faire varier. On prendra le potentiel VC de la cathode pour origine des potentiels (VC = 0).
L'espace inter-électrode compris entre l'anode et la cathode contient des électrons qui ont été émis sans vitesse initiale depuis la cathode. La position M d'un électron est repérée par les variables r, θ, z du système de coordonnées cylindriques de base er, eθ, ez défini sur le schéma de la figure ci-contre.
Compte tenu de la symétrie du problème, la vitesse v des électrons ainsi que la charge volumique ρ de sont fonctions que de r.
On rappelle que le laplacien ∆f(r) d'une fonction scalaire f(r)
qui ne dépend que de la variable r s'écrit, dans le système de coordonnées cylindriques :
( ) ( )
=
∆ dr
r rdf dr d r r 1 f
1. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit le potentiel V(r) en un point quelconque de l'espace inter-électrode.
a)
( ) ( ) ( )
r 0dr r dV r 1 dr
r V d
2 0
2 =
ε +ρ
+ b)
( ) ( ) ( )
r 0dr r dV r 2 dr
r V d
2 0
2 =
ε +ρ +
c)
( ) ( ) ( )
r 0dr r dV r 2 dr
r V d
2 0
2 =
ε
−ρ
+ d)
( ) ( ) ( )
r 0dr r dV r 1 dr
r V d
2 0
2 =
ε
−ρ +
2. Déduire de l'application du théorème de l'énergie mécanique, l'expression de la vitesse v(r) des électrons (que l'on supposera non relativistes), en fonction de leur charge −e, de leur masse m et du potentiel V(r) (on négligera la force de pesanteur devant la force électrique).
a)
( )
V( )
r m r ev = b)
( )
V( )
rm 2 r e
v = c)
( )
V( )
rm e r 2 v
ε0
= d)
( )
V( )
rm e r 2 v =
3. Calculer l'intensité I(r) du courant qui traverse la surface cylindrique d'axe Oz, de rayon r, de hauteur h et de normale n = −er, en fonction de ρ(r), h, r et de la vitesse v(r) des électrons.
a) I
( )
r =−πhrρ( ) ( )
r vr b) I( )
r =−2πε0hr2ρ( ) ( )
r vr c) I( )
r =−2πhrρ( ) ( )
rv r d) I( )
r =−πε0hr2ρ( ) ( )
rv r 4. Montrer que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle :( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1/22 2
r V r I dr K
r dV dr
r V
rd + = −
Exprimer K.
z
h R
y O
x
z r M
ez
eθ er
θ
A C
a) 2e m h 2 K 1
ε0
= π b)
e m 2 h 4 K 1
ε0
= π c)
m e 2 h 2 K 1
ε0
= π d)
e m h 8 K 1
ε0
= π
5. En régime stationnaire, l'intensité traversant une surface cylindrique de rayon r quelconque et d'axe Oz est indépendante du rayon r du cylindre. On cherche des solutions de la forme V
( )
r =Arα où A est une constante. Calculer α.a) 2
=3
α b)
3
= 2
α c)
2
= 1
α d)
5
= 3 α
6. Montrer que la relation entre l'intensité I et le potentiel d'anode VA s'écrit : I=CVA3/2. Exprimer C.
a) m
e R 5
h C 4πε0
= b)
m e R 7
h C 2πε0
= c)
m e h
R C 4πε0
= d)
m e 2 R 9
h C 8πε0
=
7. Dans un modèle proposé par Yukawa, le potentiel V(r) et le champ électrique E(r) qui règnent dans un plasma, en un point M de l'espace situé à une distance r = ||r|| = ||OM|| d'une origine O sont créés par un ion positif de charge q placé en O et par deux distributions diffuses de charges positives et négatives occupant tout l'espace. Les charges volumiques respectives ρ+(r) et ρ−(r) de ces distributions diffuses sont données par les relations :
( ) ( ) ( ) ( )
ρ
−
=
ρ
− ρ
=
ρ+ −
0 0
0 0 V
r exp V r
et V
r exp V r
où ρ0 et V0 sont des constantes à une température donnée. Aux très hautes températures correspondant à une fusion thermonucléaire, on a V(r)/V0 << 1. Exprimer, au premier ordre par rapport à V(r)/V0, la charge volumique totale ρ(r) correspondant aux deux distributions diffuses.
a)
( ) ( )
0
0 V
r 2 V r =− ρ
ρ b)
( ) ( )
0
0 V
r r =ρ V
ρ c) ρ
( )
r =0 d)( ) ( )
0
0 V
r r =−ρ V ρ
8. Le laplacien d'une fonction scalaire f(r) de la variable r seule est donné, dans le système de coordonnées sphériques par la relation :
( ) ( ( ) )
2 2
dr r f r d r r 1
f =
∆ . En utilisant l'équation de Poisson, montrer
que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle :
( ( ) ) ( )
02 2
2
r r V r dr
r V r
d = . Exprimer r02.
a)
0 0
0
02 2 V
r ε
= ρ b)
0 0
0 02
r V ρ
=ε c)
0 0 0 02 2 r V
ρ
=ε d)
0 0 02
r V
= ρ
9. Montrer que, compte tenu du modèle choisi pour représenter le plasma et de la nécessité pour le potentiel de conserver une valeur finie en tout point de l'espace, le potentiel en M peut s'écrire :
( )
−
=
r0
exp r r r A
V . Exprimer A.
a)
0
A q
= ε b)
4 0
A q ε
= π c)
2 0
A q ε
= π d)
0
A q ε
=π 10. Calculer le champ électrique E(r) en M.
a)
( )
−
+ ε
= π
0 2 0
0 r
exp r r 2 r r 1
r q r
E b)
( )
− ε
= π
3 0
0 r
exp r 2 r
r q r
E
c)
( )
−
=ε
2 0
0 r
exp r r
r q r
E d)
( )
−
+ ε
= π
0 3 0
0 r
exp r r 1 r 4 r
r q r
E
11. Calculer le flux Φ du champ électrique E à travers une sphère de rayon R centrée en O.
a)
−
+ ε
= π Φ
0 0
0 r
exp R R 1 r 4
q b)
−
+
= ε Φ
0 0
0 r
exp R r 1 R q
c)
−
+ ε
= π Φ
0 0
0 r
exp R R 1 r 2
q d)
−
= ε Φ
0 0
0 r
exp R r qR
12. En déduire la charge totale diffuse Q0 contenue dans une sphère de centre O et de rayon r.
a)
−
+ +
−
=
0 0
0 r
exp r r 1 r 1 q
Q b)
−
+
=
0 0
0 r
exp r r 1 r q Q
c)
−
+
=
0 0
0 r
exp r r 2 r 1 q
Q d)
− +
−
=
0 0
0 r
exp r r 1 r q Q
13. Exprimer la charge volumique diffuse totale ρ(r) à une distance r de l'origine.
a)
( )
− ε
= π ρ
3 0
0 r
exp r r 4
r q b)
( )
−
= π ρ
0 0
2 r
exp r r r 4 r q
c)
( )
− ε
− π
= ρ
3 0 0
0 r
exp r r 2
r q d)
( )
−
− π
= ρ
2 0
0 r
exp r r r 4 r q
14. On considère le circuit représenté sur le schéma de la figure ci-contre où l'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire et peut
être considéré comme idéal. La tension sinusoïdale d'entrée, d'amplitude complexe V et e de pulsation ω, est appliquée sur la borne inverseuse de l'amplificateur. La tension de sortie, d'amplitude complexe Vs, est recueillie au point S du circuit. Z1, Z3, Z4 sont des impédances dont on précisera la nature plus loin, R2 est une résistance.
Exprimer la fonction de transfert
e s
V T= V du
montage.
a)
1 2 1 4 3
4
Z Z R Z Z
T Z +
= + b)
3 2 3 4 1
4
Z Z R Z Z
T Z +
= + c)
2 1 2 4 1
1
R Z R Z Z
T Z +
= + d)
4 1 4 4 2
2
Z Z Z Z R
T R +
= +
15. L'impédance Z1 est constituée d'une bobine de coefficient d'auto-inductance L, d'un condensateur de capacité C et d'un résistor de résistance r, ces trois éléments étant connectés en série. Z3 et Z4 sont des résistors purs de résistances respectives R3 et R4. Pour quelle valeur ω01 de la pulsation ω les tensions d'entrée Ve et de sortie Vs sont-elles en phase ?
a) 2 LC
1
01=
ω b)
LC 2
01=
ω c)
LC 1
01=
ω d)
LC r
R2
01= ω
16. Lorsque ω = ω01, quelle doit être la valeur de R2 pour que les amplitudes des tensions d'entrée et de sortie soient égales ?
a) r
R R R
3
2 = 4 b) r
R R R
4
2 = 3 c) r
R R R R
4 3
2 = +3 d) r
R R R R
4 4 2 3
= +
17. L'impédance Z1 est maintenant un résistor pur de résistance R1. L'impédance Z3 est constituée d'un condensateur de capacité C en série avec un résistor de résistance R. L'impédance Z4 est constituée
Z
V
Z
Z V
R
S
s 4 3 2
e 1
∞
d'un condensateur de capacité C en parallèle avec un résistor de résistance R. Pour quelle valeur ω02 de la pulsation ω les tensions d'entrée V et de sortie e V sont-elles en phase ? s
a) RC
1 R
R R
1 2 02 1
= +
ω b)
RC 1 R R
1 02 = 2
ω c)
RC 1 R R
2 02 = 1
ω d)
RC 1
02= ω
18. Lorsque ω = ω02, quelle doit être la valeur de R2 pour que les amplitudes des tensions d'entrée et de sortie soient égales ?
a) R2 =2R1 b) R2 =R1 c)
2
R2 =R1 d)
3 R R2 =2 1
Un écran opaque est percé d'une fente F de largeur ε et de longueur a >> ε. La fente est centrée dans le plan xOy d'un trièdre Oxyz dont l'axe Oy est
parallèle à la grande dimension de la fente (voir figure ci-contre).
La fente est éclairée par une onde plane monochromatique, d'amplitude ψ0, de longueur d'onde dans le vide λ, provenant d'une source ponctuelle S1 située à l'infini et dont le vecteur d'onde k1 est parallèle à l'axe Oz.
On observe l'onde diffractée par F dans le plan focal image FXY d'une lentille mince convergente L, dont l'axe optique est confondu avec l'axe Oz et dont la distance focale image est f ' .
19. En admettant que a >> λ, montrer que l'éclairement E1 en tout point P (X,Y) du plan focal image de L, peut se mettre sous la forme : 2
( )
20
1 uX
X u sin
π ψ π
E = . Exprimer u.
a) u f' λ
= ε b)
' u f
ε
= λ c)
ε
=λf'
u d)
λ
=εf' u
20. Calculer la demi largeur à la base, δX1, du maximum central de la figure de diffraction dans le plan FXY.
a) λ
= ε
δ f'
X1 b)
ε
=λ
δ f'
X1 c)
' X1 εfλ
=
δ d)
λ πε
=
δ f'
X1
21. On considère maintenant une source lumineuse ponctuelle monochromatique S2, de longueur d'onde dans le vide λ, située à l'infini, émettant une onde plane dont le vecteur d'onde k2, contenu dans le plan xOz, fait un angle θ petit avec l'axe Oz. Montrer que l'éclairement E2 en tout point P (X,Y) du plan focal image de L, peut s'écrire : 2
( )
20
2 sin
β π
β ψ π
E = . Exprimer β.
a)
(
X f')
'
f −
λ
= ε
β b)
(
X f')
'
f +
λ
= ε
β c)
(
X f')
' f θ + ε
θ
= λ
β d)
(
X f')
' f −θ λ
= ε β
22. Exprimer la demi largeur à la base, δX2, du maximum principal de la figure de diffraction dans le plan FXY.
a) λ
θε
=
δX2 f' b)
' X2 f
θ λ
= ε
δ c)
λ πε θ
=
δX2 f' d)
ε
= λ δX2 f'
23. On observe maintenant l'intensité diffractée par la fente F lorsqu'elle est éclairée simultanément par les deux sources S1 et S2. On admet que les deux figures de diffraction sont séparées dans le plan focal FXY si la distance A entre les deux maxima principaux est au moins égale à la demi largeur à la base de ces maxima (critère de Rayleigh). Exprimer le pouvoir séparateur de la lentille défini comme étant la plus petite valeur θ0 de θ donnant deux figures de diffraction séparées.
ε
a x
y
O O'
P X
Y f '
F z L
F
a) ε
=λ
θ0 b)
ε πλ
=
θ0 c)
λ
= ε
θ0 d)
λ πε
= θ0
Un corps solide indéformable de masse m = 0,1 kg, de capacité thermique massique c = 460 SI, en équilibre à la température Ti = 350 K, est placé dans un thermostat réglé à la température T0 = 280 K.
24. Dans le Système International (SI), la capacité thermique massique s'exprime en : a) J−1.K.kg b) J.kg−1 c) J.K−1.kg−1 d) K−1.kg−1
25. Calculer numériquement la variation d'énergie interne ∆U du corps lorsqu'il a atteint son nouvel état d'équilibre.
a) ∆U = −5,32 kJ b) ∆U = −3,22 kJ c) ∆U = −12,47 kJ d) ∆U = −7,36 kJ 26. Calculer numériquement la variation ∆S de son entropie.
a) ∆S = −17,5 J.K−1 b) ∆S = 32,2 J.K−1 c) ∆S = 5,7 J.K−1 d) ∆S = −10,3 J.K−1 27. Calculer l'entropie échangée, Se, lors de cette évolution entre le corps et le thermostat.
a) Se = −11,5 J.K−1 b) Se = 0 J.K−1 c) Se = 2,7 J.K−1 d) Se = −2,7 J.K−1 28. Calculer l'entropie produite, Sp, lors de cette évolution.
a) Sp = 0 J.K−1 b) Sp = 1,2 J.K−1 c) Sp = −17,15 J.K−1 d) Sp = 13,7 J.K−1
29. Une onde électromagnétique non plane se propage dans le vide suivant la direction de l'axe Oz d'un trièdre trirectangle Oxyz. Les composantes du champ électrique E dans la base B associée au trièdre s'écrivent, en notation complexe :
( ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ( ( ) ) )
(
Ex =E0x x exp i ωt+ϕz ,Ey =0,Ez =E0z x exp i ωt+ϕz +ϕ0)
E=
Les fonction E0x(x) et E0z(x) sont des fonctions réelles de la variable x, ϕ(z) est une fonction réelle de la variable z et ϕ0 est une constante réelle positive. L'équation de Maxwell-Gauss permet d'écrire l'équation différentielle :
( )
if( ) ( )
x,z exp i 0 dxx dE
x 0
0 + ϕ =
Exprimer la fonction réelle f(x,z).
a)
( ) ( ) ( )
dz z x d E z , x
f 0x ϕ
= b)
( ) ( ) ( )
dz z x d E z , x
f 0z ϕ
=
c)
( ) ( ) ( )
2 2 z
0 dz
z x d E z , x
f ϕ
−
= d) f
( )
x,z =−E0x( ) ( )
x ϕz30. De cette équation différentielle et si l'on ne considère que l'intervalle
[ ]
0;π , on peut déduire que : a) ϕ0 = 0 b) ϕ0 = π c) ϕ0 = π/2 d) ϕ0 = π/431. On définit une constante réelle positive k et l'on suppose que
( )
0dz z dϕ <
. Si l'on prend l'origine des phases en z = 0, on déduit de l'équation différentielle précédente que :
a) ϕ
( )
z =−k2z b) ϕ( )
z =−kz2 c) ϕ( )
z =−kz d) ϕ( )
z =−k2z232. En utilisant les résultats précédents et l'équation de propagation du champ électrique, on obtient les équations différentielles suivantes :
( )
k E( )
x 0 dxx E d
x 2 0 2 0 x 2 0
=
+ et
( )
k' E( )
x 0dx x E d
z 2 0 2 0
z 2 0
= +
On désigne par c la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Exprimer k20 et k'20.
a) 2
2 2 2 2 0 2 2 2
0 k
' c k et c k
k ω −
= ω −
= b) 2
2 2 2 2 0 2 2 2
0 k
' c k et c k
k ω +
= ω +
=
c) 2 2
2 2 2 0 2 2 2
0 k
' c k et c k
k ω −
= ω +
= d) 2 2
2 2 2 0 2 2 2
0 k
' c k et c k
k ω +
= ω −
=
33. L'onde ne peut exister dans tout l'espace que si :
a) ω > kc b) ω < kc c) ω = kc d) ω ≠ kc
34. Le champ magnétique B, associé à l'onde, a pour composantes, en notation complexe, dans la base B :
a)
( ) ( ( ( ) ) )
= = exp i ωt+ϕz ,B =0 c
x iE B , 0
Bx y 0z2 z
b)
( ) ( ( ( ) ) )
ω ω +ϕ =
=
= E x exp i t z ,B 0
ikc B , 0
Bx y 2 0x z
c)
( ) ( ( ( ) ) )
= = ω E x exp i ωt+ϕz ,B =0 B kc
, 0
Bx y 2 0x z
d)
( ) ( ( ( ) ) )
= = exp i ωt+ϕz ,B =0 c
x B E
, 0
B z
2 x y 0 x
35. On considère une lentille mince convergente L de centre optique O et de distance focale image f ' = 1 m. Déterminer la distance algébrique OAo d'un objet AoBo (Ao étant sur l'axe optique) pour laquelle le grandissement transversal G de la lentille est G = −1.
a) OAo =−2m b) OAo =−1m c) OAo =0,5m d) OAo =1m 36. Calculer la position OAi par rapport à O de l'image Ai correspondante.
a) OAi =1,25m b) OAi =0,75m c) OAi =−1m d) OAi =2m
37. Un miroir sphérique concave de sommet S et de centre C donne d'un objet AoBo une image AiBi de même sens et de même dimension que l'objet. Déterminer la position correspondante SAo1 de l'objet par rapport à S.
a) SAo1=0 b) SAo1 =SC c) SAo1 =2SC d) SC 2 SAo1= 1
38. Le miroir sphérique donne maintenant du même objet AoBo une image AiBi de même dimension que l'objet mais renversée. Déterminer la position correspondante SAo2 de l'objet par rapport à S.
a) SAo2 =0 b) SAo2 =SC c) SAo2 =2SC d) SC 2 SAo2 = 1
39. L'objet AoBo est à nouveau placé à la distance algébrique OAo pour laquelle le grandissement transversal de la lentille est G = −1. Le sommet du miroir est disposé à une distance OS1 du centre optique de L de façon à ce que le système lentille/miroir donne de AoBo une image droite (de même sens que l'objet) et contenue dans le plan de l'objet. Donner la valeur de OS1.
a) OS1 =0 b) OS1 =2m c) OS1=1m d) OS1=0,5m
40. On déplace le miroir jusqu'à une position OS2 telle que le système lentille/miroir donne de AoBo
une image renversée contenue dans le même plan que l'objet. On mesure le déplacement S1S2 =1m. En déduire la distance focale image f'm=SF' du miroir sachant que F' désigne le foyer image du miroir et que les distances algébriques sont comptées positivement dans le sens de la lumière incidente sur le miroir.
a) f'm =−100cm b) f'm=−75cm c) f'm=−50cm d) f'm=−25cm
