ICNA - SESSION 2004 ÉPREUVE COMMUNE DE PHYSIQUE ÉNONCÉ

ÉPREUVE COMMUNE DE PHYSIQUE ÉNONCÉ

Questions liées.

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12,13] [14,15,16,17,18,19,20] [21,22,23,24,25,26,27]

[28,29,30,31,32,33] [34,35,36,37,38,39,40]

1. Un cylindre C homogène, de centre de masse G, de rayon a et de masse m, roule sans glisser sur le plan horizontal xOy d'un repère R (Oxyz). Le vecteur

rotation instantané ω(C/R) = ωey porté par son axe de révolution est constamment dirigé suivant l'axe Oy. On désigne respectivement par T = Tex et N = Nez les composantes tangentielle et normale de la réaction du plan xOy sur le cylindre.

La rotation de C est repérée par l'angle θ défini sur la figure ci-contre. On désigne par xG l'abscisse du centre de masse G du cylindre et par ma²

2

J=1 le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe Gy.

A l'instant t = 0, où l'axe du cylindre passe dans le plan yOz, la norme de la vitesse du centre de masse est V0. On applique alors un couple de freinage de moment constant C_f =−C_fe_y dont l'intensité est telle que C continue de rouler sans jamais glisser. On suppose par ailleurs que l'effet de ce couple sur les valeurs de T et N est négligeable.

Calculer l'énergie cinétique K0(C/R) du cylindre à l'instant t = 0.

a) 0

( )

0²

K / 3mV

=4

C R b) 0

( )

0²

K / 1mV

=2

C R c) 0

( )

0²

K / 3mV

=2

C R d) 0

( )

0²

K / 2mV

= 3 C R

2. Déterminer la loi d'évolution de la vitesse de translation V(t) du cylindre en fonction du temps.

a)

( )

^f t V₀ ma

C t 2

V =− + b)

( )

^f t V₀

ma 2 t C

V =− +

c)

( )

^f t V₀ ma 3

C t 2

V =− + d)

( )

^f t V₀

ma 4

C t 3

V =− +

3. Calculer la distance de freinage x0.

a) ₀²

f

0 V

C 4

ma

x = 9 b) ₀²

f

0 V

C 4

ma

x = 3 c) ₀²

f

0 V

C 4

x = ma d) ₀²

f

0 V

C 3

ma x =2

4. Sachant que le cylindre roule sans glisser tant que la relation ||T|| < f ||N||, où f est une constante qui caractérise l'adhérence du cylindre, est vérifiée, trouver la distance minimale de freinage x0min de C.

a) 2fg

V x 3

02 min

0 = b)

fg 4

V x 3

02 min

0 = c)

fg x V

02 min

0 = d)

fg 2 x V

02 min

0 =

5. Au cours du freinage, la température du cylindre et celle du système de freinage s'élève. Calculer la quantité de chaleur algébrique Q échangée avec le milieu extérieur pour que la température de l'ensemble revienne à sa valeur initiale.

a) mV₀² 4

Q=−3 b) mV₀²

2

Q=−3 c) mV₀²

2

Q=−1 d) mV₀²

2 Q= 1 O

e_z

e_x T

N

g z

x a G

θ C

I ey

6. A l'instant t = 0, le couple de freinage est tel que le cylindre se bloque et glisse instantanément.

Calculer la nouvelle distance de freinage x1. a) 2fg

V x 3

02

1 = b)

fg 2 x V

02

1= c)

fg 4

V x 3

02

1= d)

fg x V

02 1=

7. L'objectif et l'oculaire d'un microscope peuvent être assimilés à deux lentilles minces convergentes L1 et L2. Le foyer image F'1 de l'objectif L1 et le

foyer objet F2 de l'oculaire L2 sont séparés par une distance F'₁F₂ =∆. On désigne respectivement par f ' et f '_{1 2} les distances focales images de L1 et L2. Un observateur dont l'œil est normal et accommode à l'infini, regarde un objet A0B0 à travers l'instrument (voir figure ci-contre).

Calculer, dans ces conditions d'observation, la distance p₀ =O₁A₀ de l'objet au centre optique O1 de L1 pour qu'une image nette se forme sur la rétine.

a)

( )

∆

∆

− +

= ^{2 1}

0

' f '

p f b)

( )

∆

∆

− +

= ^{1 2}

0

' f '

p f c) p^{0 =−}f'₂

(

f^∆'₁^+∆

)

d)

( )

∆

∆

− +

= ^{1 1}

0

' f ' p f

8. Calculer le grandissement transversal γ_ob de l'objectif.

a) γ_ob =−f∆'¹

b)

1 ob f' 1

' +f

−∆

=

γ c)

1

ob f'

− ∆

=

γ d)

1 ob ∆+f'

− ∆

= γ

9. On désigne par dm la distance minimale de vision distincte d'un œil normal. On définit le grossissement commercial G d'un instrument d'optique par le rapport G = αi/α0 où αi est l'angle sous lequel un œil normal accommodant à l'infini voit l'objet à travers l'instrument et α₀ l'angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu lorsqu'il est placé à la distance minimale de vision distincte dm.

Déterminer le grossissement commercial Goc de l'oculaire en fonction de f'2 et dm. a)

2 oc f'm

G =d b)

2 2 oc mf'

' f

G d +

= c)

m 2 oc f' md G d

= + d)

2 2

oc mf'

' f

G d −

−

=

10. Exprimer le grossissement commercial Gm du microscope en fonction de Goc, ∆ et f'₁. a) _m =− _oc f∆'¹

G

G b)

1 oc

m G f'

G ∆

−

= c)

1 oc

m G f'

G ∆+

− ∆

= d)

1 oc 1

m f'

' G f G =− ∆+

11. On définit la puissance P du microscope par le rapport

0 0 i

B A

= α

P de la dimension angulaire αi de l'objet vu à travers l'instrument par un œil normal accommodant à l'infini sur la dimension réelle A₀B₀ de cet objet. Calculer P.

a)

2 1f' ' f

− ∆

P= b)

− ∆

= f'¹f'²

P c)

2 1

1

' f ' f

' +f

−∆

P= d)

2 1

2

' f ' f

' +f

−∆ P=

12. On appelle cercle oculaire l'image que donne le microscope de la monture de l'objectif. En considérant un objet placé dans le plan de front passant par O1, exprimer à quelle distance d1 de O2 se trouve le cercle oculaire.

a) + +∆

∆

= +

2 1 2 1

1 f' f'

' ' f f

d b)

∆ +

∆ +

= +

2 2 1 1

1 f'

' f ' ' f f d

c) +∆

∆ +

= +

1 2 2 1

1 f'

' f ' ' f f

d d)

∆ + +

∆

= +

2 1 1 2

1 f' f'

' ' f f d

13. La monture de l'objectif est constituée par un diaphragme de diamètre D. Exprimer le diamètre d du cercle oculaire.

F'₂ O₂ F2

F'₁ O₁ F1

A₀

B₀ L₁ L₂

∆

a) = +∆

2 1

' f

' D f

d b)

2 1

' f ' Df

d +∆

= c)

1 2

' f ' Df

d +∆

= d)

∆

= +

1 2

' f

' D f d

Un circuit constitué de l'association en parallèle d'une résistance R = 100 Ω, d'un condensateur de capacité C = 100 µF et d'une bobine d'inductance propre L = 10 mH est

connecté à une source de courant sinusoïdal de courant électromoteur instantané i

( )

t =I₀cos

( )

ωt dont la pulsation ω peut varier de façon continue. La quantité I0 est exprimée en valeur efficace et vaut I0 = 100 mA.

On désigne par ω0 la valeur de la pulsation pour laquelle la puissance moyenne fournie au circuit par la source, calculée sur une période, passe par une valeur maximale Pmax. On pose

x = ω/ω0. Si Q désigne une constante, montrer que l'on peut écrire : ₂

2 max

x x 1 Q

1 



 

 − +

= P

P .

14. Calculer numériquement ω0 et Pmax.

a) ω₀ = 10² rad.s⁻¹ et Pmax = 10 W b) ω₀ = 10³ rad.s⁻¹ et Pmax = 1 W c) ω₀ = 2.10³ rad.s⁻¹ et Pmax = 0,1 W d) ω₀ = 10⁴ rad.s⁻¹ et Pmax = 0,5 W 15. Donner la valeur numérique de Q.

a) Q = 10 b) Q = 2 c) Q = 5 d) Q = 30

16. La bande passante ∆ω0 du circuit est définie par la différence des pulsations pour lesquelles la puissance vaut Pmax/2. Calculer la valeur numérique de ∆w₀.

a) ∆ω₀ = 10 rad.s⁻¹ b) ∆ω₀ = 1000 rad.s⁻¹ c) ∆ω₀ = 200 rad.s⁻¹ d) ∆ω₀ = 100 rad.s⁻¹

17. Montrer que l'intensité du courant dans la bobine peut s'écrire i_L

( )

t =I_L cos

(

ωt+ϕ_L

)

. Exprimer IL.

a) ^{L 0} x 1 Q²

(

x 1/x

)

²

I 1

I = + − b)

( )

²

2 L 0

x / 1 x Q 1

1 x

I I

−

= + c) ^{L 0} x 1 Q²

(

x 1/x

)

²

I Q

I = + − d)

( )

²

0 2

L 1 Q x 1/x

Q I 2

I = + −

18. Montrer que IL passe par une valeur maximum ILmax pour une valeur ω₁ de la pulsation si Q > Qmin. Exprimer Qmin.

a) 2

Q_min = 1 b) Q_min = 2 c) Q_min =2 2 d)

2 Q_min =1

19. Exprimer ω₁.

a) 2Q 1

Q 2

2 2 0

1 =ω −

ω b)

2 2 0

1 Q

1 Q − ω

= ω

c) Q 1

Q

2 2 0

1=ω −

ω d)

2 2 0

1 2Q

1 Q

2 −

ω

= ω

20. Donner l'expression de ILmax. a)

1 Q 4

Q I 2 ILmax 0 2

−

= b)

1 Q 2 I Q

I 2

2 0 max

L = −

c)

1 Q 4

Q I 2

I 2

2 0 max

L = − d)

1 Q 4

Q I 2 I_{Lmax 0 2}²

= −

i(t) L R C

21. Un densitomètre est constitué d'un tube cylindrique T de masse m = 10 g, de hauteur H = 30 cm et de section S = 1 cm2, lesté dans sa partie inférieure par un réservoir sphérique R

de rayon R, de volume V0 = 1 cm³, dont la masse et l'épaisseur des parois sont négligeables. Le réservoir est rempli dans sa totalité du volume V0 de mercure de masse volumique ρHg = 13,6 g.cm⁻³. Le densitomètre est plongé dans un liquide de masse volumique ρ et l'on désigne par h la hauteur immergée du tube cylindrique T (voir figure ci-contre).

Calculer numériquement la position xd = OGd du centre de masse Gd du densitomètre par rapport au centre de masse O du lest R.

a) xd = 7,42 cm b) xd = 2,75 cm c) xd = 6,62 cm d) xd = 5,56 cm

22. Exprimer la position xL = OGL du centre de masse GL du liquide déplacé par le densitomètre par rapport au centre de masse O du lest R en fonction de S, V0, R et h.

a) x_L 2Sh^{Sh V0} h 2R

= +

+ b)

( )

L

0

x Sh h 2R

2 Sh V

= +

+ c) _L

0

x Sh h R

Sh 2V

= +

+ d) x_L Sh^{Sh V0}

2h R

= +

+

23. Montrer que le densitomètre conserve une position d'équilibre stable, tige verticale, si h vérifie l'inéquation : h²−2bh−c>0. Donner la valeur numérique de b.

a) b = 3,5 cm b) b = 4,2 cm c) b = 9 cm d) b = 6 cm 24. Exprimer c numériquement.

a) c = 13,24 cm² b) c = 9,34 cm² c) c = 7,56 cm² d) c = 19,47 cm²

25. Calculer la valeur minimale hm que doit avoir h pour que le densitomètre reste en équilibre stable, tige verticale.

a) hm = 10,57 cm b) hm = 7,34 cm c) hm = 2,21 cm d) hm = 13,01 cm

26. Calculer la valeur minimale ρm de la masse volumique ρ que l'on peut mesurer avec ce densitomètre.

a) ρ_m =1,21g.cm⁻³ b) ρ_m =2,37g.cm⁻³ c) ρ_m =0,76g.cm⁻³ d) ρ_m =0,65g.cm⁻³

27. Calculer la valeur maximale ρ_M de la masse volumique ρ que l'on peut mesurer avec ce densitomètre si l'on veut que sa tige reste naturellement verticale pendant la mesure.

a) ρ_M =7,12g.cm⁻³ b) ρ_M =1,68g.cm⁻³ c) ρ_M =4,73g.cm⁻³ d) ρ_M =12,17g.cm⁻³

28. Un moteur thermique fonctionne de façon réversible entre deux sources dont les températures Tc et Tf (Tf < Tc) peuvent évoluer au cours du temps à cause des échanges thermiques avec la machine.

La source froide est constituée par une masse M = 100 kg d'eau en totalité à l'état de glace fondante à la température Tf0 = 273 K. La source chaude est constituée par une masse 2M d'eau liquide à la température Tc0 = 373 K. On donne :

♦ capacité thermique massique de l'eau liquide C = 4,18 kJ.K⁻¹.kg⁻¹

♦ chaleur latente de fusion de la glace à la température Tf0, L = 335,6 kJ.kg⁻¹

Déduire d'un bilan entropique effectué sur la machine, la température Tc1 de la source chaude lorsque la totalité de la glace de la source froide a fondu.

a) Tc1 = 322 K b) Tc1 = 300 K c) Tc1 = 305 K d) Tc1 = 352 K 29. Calculer numériquement dans ce cas, le travail W1 fourni par le moteur.

a) W1 = −7,034.10⁶ J b) W1 = −9,076.10⁶ J c) W1 = −3,861.10⁶ J d) W1 = −3,137.10⁶ J

30. Le moteur s'arrête de fonctionner lorsque les deux sources sont à la même température T0. Calculer numériquement T0.

a) T0 = 289,7 K b) T0 = 325,2 K c) T0 = 312,6 K d) T0 = 304,8 K

G_d O

h H

x

R

T G_L

31. Calculer le travail total W2 fourni par le moteur depuis le début de son fonctionnement jusqu'à ce qu'il s'arrête.

a) W2 = −3,732.10⁷ J b) W2 = −5,875.10⁶ J c) W2 = −2,423.10⁵ J d) W2 = −1,021.10⁷J 32. Calculer le rendement thermique global η du moteur.

a) η = 0,32 b) η = 0,25 c) η = 0,72 d) η = 0,18

33. Calculer le rendement thermique η₀ du moteur si l'on avait maintenu constantes les températures initiales de chacune des deux sources.

a) η0 = 0,27 b) η0 = 0,32 c) η0 = 0,49 d) η0 = 0,78 34. On considère un circuit

représenté sur le schéma de la figure ci- contre. La source qui délivre la tension d'entrée v_e

( )

t =V_e 2cos

( )

ωt est un générateur de tension autonome parfait délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace Ve et de pulsation ω. Les deux autres générateurs, parfaits eux aussi, sont des sources liées,

commandées respectivement par la tension de sortie vs(t) = vA – vB pour la source de tension et pour la source de courant , par le courant i(t) délivré par la source autonome. Les quantités α et β sont des constantes.

Du point de vue de ses bornes de sortie A et B, ce réseau dans lequel est compris le résistor de résistance R connecté entre les bornes A et B, est équivalent à un générateur qui, dans la représentation de Thévenin, est constitué par une source de tension de force électromotrice eth(t) associé en série à un résistor de résistance rth.

Dans la représentation de Norton, ce générateur est constitué d'une source de courant, de courant électromoteur iN(t), associé en parallèle à un résistor de résistance Rth.

Exprimer la résistance d'entrée Re du circuit définie par le rapport

( ) ( )

t i

t R_e =v^e . a) R_e =r+αβR+

(

β+1

)

R₀ b) R_e =r+αR+

(

β+1

)

R₀ c) R_e =r+βR+

(

β+1

)

R₀ d) R_e =r+βR

35. Calculer eth.

a) ^th r R

(

^e 1

)

R₀ v e R

+ β + αβ +

− β

= b) ^th R

(

^e 1

)

R₀

v e R

+ β +

−αβ

= c) ^th r

(

1

)

^eR₀

v e R

+ β +

− α

= d)

R r

v

e_th R ^e

αβ +

−αβ

= 36. Calculer rth.

a) rth = R b)

( )

( )

₀

th r R 0 1R

r R r R

+ β + αβ +

= +

c)

( )

0

th r R0 R

r R r R

+ + α

= + d)

[ ( ) ]

( )

⁰ ₀

th r R 1R

R 1 r r R

+ β + αβ +

+ β

= +

37. Calculer iN.

a) ^N r R

(

^e 1

)

R₀ i v

+ β + αβ +

− β

= b) ^N r

(

^e1

)

R₀

i v

+ β +

− β

= c) ^N R

(

^e 1

)

R₀

i v

+ β + αβ

− α

= d) ^N r

(

^e1

)

R₀

i v

+ β α +

− αβ

= 38. Calculer Rth.

i(t) r αv (t)_s

R₀ βi(t)

v (t)_s v (t)_e R

a)

[ ( ) ] ( )

⁰ ₀

th r R 1R

R 1 r R R

+ β + αβ +

+ β

= + b) R_th = R

c)

( )

( )

₀

th r R 0 1R

r R R R

+ β + αβ +

= + d)

( )

0

th r R0 R

r R R R

+ + α

= +

39. Un résistor de résistance Ru est connecté entre les bornes A et B, en parallèle sur le résistor de résistance R. Exprimer, en fonction de Ru et des caractéristiques du générateur équivalent, la puissance moyenne Pu calculée sur une période dissipée dans Ru. Eth est la valeur efficace de eth(t).

a)

(

_{u th}

)

²

2th th

u R r

r E

= +

P b) ₂

u 2th th

u R

r E P = c)

(

_{u th}

)

²

2th u

u R r

R E

= +

P d) ₂

th 2th u

u r

R E P =

40. Pour quelle valeur Ru0 de Ru cette puissance est-elle maximale ?

a)

[ ( ) ]

( )

⁰ ₀

0

u r R 1R

R 1 r R R

+ β + αβ +

+ β

= + b)

( )

( )

⁰₀

0

u r 1R

R R R 1

+ β +

+

= β

c)

[ ( ) ]

( )

⁰₀

0

u R 1R

R 1 r R R

+ β + αβ

+ β

= + d)

[ ( ) ]

R r

R 1 r

R_u0 R ⁰

αβ +

+ β

= +