ICNA - SESSION 2001 - PHYSIQUE ÉPREUVE OPTIONNELLE ÉNONCÉ

ÉPREUVE OPTIONNELLE ÉNONCÉ

Questions faisant partie d'un même exercice.

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12] [13,14,15,16,17] [18,19,20,21,22,23] [24,25,26,27,28]

[29,30,31,32,33,34,35] [36,37,38,39,40]

1. On considère le circuit représenté par le schéma de la figure ci-contre. Les bobines B1 et B2 ont la même inductance propre L. Les condensateurs C1 et C2 ont la même

capacité C. Le condensateur C3 a une capacité C0. On désigne par q1 et q2

les valeurs instantanées des charges des armatures des condensateurs C1

et C2 reliées respectivement aux bobines B1 et B2.

Initialement, les condensateurs C1 et C2 sont déchargés et l'armature du condensateur C3 reliée aux deux bobines B1 et B2 porte la charge Q03. Écrire les équations différentielles couplées auxquelles obéissent les charges q1 et q2.

a)

2 2

0 0

1 2 2 1

1 2

2 2

0 0 0 0

C C C C

d q q d q q

L q 0 et L q 0

C C C C C C

dt dt

+ +

+ + = + + =

b)

2 2

03 03

1 1 2 2 2 1

2 2

Q Q

d q q q d q q q

L et L

C C C C C C

dt + + = − dt + + =

c)

2 2

0 03 0 03

1 2 2 1

1 2

2 2

0 0 0 0 0 0

C C Q C C Q

d q q d q q

L q et L q

C C C C C C C C

dt dt

+ +

+ + = + + =

d) ²₂^{1 0} ₁ ^{2 03 2}₂^{2 0} ₂ ^{1 03}

0 0

C C Q C C Q

d q q d q q

L q et L q

C C C C C C C C

dt dt

+ +

+ + = + + =

2. Calculer les pulsations propres Ω₁ et Ω₂ < Ω₁ du circuit.

a) ₁ ⁰ ₂

0

2C C et 1

LC C LC

Ω = + Ω = b) ₁ ⁰ ₂

0

C 2C et 1

LC C LC

Ω = + Ω =

c) ₁ ⁰ ₂

0 0

C C 1

et

LC C LC

Ω = + Ω = d)

( )

1 0 2

0 0

C C 1

et

LC C L C C

Ω = + Ω =

+ 3. Exprimer q t1

( )

.

a) 1

( )

⁰³

( ( )

1

)

0

q t Q C 1 cos t C 2C

= − Ω

+ b) 1

( )

⁰³

( ( )

1

)

0

q t 2Q C 1 cos t

C C

= − Ω

+ c) 1

( )

⁰³

( (

2

) )

0

q t 2Q C 1 cos t C 2C

= − Ω

+ d) 1

( )

⁰³

( ( )

1

)

0

q t Q C 1 cos t

= C − Ω

4. Exprimer q t2

( )

. a) 2

( )

⁰³

( ( )

1

)

0

q t 2Q C 1 cos t

C C

= − Ω

+ b) 2

( )

⁰³

( (

2

) )

0

q t 2Q C 1 cos t C 2C

= − Ω

+ c) 2

( )

⁰³

( (

2

) )

0

q t Q C 1 cos t

= C − Ω d) 2

( )

⁰³

( ( )

1

)

0

q t Q C 1 cos t C 2C

= − Ω

+

5. Si Q0 représente une charge donnée, parmi les valeurs initiales proposées ci-dessous quelle(s) est (sont) celle(s) qui correspond(ent) à l'excitation du mode propre de pulsation Ω1 ?

B1 B2

C1 C₂

C3

q₁ q₂

a) Q₀₁ = −Q₀ Q₀₂ =0 Q₀₃=Q₀ b) Q₀₁=0 Q₀₂ =0 Q₀₃ =Q₀ c) Q₀₁=Q₀ Q₀₂=0 Q₀₃ =Q₀ d) Q₀₁=Q₀ Q₀₂ =Q₀ Q₀₃=0

6. Quelle(s) est (sont) celle(s) qui correspond(ent) à l'excitation du mode propre de pulsation Ω₂ ? a) Q₀₁ =Q₀ Q₀₂ = −Q₀ Q₀₃=0 b) Q₀₁=Q₀ Q₀₂ = −Q₀ Q₀₃ =Q₀

c) Q₀₁=Q₀ Q₀₂=0 Q₀₃ =Q₀ d) Q₀₁=0 Q₀₂= −Q₀ Q₀₃= −Q₀ 7. Une bobine B d'inductance propre L et de résistance r est

placée dans la branche ab du pont de mesure représenté sur le schéma de la figure ci-contre. Le pont est alimenté entre les points a et c par un générateur de tension sinusoïdal idéal de force électromotrice e(t) et de fréquence f = 1000 Hz. Les branches ad et bc sont constituées de résistors parfaits de résistances respectives P et Q.

La branche cd est constituée d'un résistor de résistance R et d'un condensateur de capacité C, tous deux réglables et branchés en dérivation.

Dans la diagonale bd, un voltmètre D d'impédance infinie mesure la différence de potentiel U V= _b−V_d et permet de détecter l'équilibre du pont défini par la condition U = 0.

L'équilibre du pont est réalisé pour les valeurs suivantes des éléments réglables :

P = 100 Ω , Q = 200 Ω , R = 2300 Ω , C = 2,080 µF.

Calculer L.

a) L = 37,2 mH b) L = 53,7 mH c) L = 41,6 mH d) L = 8,4 mH 8. Calculer r.

a) r = 8,7 Ω b) r = 12,3 Ω c) r = 17,6 Ω d) r = 52,1 Ω

9. Deux bobines B1 et B2 de résistances négligeables et d'inductances propres respectives L1 et L2

sont connectées en série et couplées par mutuelle induction. On désigne par M la valeur algébrique de l'inductance mutuelle. Ce circuit est placé entre les bornes ab du pont en remplacement de la bobine B.

Dans une première étape, on couple les bobines de façon à ce que le flux propre et le flux dû au couplage à travers chacune des bobines s'ajoutent. La mesure de l'inductance propre Le de la bobine équivalente donne la valeur Le = 20,8 mH. Sans modifier la position relative des deux bobines, on les couple maintenant de façon à ce que le flux propre et le flux dû au couplage à travers chacune des bobines s'opposent. La mesure de l'inductance propre L '_e de la bobine équivalente donne la valeur

L 'e=14, 4mH. En déduire la valeur absolue M de l'inductance mutuelle des deux bobines.

a) M =1, 6mH b) M =12,1mH c) M =3, 7mH d) M =4, 2mH

10. Sans modification de leur position relative, les deux bobines sont maintenant connectées en parallèle. Exprimer l'inductance propre L"_e de la bobine équivalente en fonction de L1, L2 et de la valeur algébrique de M.

a) _e ^{1 2}

1 2

L" L L

L L 2M

= + + b) _e ^{1 2 2}

1 2

L L M L"

L L 2M

= +

+ +

c) _e ^{1 2 2}

1 2

L L 4M L"

L L

= +

+ d) _e ^{1 2 2}

1 2

L L M L"

L L 2M

= −

+ −

11. Lorsque les bobines sont couplées de façon à ce que le flux propre et le flux de couplage à travers les bobines s'ajoutent, on mesure L"_e=5,1mH. Calculer L1 > L2.

a) L₁=18, 2mH b) L₁=10mH c) L₁=8mH d) L₁=15,7mH 12. Calculer L2 < L1.

a) L₂ =7,6mH b) L₂ =3,8mH d) L₂=4, 2mH d) L₂=5,9mH d

R

e(t) P

C

D c

a L

B r Q

b

13. Un cylindre C, de centre G, d'axe horizontal Gz, de masse m et de rayon a, roule sans glisser sur un guide circulaire S fixe de centre O, d'axe

horizontal Oz et de rayon R. La position du centre G du cylindre est repérée par l'angle orienté

(

^,

)

θ = Ox OG . On définit également un angle orienté ^{ϕ =}

(

^{Gx GJ,}

)

en amenant la verticale Gx sur une direction fixe GJ de C.

Montrer que la condition de roulement sans glissement de C sur S impose entre d

dt θ = θ et d

dt

ϕ = ϕ la relation :

a) R

a ϕ = −   θ

b) a R

a

 −  ϕ = θ

c) a R

a

 + 

ϕ = −  θ d) a R ϕ = −    θ

14. On donne le moment d'inertieJ 1ma²

= 2 de C par rapport à l'axe Gz. Exprimer le moment cinétique ^L

(

^{I,C /}R

)

du cylindre par rapport au point géométrique de contact I de C sur S.

a)

(

I,C /

)

3ma² z

= 2 ϕ

L R e b)

(

I,C /

)

1ma² z

= 2 θ

L R e

c) L

(

I,C /R

)

=ma²ϕez d) ^L

(

^{I,C /R}

)

^{= 5}₂^ma2

(

^{ϕ + θ}

)

^ez

15. Dans ce cas, le théorème du moment cinétique s'applique au point mobile I comme en un point fixe. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit l'angle θ et en déduire la période T₀ des petites oscillations de C autour de sa position d'équilibre stable.

a) T₀ 2 R a 2g

= π + b) T₀ 2 5R

= π 2g c) T₀ 2 2a

= π 3g d)

( )

0

3 R a T 2

2g

= π −

16. On désigne respectivement par T=T et e_θ N=Ne_r les composantes de la réaction de S sur C dans la base (er,eθ,ez). Donner l'expression de N dans le cas des petits mouvements.

a) N ³mg

= −2 b) N= −mgθ c) N ³mg

= −2 θ d) N= −mg 17. Exprimer T dans les mêmes conditions.

a) T ^Rmg

=3a θ b) T ^3amg

= − R θ c) T ^mg

= 3 θ d) T = 0

18. On considère l'écoulement incompressible laminaire en régime stationnaire d'un fluide visqueux de masse volumique ρ, de viscosité dynamique η, dans un tube cylindrique à section droite circulaire, de longueur A et de rayon R.

On négligera les effets de la pesanteur sur l'écoulement. On admettra que le champ des vitesses est de la forme v=v r, z

( )

ez où e_z est un vecteur unitaire porté par l'axe z'z du tube et r repère la position d'un point par rapport à z'z. On notera respectivement p1 et p2 les pressions en amont (z = 0) et en aval (z = A) du tube et p(z) la pression dans le fluide en tout point d'un plan orthogonal à z'z à la cote z. L'écoulement étant incompressible, on peut déduire que :

a) Le champ des vitesses ne dépend pas de z. b) Le champ des vitesses est uniforme.

c) La relation divv=0 est vérifiée. d) On a nécessairement rot v 0= . R

I

x

x J

O e_θ

er

e_z

g C

S G

θ

ϕ

19. Le fluide contenu dans un cylindre de rayon r est soumis de la part du fluide extérieur à une force surfacique ^δF

( )

^r dont la résultante, pour une longueur dz de cylindre, s'écrit :

( )

z

r

r 2 r dz v r δF = πη ∂ ∂  e

La quantité

r

v r

∂ ∂  représente la valeur en r de la dérivée partielle v r

∂

∂ .

En considérant le fluide contenu dans un volume défini par deux cylindres de rayons r et r + dr et deux plans de cotes z et z + dz, déterminer l'expression de la force volumique de viscosité fv.

a) _v r ^v _z

r r

∂  ∂ 

= η∂  ∂ 

f e b) _v r ^v _z

r r r η ∂  ∂ 

= ∂  ∂ 

f e

c) ²

( )

v 2 z

rv

r r

∂ 

η 

=  ∂ 

f e d) _{v 2} ² v _z

r r r r

η ∂ ∂ 

= ∂  ∂ 

f e

20. En déduire l'équation aux dérivées partielles liant la pression p à la vitesse v.

a) ^p r ^v

z r r

∂ = −η ∂  ∂ 

∂ ∂  ∂  b) 2

( )

2

p r rv

z r r r

 ∂ 

∂∂ = η ∂∂  ∂ 

c) ^{p 2}₂^v

z r r

 

∂ η ∂

= −  

∂ ∂  d) p v

z r r r r

∂∂ = η ∂∂  ∂∂ 

21. Exprimer la loi d'évolution p(z) de la pression p en fonction de z.

a)

( )

^{2 1 2} 1

p p

p z = − z +p

 A  b)

( )

^{2 1} 1

p p

p z  −  z p

= −  +

 A 

c)

( )

^{2 1} 1

p p

p z = A− z p+ d)

( )

^{2 1} 1

p p

p z =2 A− z p+

22. Exprimer la loi d'évolution v(r) de la vitesse v en fonction de r sachant que la vitesse du fluide est nulle sur les parois du tube.

a) ^{v r}

( )

^=_^p1₄⁻_η^p_A^{2 }_

(

^R2−r2

)

^{b) v r}

^{( )}

^=_^p1₂⁻_ηA^p2_

(

^R2+r2

)

c) ^{v r}

( )

^=^p1η⁻A^{p2 } ^R2+r2 d)

( )

¹ 2²

(

^{2 2}

)

p p

v r R r

4

 − 

= ηA  −

23. Calculer le débit volumique Q du fluide.

a)

(

p1 p2

)

2

Q R

2

= − π

ηA b)

(

p1 p2

)

Q − 2 R

= π

ηA c)

(

1 2

)

4

2

p p

Q R

4

= − π

ηA d)

(

p1 p2

)

4

Q R

8

= − π

ηA 24. Un système optique est constitué d'une lentille mince

convergente L de centre optique O, de distance focale image f ' et d'un miroir plan M disposé en arrière de L, orthogonalement à son axe optique et à une distance

OS d 50cm= = (voir figure ci-contre).

Un objet ponctuel Ao est placé initialement au foyer de la lentille. Trouver la position OAi1 de l'image Ai1 qu'en donne le système.

a) OAi1= −f ' b) OAi1=2f ' c) OAi1=d d) OAi1=d / 4

25. L'objet est maintenant placé au point Ao2 conjugué de S par rapport à la lentille. Trouver la position OA de l'image A qu'en donne le système.

M

S d

O F_i

Fo

Ao

L

a) OAi2 =OFo b) OAi2=OFi c) OAi2=OS d) OAi2=OAo2

26. Calculer la distance focale image f ' de L sachant que A A_{i2 i1}= ∆ =25cm. a) f ' 25cm= b) f ' 15cm= c) f ' 12cm= d) f ' 19cm=

27. Le miroir plan est maintenant remplacé par un miroir sphérique concave dont le sommet est placé en S. La valeur arithmétique de son rayon de courbure vaut R = 50 cm. L'objet réel est placé à une distance égale à 2f ' du centre optique de L. Quelle doit être la valeur d1 de la distance OS pour que l'image définitive qu'en donne le système soit confondue avec l'objet lui-même et de même sens que lui ? a) d₁=2f ' b) d₁=f ' c) d₁=4f ' d) d₁=2R

28. Quelle doit être la valeur d2 de la distance OS pour que l'image définitive soit renversée et que son plan soit confondu avec celui de l'objet ?

a) d2 = 75 cm b) d2 = 45 cm c) d2 = 100 cm d) d2 = 125 cm

29. Une enceinte a parois adiabatiques est divisée en deux compartiments (1) et (2) par une cloison diathermane C munie d'une petite ouverture F que l'on peut ouvrir

ou fermer sans travail. L'enceinte est fermée à l'une de ses extrémités par un piston adiabatique P mobile qui peut coulisser sans frottement.

Dans l'état initial, l'ouverture F est fermée, le compartiment (1) de volume V1 est vide et le compartiment (2) de volume V2i contient une mole de gaz parfait à la pression atmosphérique pa.

Les deux compartiments sont mis en communication. On suppose dans un premier temps que V1 est tel que dans l'état d'équilibre final, le piston ne vienne pas en butée sur C.

On désigne par R la constante des gaz parfaits et par ^p

V

c

γ =c le rapport des capacités thermiques molaires à pression constante cp et à volume constant cV. Calculer le travail W du piston en fonction de pa, V1, V2i

et de la température finale Tf du gaz dans le récipient.

a) W p V= a

(

1+V2i

)

−RTf b) W p V= a

(

1+V2i

)

+RTf

c) W p V= a

(

1−V2i

)

−RTf d) W p V= a

(

1−V2i

)

+RTf

30. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, en déduire la température finale Tf du gaz en fonction de pa, V1 et V2i.

a) _f ^{a 2i 1}

2i

p V V

T 1

R 1 V

  γ  

=  +γ −   b) _f ^{a 1 2i}

1

p V V

T 1

R 1 V

  γ  

=  −γ −   c)

1

a 2i 1

f

2i

p V V

T 1

R V

  γ− 

 

=  +   

d) _f ^{a 2i 1}

2i

p V 1 V

T 1

R V

 γ −  

=  + γ  

31. Calculer la valeur V1m que devrait avoir le volume du compartiment (1) pour que le piston vienne juste en butée sur C.

a) V_1m = γV_2i b) V_1m V_2i 1

= γ

γ − c) V_1m =γ −¹V_2i

γ d) V_1m=¹V_2i γ 32. Calculer, dans ce dernier cas, l'entropie produite Sp.

a)

( )

p

1 R 1

S = γ −γ lnγ −γ  b) S_p ^R ln ¹ 1

 

γ γ −

=γ −  γ 

c) p

( )

S R ln 1

= γ γ

γ − d) Sp = γR ln

(

γ −1

)

(1) (2)

C F

P pa

33. On se place maintenant dans le cas où le volume V '₁ du compartiment (1) est plus grand que le volume V1m calculé précédemment, de sorte que dans l'état final le piston soit en butée sur C. Calculer la température finale T '_f du gaz en fonction de pa, V2i, γ et R.

a) f

( )

^{a 2i}

T ' 1 p V

= γ − R b) T '_f ^{p Va 2i}

= γ R c) T '_f ^{p Va 2i} 1 R

= γ

γ − d) T '_f ^{1p Va 2i} R

= γ − γ 34. Exprimer la pression finale p '_f du gaz en fonction de pa, V2i, V '₁ et γ.

a) _{f a} ²ⁱ

1

p ' p V

= γ V ' b) f

( )

a ¹

2i

p ' 1 p V '

= γ − V c) _{f a} ¹

2i

p ' p V '

1 V

= γ

γ − d) _{f a} ²ⁱ

1

V p ' 1p

V '

= γ − γ 35. Calculer l'entropie produite S'_p.

a)

1 p 1

2i

V ' S' R ln

1 V

 γ−

= γ −γ   b) _p ¹

2i

V ' S' R ln

1 V

 γ

=γ −   c)

1 p 1

2i

S' R ln V ' V

 γ−

= γ  

  d)

1 p 1

2i

R V '

S' ln

1 V

  γ− 

 

=γ − γ   

36. Une bobine est constituée d'un fil conducteur bobiné en spires jointives sur un tore circulaire à section carrée de côté a et de rayon moyen ρ (voir figure

ci-contre). On désigne par N le nombre total de spires et par I le courant qui les parcourt.

Calculer la norme B du champ magnétique qui règne en un point P(x,y) quelconque du plan xOy à l'intérieur du tore.

a) ⁰

2 2

B NI

2 x y

= µ

π + b) ⁰NI

B 2 x

=µ π c) B ^0NI

2 y

=µ

π d) ⁰

2 2

B NIx

2 x y

= µ

π +

37. Calculer l'énergie électromagnétique Eem de la bobine.

a)

0 2 em

NI a a

8 ln a

µ ρ + 

= π ρ − 

E b)

0 2 2 em

N I a 4

=µ E π c) _em ⁰N I a^{2 2} 2 a

4 ln 2 a

µ  ρ + 

= π  ρ − 

E d) _em ⁰NI a²

8 ln a

µ  ρ

= π    E

38. Exprimer l'inductance propre L de la bobine.

a)

0N a2 2a

L ln

2 2a

µ ρ + 

= π ρ −  b)

0N a2

L 2

=µ π c)

0N a2 a

L ln

4 a

µ ρ + 

= π ρ −  d)

0N a2 2 a

L ln

2 2 a

µ  ρ + 

= π  ρ − 

39. On dispose suivant l'axe y'y de la bobine un fil rectiligne que l'on peut considérer comme infini et parcouru par un courant I0. Calculer le flux ϕ du champ magnétique créé par le fil à travers le circuit de la bobine et en déduire l'inductance mutuelle M entre les deux circuits.

a) ⁰Na 2 a

M ln

2 2 a

µ  ρ + 

= π  ρ −  b)

0N a2 2a

M ln

4 2a

µ ρ + 

= π ρ − 

c) ⁰Na a

M ln

2 a

µ ρ + 

= π ρ −  d)

0N a2

M ln

4 a

µ  ρ

= π   

40. Le fil est parcouru par un courant i t0

( )

=I cos0

( )

ωt tandis que le circuit de la bobine est fermé sur un ampèremètre. La résistance totale de ce circuit est alors égale à R.

y

x I

O a

P

ρ

Exprimer le courant i(t) qui circule dans le circuit de la bobine en régime établi.

a) ^{i t}

( )

₂^{M I}_{2 2}⁰

(

^{R sin}

( )

^{t L cos}

( )

^t

)

R L

= ω ω − ω ω

+ ω b) ^{i t}

( )

₂^I0 _{2 2}

(

^{R sin}

( )

^{t L cos}

( )

^t

)

R L

= ω + ω ω

+ ω c) ^{i t}

( )

₂^{L I0}_{2 2}

(

^{R sin}

( )

^{t M cos}

( )

^t

)

R L

= ω ω + ω ω

+ ω d) ^{i t}

( )

₂^RI0_{2 2}

(

^{R cos}

( )

^{t L sin}

( )

^t

)

R L

= ω − ω ω

+ ω