ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ

Oscillateurs électriques couplés.

1. Le conducteur ci-contre est galvaniquement isolé donc sa charge se conserve au cours du temps :

( )

₂

( )

₃

( )

₀₃

1 t q t q t Q

q + + =

Par ailleurs la loi des mailles nous conduit à écrire :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 3 2 2

0 3 1 1

C t q dt

t Ldi C

t 0 q C ,

t q dt

t Ldi C

t

0=q + − = + −

Compte tenu que

( ) ( )

dt t t dq

i_k = ^k (k = 1,2) il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 03 0 2 1

0 0 2

2 2 0

03 0 1 2

0 0 2

2 1

C Q C

t t q CC q

C C dt

t q Ld C ,

Q C

t t q CC q

C C dt

t q

Ld  + =



 

 + +

=

 +



 

 + +

Remarque. Analogie avec deux oscillateurs mécaniques (m,K) couplés par un ressort de raideur K0.

2. Ce système de deux oscillateurs étant symétrique on peut introduire les coordonnées normales

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 t q t t q Q 2 et

t q t t q

Q ^{1 2 1} − ²

+ =

= ₋

+ ce qui nous conduit à :

( ) ( ) ( )

Q

( )

t 0

LC 1 dt

t Q , d LC t Q LCC Q

C C 2 dt

t Q d

2 2 0

03 0

0 2

2  = + =





 +

+ ₊ ⁻ ₋

+

Ces équations différentielles admettent des solutions harmoniques dont les pulsations : LC

, 1 LCC

C C 2

0 2

1 + 0 Ω =

= Ω

correspondent aux pulsations propres du système couplé.

3. Les solutions générales des équations différentielles précédentes sont de la forme :

( ) ( ) ( )

, Q

( )

t Q cos

(

t

)

Q' sin

(

t

)

C C 2 t CQ sin ' Q t cos Q t

Q _{2 2 2 2}

0 1 03

1 1

1 = Ω + Ω

+ + Ω +

Ω

= ₋

+

On détermine les constantes Qk, Q'k (k = 1,2) à l'aide des conditions initiales. La continuité de la charge électrique dans un condensateur et de l'intensité du courant dans une bobine impose, à t = 0⁺ :

( )

^{0 Q}

( )

^{0 0 Q} _2C^CQ_C ^{et Q 0 , Q}

( )

^{0 Q}

( )

^{0 0 Q' Q' 0}

Q _{2 1 2}

0

1 03 = = = ⇒ = =

− +

=

⇒

=

= ₋ ⁺ ₊ ⁺ ₋ ⁺

+ +

Il en résulte que :

( ) (

1 cos

( )

t

)

, Q

( )

t 0 C

C 2 t CQ

Q ₁

0

03 − Ω =

= + ₋

+

On observe donc que q1(t) = q2(t) = Q+(t). Ainsi :

( ) (

1 cos

( )

t

)

C C 2 t CQ

q ₁

0

1 03 − Ω

= + 4. Et évidemment :

( ) (

1 cos

( )

t

)

C C 2 t CQ

q ₁

0

2 03 − Ω

= +

q₁ q₃ q₂

5. Pour le mode propre de pulsation Ω₁ tout se passe comme si on avait deux circuits série identiques indépendants comprenant chacun en série L, C et C0/2. Afin d'exciter ce mode on peut prendre, pour les charges des condensateurs, les conditions initiales :

0 03 02 01

03 0 02 0

01 Q ,Q Q ,Q 0 ou Q 0,Q ,Q Q

Q = = = = = =

6. Pour le mode propre de pulsation Ω2 le condensateur de couplage est sans effet, tout se passe comme si on avait un circuit série d'inductance 2L et de capacité C/2. Afin d'exciter ce mode on peut prendre, pour les charges des condensateurs, les conditions initiales :

0 Q , Q Q , Q

Q₀₁= _{0 02} =− _{0 03}=

Électrocinétique : régime sinusoïdal.

7. On est en présence d'un pont PQ parallèle ou pont de Maxwell. On montre aisément que la condition d'équilibre s'écrit : Z_s.Z_p =P.Q, avec

R jCR 1 Z Y 1 et jL r Z

p p s

ω

= +

= ω +

= . On en déduit :

mH 6 , 41 PQC

L= =

8. D'autre part :

Ω

=

= 8,7 R r PQ

9. Dans le premier cas (M > 0) on a L_e =L₁+L₂+2M et dans le second (M < 0) L'_e=L₁+L₂−2M . On en déduit la valeur absolue de l'inductance mutuelle :

(

L L'

)

1,6mH 4

M = 1 _e− _e =

10. Lorsque les bobines sont connectées en parallèle, sans modification de leur position relative pour conserver la même valeur absolue de M, on a :

(

^{L i Mi}

)

^j

(

^{L i Mi}

)

^{j L"}

(

^{i i}

)

^{j L" i}

j

u_ab = ω _{1 1}+ ₂ = ω _{2 2}+ ₁ = ω _{e 1}+ ₂ = ω _e Il en résulte que :

(

L"_e−M

) (

i= L₁−M

)

i₁=

(

L₂−M

)

i₂ d'où on tire :

M 2 L L

M L

" L L

2 1

2 2

e 1+ −

= −

11. On est dans le cas où M > 0. Numériquement on obtient :

(

L 4M

)

76mH P

"

L M L L , S mH 6 , 17 M L L

L₁+ ₂ = _e− = = _{1 2} = ²+ _{e e}− = ² =

S et P représentent respectivement la somme et le produit des racines d'une équation du second degré en L dont L1 et L2 sont solutions. Comme on suppose que L1 > L2 il vient :

mH 10 2 P

S 2 L S

2

1  − =



 

 + 

= 12. On obtient évidemment :

mH 6 , 7 L₂ =

Mécanique du solide.

13. La condition de roulement sans glissement de C sur S fixe dans le référentiel R, supposé galiléen, s'écrit :

( )

V

( ) ( )

GI 0

VI,C/R = G,C/R +ωC/R ∧ =

avec :

( ) (

R a

)

,

(

C/

)

_zet a _r

dt / d

C ,

G OG e e GI e

V  = − θ =ϕ =



 



= _θ R

R

R

ω . Il en résulte que :

θ



 



= −

ϕ

a R a 14. Le moment cinétique de C en I dans R est défini par :

( ) (

L

)

V

( )

GI

LI,C/R = G,C/R +m G,C/R ∧ soit :

( )

²

( )

_z ² _z ^ma

(

^{R a}

)

_z

2 ma 3

2 a 3

R ma 2ma

/ 1 C ,

I e e e

L = ϕ =− − θ



 ϕ− − θ

=

R

Remarque. Le mouvement de C est tangent à une rotation autour de l'axe (I,ez). D'après le théorème d'Huygens le moment d'inertie de C par rapport à cet axe est : ² ma²

2 ma 3 J '

J= + = . Il

en résulte que :

( )

_z ma² _z 2

' 3 J / C ,

I e e

L R = ϕ = ϕ .

15. Contrairement à ce qu'affirme l'énoncé, le théorème du moment cinétique appliqué à C en I dans R se traduit par :

( )

m

(

G,C/

) (

I/

) ( )

I

dt / C , I d

Mext

V

L  = V ∧ +



 



 R R R

R

Toutefois, comme V(I/R), vitesse du point géométrique de contact dans R, est parallèle à V(G,C/R) car la distance ||GI|| est constante on a ^V

(

^{G, C /}R

)

^∧V

(

^{I /}R

)

⁼⁰.

Par ailleurs, M_ext

( )

I =IG∧mg=mgasinθe_z car la réaction R du support s'applique en I.

L'équation différentielle en θ du mouvement du cylindre est alors :

(

R a

)

^{sin 0}

3 g

2 θ=

+ − θ

Au voisinage de la position d'équilibre stable, θ_e = 0, du cylindre l'équation différentielle précédente se linéarise en :

(

R a

)

⁰

3 g

2 θ=

+ − θ d'où la période des petites oscillations :

( )

g 2

a R 2 3

T₀ −

π

=

16. Le théorème de la résultante dynamique (ou théorème de la résultante cinétique) appliqué à C dans R nous donne :

( ) ( ) (

^{e e}

)

^{N T g}

aG,C/ mR a m

m R = − θ _θ−θ² _r = + +

On en déduit par projection respectivement selon er et eθ :

(

⁻

)

^{θ = θ+}

(

⁻

)

^{θ= θ}

− θ

−

= mgsin

3 a 1 R m sin mg T , a R m cos mg

N ²

Dans l'hypothèse des petits mouvements, au voisinage de θe = 0, θ et θ sont des infiniment petits du même ordre. Si on néglige les termes d'ordre supérieur ou égal à deux il vient :

mg N≈− 17. Et évidemment :

θ

≈ mg 3 T 1

Mécanique des fluides : écoulement de Poiseuille cylindrique.

18. L'écoulement, stationnaire, étant incompressible on a ∇.v = 0 soit 0 z v=

∂

∂ : le champ des vitesses est indépendant de z, donc v = v(r)e.

19. La résultante des forces de viscosité qui s'exercent sur le volume dV=2πrdrdz de fluide considéré est :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

z z

r dr

r

v dV

r r r v r dz r

r r r v r

r dr v r 2 r dr

r F e e

F

F 



 





∂

∂

∂

∂

≈η



 



 



 





∂

− ∂



 





∂ + ∂ πη

= δ

− + δ

= δ

+

On en déduit la densité volumique des forces de viscosité :

( )

z

v v r

r r v r r

dVF e

f 



 





∂

∂

∂

∂

=η

=δ

20. On néglige les forces de pesanteur. Pour que l'écoulement soit stationnaire il faut, qu'à chaque instant, les forces de pression équilibrent les forces de viscosité. Pour le volume dV de fluide considéré ceci se traduit par :

( ) ( )

[ ]

_{e F}

( )

_{e 0}

F =

∂ π∂

− δ

≈ +

− π +

δ _{v z v} rdrdz _z

z z 2 p dr

r dz z p z p 2

On en déduit l'équation aux dérivées partielles liant la pression à la vitesse :

( ) ( )

z z p r

r r v r

r ∂

=∂



 





∂

∂

∂

∂ η

21. Cette équation ne peut être vérifiée que si chacun de ses membres est égal à la même constante K.

Il en résulte que : p

( )

z =Kz+K'. Les constantes K et K' sont déterminées à l'aide des conditions aux limites p(0) = p1 et p(A) = p2. En définitive :

( )

p1 p2 z p1

z

p  +



 



 −

−

= A

22. La connaissance de p(z) conduit à

( )



 



 −

−

=



 





∂

∂

∂

∂ η

A

2

1 p

p r

r r v r

r qui s'intègre en :

( )

^{r Alnr B}

4 p r p

v ^{1 2} ²+ +

 



 η

− −

= A

Cette vitesse doit rester finie en tout point du fluide, en particulier sur l'axe z'z, ce qui impose A = 0. Par ailleurs la condition d'adhérence, v(R) = 0, nous donne ^{1 2} R²

4 p

B p 



 



 η

= −

A . En définitive :

( )

^{r p1}₄ ^p2

(

^{R2 r2}

)

v  −

 



 η

= − A

On est en présence d'un écoulement de Poiseuille cylindrique.

23. Le débit volumique du fluide est :

( )

( )( )

^R

( )

^{1 2 4}

0

2 2 2

0 2 1 S

z

z R

8 p dr p

r r R 4 d

p dS p

. r v

Q π

 



 η

= −

−

 θ



 



 η

= −

=

∫∫

^{e e} _A

∫

^π

∫

_A

Optique géométrique : système catadioptrique.

24. On a A₀=F₀→∞ →∞ →^{L M L} F₀ =A_i1 , l'image est donc confondue avec l'objet, soit : '

f OF OAi1 = 0 =−

Notons que si l'objet n'est pas ponctuel son image est renversée (Gt = −1).

Remarque. Voir méthode d'autocollimation.

25. S est son propre conjugué dans le miroir M donc A₀₂→ → →^L S^MS ^L A₀₂=A_i2. L'image est de nouveau confondu avec l'objet, soit :

02 2

i OA

OA =

Si l'objet n'est pas ponctuel son image est droite (Gt = +1).

Le système envisagé est, pour d≠f', équivalent à un miroir concave de centre Γ = F₀ et de sommet Σ = A₀₂ tel que

d ' f

' O df

= −

Σ .

26. La formule de conjugaison de Descartes :

' f 1 OS

1 OA

1

02

= +

−

avec OA02=OAi1+A_i1A₀₂ =−f'−∆et OS=d nous conduit à l'équation du second degré en f' : 0

d ' f '

f ²+∆ −∆ =

dont la seule solution physiquement acceptable, pour une lentille convergente, est : cm

2 25 d ' 4

f

2+ ∆ =

∆ +

∆

=−

27. L'objet est dans le plan antiprincipal objet de la lentille. On obtiendra une image définitive confondue avec l'objet et de même sens que lui si, simultanément :

♦ l'image intermédiaire se forme dans le plan principal du miroir concave ;

♦ le plan principal du miroir est confondu avec le plan antiprincipal image de la lentille.

Dans ce cas :

' f 2 d OS= ₁=

Remarque. On peut aussi dire que l'objet doit se situer dans le plan principal du miroir équivalent qui passe par son sommet Σ, soit :

' f 2 ' d

f 1 d

1 ' f 2 1 OS

1 O

1

1 1

=

⇒

=

− +

−

= Σ+

−

28. Dans ce cas l'image intermédiaire doit se former dans le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par le centre C du miroir (où sont confondus les points nodaux et les plans antiprincipaux du miroir). Ainsi :

cm 100 R ' f 2 d

OS= ₂ = + =

Remarque. On peut aussi dire que l'objet doit se trouver dans le plan passant par le centre Γ du miroir équivalent, soit :

R ' f 2 ' d

f 1 R d

1 ' f 2 1 OC

1 O

1

2 2

+

=

⇒

− =

− +

−

= Γ+

−

Thermodynamique.

29. Le travail fourni par le piston est : ^F _a

(

_{2i 2f}

)

I

adV p V V

p

W=−

∫

= − ^{. Or, pa}

⁽

^V1+V2f

⁾

^{=RTf, d'où :}

(

_{2i 1}

)

_f

a V V RT

p

W= + −

30. Le premier principe de la thermodynamique et la première loi de Joule conduisent à écrire :

( )

_f

i 2 i 1 2 i a

2 f a i

f RT

V 1 V V p R W

V T p 1 T R

1 T

U R −



 



 +

=

=



 



 −

−

= γ

− −

= γ

∆

car les parois du système sont adiabatiques. On en déduit la température finale du gaz :



 



 γ

− +γ

=

i 2

1 i

2 f a

V 1 V R 1

V T p

31. Si le piston vient en butée sur la cloison alors, pour une même température finale :

i 2 lm i

f i 2

m 1

V 1V T 1

T V V

γ

− +γ

=

=

d'où le volume du compartiment (1) :

i 2

1m V

V =γ

32. Les parois du système étant adiabatiques il n'y a pas d'entropie échangée. L'entropie produite est égale à la variation d'entropie du gaz, soit :

− γ γ

= γ



 

 + 



 





−

= γ

∆

= ln

1 R V

ln V T R

ln T 1 S R S

i 2

m 1 i

p f

33. Dans ce cas le travail fourni par le piston se réduit à W' = paV2i. Un raisonnement identique à celui de la question 30 conduit à :

i 2 i a

2

f a W' p V

R V ' p 1 T ' R

U = =



 



 −

−

= γ

∆

d'où on déduit la température finale du gaz :

R V ' p

T_f =γ ^{a 2i}

34. On détermine la pression finale à partir de l'équation d'état d'un gaz parfait, soit :

1 i 2 a 1

f f V'

V p ' V

' ' RT

p = =γ

35. L'entropie créée est alors :















 

 γ

−

= γ



 

 + 



 





−

= γ

∆

=

− γ 1

i 2

1 i

2 1 i

p f V

' ln V 1 R V

' ln V T R

' ln T 1 ' R S ' S

Interaction tore/fil infini.

36. Les symétries du problème imposent B = B(r)eθ où r est la distance de l'axe du tore au point considéré. On applique le théorème d'Ampère sur un contour circulaire d'axe y'y et passant par le point P (x,y) du plan xOy à l'intérieur du tore. Il vient :

NI B x 2π =µ₀ d'où :

x 2 B ⁰NI

π

=µ

Notons que le champ magnétique est nul à l'extérieur du tore.

37. L'énergie électromagnétique de la bobine est définie par 

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

= µ dV

2 B

0 2

Eem . Il en résulte que :

2 2 0 2 / a

2 / a 2 / a

2 / a 2

0 2

2 0 2

em I

a 2

a ln 2 4 a

N x dz dx 4 d

I

N 

 





− ρ

+ ρ π

=µ

⌡ θ ⌠ π

=µ

+ ρ

−

− ρ

π

∫

∫

E

38. Si L est l'inductance propre de la bobine parcourue par le courant d'intensité I alors _em LI² 2

=1

E .

Compte tenu du résultat précédent on obtient :



 





− ρ

+ ρ π

=µ

a 2

a ln 2 2 a L N

0 2

39. Le fil rectiligne infini, confondu avec l'axe y'y, parcouru par le courant d'intensité I0, crée, à une distance x de l'axe, un champ magnétique orthoradial d'intensité

x 2 B₀ ⁰I⁰

π

=µ . Le flux de ce champ à travers la bobine torique est :

0 0 2 / a

2 / a 2 / a

2 / a 0 0 S

0 I

a 2

a ln 2 2

Na x

dz dx 2

dS NI B

N 

 





− ρ

+ ρ π

=µ

⌡

⌠ π

=µ

= ϕ

+ ρ

−

−

∫

ρ

∫∫

On en déduit l'inductance mutuelle entre les deux circuits :



 





− ρ

+ ρ π

=µ

= ϕ

a 2

a ln 2 2

Na

M I ⁰

0

40. Il apparaît, dans la bobine torique, une f.é.m. induite donnée par la loi de Faraday :

( ) ( ) ( ) ( )

dt t Mdi dt

t Ldi dt

t t d

e =− φ =− − ⁰

Compte tenu que l'ensemble bobine/ampèremètre présente une résistance totale R, la loi d'Ohm nous conduit alors à l'équation différentielle :

( ) ( )





 



ω −π ω

=

+Ri t MI cos t 2 dt

t

Ldi ₀

Pour déterminer l'intensité du courant induit en régime établi à la pulsation ω on peut utiliser le formalisme complexe. Il vient :

(

R+jLω

) ( )

it =−jMI₀ωexp

( )

jωt On en déduit :

( ) { } ( ) [

Rsin

( )

t L cos

( )

t

]

L R t MI i e t

i ₂ ⁰_{2 2} ω − ω ω

ω +

= ω ℜ

=