EPFLAlgèbre linéaire 1ère année 2007-2008
Corrigé de la série 2
Exercice 1.
1. Supposons que g◦f est injective, et montrons que f est injective : Soienta, a0 ∈A avec f(a) =f(a0). Alors, en composant parg, on a :g◦f(a) =g◦f(a0). Or,g◦f est injective donc a=a0. Par conséquent, f est injective.
2. Supposons que g◦f est surjective, et montrons queg est surjective : Soit c∈C. Comme g◦f est surjective, il existe a∈ A tel que g◦f(a) =c; posons b =f(a), alors g(b) =c. Par conséquent, g est surjective.
3. Un sens est simple (⇐) : Si f et g sont bijectives alors g ◦f est bijective en tant que composée d'applications bijectives. De même avec h◦g.
Pour l'implication directe(⇒): sig◦f est bijective alors en particulier elle est surjective et donc d'après le deuxième point g est surjective.
Sih◦g est bijective, elle est en particulier injective, doncg est injective (c'est le 1.). Par conséquent g est à la fois injective et surjective donc bijective.
Pour nir f = g−1 ◦(g ◦f) est bijective comme composée d'applications bijectives, de même pour h.
Exercice 2. Assumons que x+y = 0 et x+z = 0. En utilisant les axiomes pour les espaces vectoriels, nous trouvons : y=y+ 0 =y+ (x+z) = (y+x) +z = (x+y) +z= 0 +z=z. Exercice 3.
1. Non : √
2∈R et1∈Q mais √
2·1 = √ 26∈Q.
2. Oui : Nous avons vu au cours que(C,+,·)est un espace vectoriel complexe. Par cela, nous savons déjà que l'addition dénit une opération qui est commutative et associative et qui admet l'élément 0 ∈ C comme élément neutre. De plus, la multiplication de nombres complexes satisfait les axiomes suivants :
λ·(µ·z) = (λ·µ)·z, 1·z =z,
λ·(z1+z2) =λ·z1+λ·z2, (λ+µ)·z =λ·z+µ·z,
pour des nombres complexesλ, µ, z, z1, z2 quelconques. En particulier, toutes ces identités sont satisfaites si λ, µ∈R etz, z1, z2 ∈C. Donc la multiplication d'un nombre complexe par un réel dénit bien une multiplication par scalaire de R sur C qui soit compatible avec+ de la manière requise.
3. Non : L'ensemble en question n'est pas fermé sous l'addition ; il contient (1,0,0), mais non pas (1,0,0) + (1,0,0) = (2,0,0). L'ensemble n'est pas fermé sous la multiplication par scalaire non plus : Il contient (0,1,0), mais non pas 5·(0,1,0) = (0,5,0).
4. Oui : Soit E ={(x, y)∈R2|x=y}. La somme de deux éléments de E est contenue dans E : (x1, x1) + (x2, x2) = (x1 +x2, x1+x2) pour toutx1, x2 ∈R. Le produit scalaire d'un
1
élément de E par un nombre réel est dans E : α·(x, x) = (αx, αx) pour tout α ∈ R, x∈R. Or, nous savons déjà que(R2,+,·)est un espace vectoriel réel. Toutes les identités qui sont à vérier pour montrer que (E,+,·) l'est aussi sont alors valables, même plus généralement.
5. Non : L'ensemble en question ne possède pas d'éléments inverses pour l'addition. Il manque par exemple l'inverse −(1,2) = (−1,−2)de(1,2).
6. Oui : Baptisons l'ensemble en considération F. La somme f +g de deux application diérentiables f etg est diérentiable, de dérivationf0+g0. Si f, g ∈F, on a alors :
(f+g)0(0) = (f0+g0)(0) =f0(0) +g0(0) =f0(1) +g0(1) = (f0+g0)(1) = (f +g)0(1), et par conséquent f +g ∈ F. L'ensemble F est donc fermé sous l'addition. De manière similaire, nous montrons que α·f ∈F si α∈R et f ∈F. Or, nous savons du cours que (F(R,R),+,·) est un R-espace vectoriel. Les axiomes à vérier pour montrer que F est unR-espace vectoriel sont donc satisfaits, plus généralement que nécessaire.
Exercice 4.
1. Non : L'ensemble n'est pas fermé sous la multiplication par scalaire. Il contient1 +i, mais non pasi·(1 +i) =i−1.
2. Oui : Écrivons P pour l'ensemble des polynômes pairs à coëcients complexes. Soient p, q ∈ P. Alors ils sont de la forme p= Pk
i=1a2ix2i et q = Pl
j=1b2jx2j. Supposons sans restriction de la généralité quek ≤l. Alors on ap+q =Pk
i=1(a2i+b2i)x2i+Pl
j=k+1b2jx2j (rappelons que Pl
j=k+1· · · est dénie comme étant 0 si k+ 1 > l). Donc, p+q est un polynôme pair à coëcients complexes. La multiplication scalaire de p par λ ∈C donne le polynômeλ·p=Pk
i=1λa2ix2i. Il s'agit clairement d'un élément deP. Nous avons donc montré queP est fermé sous+et·. Nous savons que(P(C),+,·)est unC-espace vectoriel.
En concluant comme avant, nous trouvons que (P,+,·)est un C-espace vectoriel.
3. Non : Cet ensemble n'est pas fermé sous la multiplication par scalaire. Il contient le polynôme x+ 1, mais non pas i·(x+ 1), car i(0 + 1) = i6∈R.
4. Non : L'ensemble n'est par fermé sous+. Il contient(1,2,0),(0,2,1), mais non pas(1,4,1). Exercice 5.
1. Non. La propriété (α +β)· x = α · x+β · x, α, β ∈ R, x ∈ R2, n'est pas vériée : (1 + 1)·(1,1) = 2·(1,1) = (4,4), mais 1·(1,1) + 1·(1,1) = (1,1) + (1,1) = (2,2). Les autres propriétés sont toutes satisfaites. Cet exemple montre que la propriété qui est violée n'est pas une conséquence des autres axiomes.
2. Soient a, b et cdes éléments de R∗+, λ et µdes scalaires dans R.
On a : a⊕b =ab∈R∗+
élément neutre pour l'addition : a⊕1 = a inverse additif :a⊕a1 = 1
On a : λ⊗a=aλ =eλln(a) puisque a ∈R∗+. D'où λ⊗a >0et donc λ⊗a∈R∗+. On a (λ + µ) ⊗a = aλ+µ et (λ ⊗ a)⊕ (λ ⊗ a) = aλ ⊕ aµ = aλaµ = aλ+µ. D'où
(λ+µ)⊗a = (λ⊗a)⊕(λ⊗a).
On aλ⊗(a⊕b) =λ⊗(ab) = (ab)λ et(λ⊗a)⊕(λ⊗b) =aλ⊕bλ =aλbλ = (ab)λ. D'où λ⊗(a⊕b) = (λ⊗a)⊕(λ⊗b).
On aλ⊗(µ⊗a) = λ⊗aµ= (aµ)λ =aλµ et(λ·µ)⊗a=aλµ =aµλ. D'où λ⊗(µ⊗a) = (λ·µ)⊗a.
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