De la même façon, on obtientA2BA2=B etABA4=A3B

Université Mohammed V-Rabat Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Module : Algèbre 6 Série 1

Exercice 8

1) a) On aA∈G, alors◦(A)/|G|= 12. PuisqueA6=I,A²6=I,A³6=I, A⁴6=I et A⁶=I, alors◦(A) = 6. b) On aB²=−I=A³ ainsi◦(B) = 4.

c) On aB⁻¹=

0 1

−1 0

et A⁻¹=

ω⁻¹ 0

0 ω

. Alors,BAB⁻¹=A⁻¹.

2) En utilisant 1), on aBA=A⁻¹B et A⁻¹ =A⁵. Alors, ABA² =A(BA)A=A(A⁵B)A=BA=A⁵B. De la même façon, on obtientA²BA²=B etABA⁴=A³B.

3) On considèreH=< A²>le sous-groupe deGengendré parA². a) On|H|=◦(A²) = _2∧◦(A)^◦(A) = ⁶₂ = 3. Ainsi,[G:H] = ¹²₃ = 4.

b) Déterminons(G/H)g : On a H ={I, A², A⁴},Ig =IH =H, Ag =AH ={A, A³;A⁵}, Bg =BH = {B, BA²;BA⁴} etABg=ABH={AB, ABA²;ABA⁴}. Alors,(G/H)g ={H, AH, BH, ABH}.

De la même façon, on obtient(G/H)_d={H, HA, HB, HAB}avecHA={A, A³, A⁵},HB={B, A²B, A⁴B}

etHAB={AB, A³B, A⁵B}.

En utilisant 1) et 2), on a∀X ∈G, XH =HX ainsi H est distinguè dans G et par suiteG/H est un groupe.

c) On a AH 6= H et (AH) = A² = A² = A²H = H (car A² ∈ H) d'où ◦(AH) = 2. Cependant, BH 6= H, (BH)² = B²H = A³H 6= H ainsi ◦(BH) ∈ {1,/ 2} et comme ◦(BH) divise |G/H| = 4, alors◦(BH) = 4 =|G/H|doncG/H=< BH >. Alors,G/H est un groupe cyclique d'ordre4 et ainsi G/H'Z4.

Exercice 9 Voir le polycopié des contrôles (exercice 18).