SRC1 Examen maths
Examen de maths
Vous pouvez faire les exercices dans l’ordre que vous souhaitez. Les calculatrices sont autorisées.
Exercice 1 : un peu de trigonométrie (sur environ 8.5)
On rappelle les deux formules trigonométriques suivantes : pour toutaet bréels, cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)
sin(a+b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b)
1. (a) Tracez le cercle trigonométrique et montrez comment vous lisez les valeurs decos3π2 etsin3π2 . (b) Que valentcos5π2 ?cos7π2 ?
2. On souhaite étudier la fonctionf :x7→ −12cos(2x) + 2 cos(x) +32 (a) Quel est l’ensemble de définition def?
(b) Montrez quef est2π-périodique.
(c) Montrez quef est paire.
(d) Quelles sont les images de 0 et de π2 parf?
(e) Montrez que pour toutxréel,sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
(f) Calculez la dérivéef0 def et montrez que pour toutx f0(x) = (sinx)(2 cosx−2) (g) Etudiez le signe def0 sur[0;π].
(h) en déduire le tableau de variations de f sur [0;π]. Comment pourriez-vous en déduire les variations def sur toutR?
Exercice 2 : exponentielle, logarithme (sur environ 8.5)
1. Quelle est l’image de2 ln 3 parf :x7→e−x2? 2. On veut ici étudier la fonctionf :x7→ exe+1x .
(a) Quel est l’ensemble de définition def? (b) Calculez la dérivée def.
(c) quelle est la limite en−∞def? Et la limite en+∞? (d) Dressez le tableau de variation def.
(e) f est-elle une bijection deRdans]0; +∞[, deRdans]1; +∞[, deRdansR, ou deR+dansR? Justifiez.
(f) Trouvez l’expression de la fonction réciproque def, après avoir précisé sur quel intervalle elle est définie.
3. Quelle est la dérivée de la fonction logarithme, et sur que intervalle est définie cette dérivée ? Trouvez toutes les primitives de la fonctionF définie surR∗ parF(x) =−2x.
Exercice 3 : numération (sur environ 3)
1. Convertir (à la main, en montrant comment vous faites) 231 en binaire.
2. Quelle est le dernier chiffre de la représentation en binaire de 12374958376526 ?
3. Combien de chiffres faut-il pour représenter 1022 en binaire ? Justifiez, sans convertir 1022 en binaire.
