⎧⎪⎨⎪⎩ Nous éliminons l’inconnue

(1)

PanaMaths Avril 2002

Résoudre :

2 9 ( )

2 3 6 5

4 x y

x y z a

x y z

S

+ = −

+ + = −

⎧ ⎪

⎨ ⎪⎩

où a est un paramètre réel.

Analyse

Au regard de la première ligne, on peut commencer par éliminer l’inconnue z dans la deuxième ligne.

Résolution

( ) ( ) ( )

1 2 3

2 9 L

2 3 6 5 L

4 L

x y

x y z a

x y z

+ = −

+ + = −

⎧⎪ ⎨

⎪⎩

Nous éliminons l’inconnue z dans la deuxième ligne en effectuant l’opération

( ) ( )

L2 −3 L3

qui donne :

(

²^x−³^x

) (

+ ^y−³^y

)

=⁶â− +^{5 12}⇔ − −^x ²^y=⁶â+ ⇔ +⁷ ^x ²^y= − −⁶â ⁷ Le système initial est ainsi équivalent au système suivant :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2 3

3 3

2 9 L' L

2 6 7 L' L 3 L

4 L' L

x y

x y a

x y z

+ = − =

+ = − − = −

+ + = − =

⎧⎪ ⎨

⎪⎩

Les deux premières lignes, qui constituent un système de deux équations à deux inconnues admettent des solutions si, et seulement si, on a l’égalité des membres de droites :

6 7 9 6 2 1

a a a 3

− − = − ⇔ = ⇔ =

(2)

PanaMaths Avril 2002

On doit donc mener une discussions suivant que le paramètre a est, ou non, égal à 1 3. Æ 1^er cas :

Dans ce cas, les deux premières lignes sont incompatibles et le système n’admet pas de solution.

Æ 2^ème cas : 1 a=3

Le système initial est équivalent au système suivant :

2 9

4

x y

x y z

+ = −

⎧⎨ + + = −

⎩

On peut, par exemple, choisir d’exprimer les inconnues x et z en fonction de y.

La première ligne donne : x= −2y−9 .

La deuxième ligne donne alors : z= − − − ⇔ =x y 4 z 2y+ − − ⇔ = +9 y 4 z y 5 Le système (S) admet une infinité de solutions.

Ce sont les triplets de la forme :

(

^{− −}²^y ^{9 ;}^{y y}^; ⁺⁵

)

où y est un réel quelconque.

Résultat final

Si 1

a≠ 3, le système (S) n’admet pas de solution.

Si 1

a=3, le système (S) admet une infinité de solutions :

( )

{

⁻²^y⁻^{9 ;}^{y y}^; ⁺^{5 /}^y^∈^\

}

1 a≠ 3