⎧⎪⎨⎪⎩ Nous éliminons l’inconnue

PanaMaths Mars 2002

Résoudre :

3 5 2 3 ( )

2 3 2 7

7 4 3 11

x y z

x y z

x y z

S

+ + = −

− − − =

− + − =

⎧ ⎪

⎨ ⎪⎩

Analyse

Les coefficients de l’inconnues z dans la première et la deuxième ligne nous poussent à commencer par éliminer cette inconnue dans deux des trois lignes du système.

Résolution

Nous notons les lignes du système comme suit :

( ) ( ) ( )

1 2 3

3 5 2 3 L

2 3 2 7 L

7 4 3 11 L

x y z

x y z

x y z

+ + = −

− − − =

− + − =

⎧⎪ ⎨

⎪⎩

Nous éliminons l’inconnue z dans la première et la troisième ligne en effectuant les opérations suivantes sur les lignes :

( ) ( )

L1 + L2 qui donne :

(

^3x−2x

) (

^{+ 5y−3y}

)

^{= − ⇔ +7 3 x 2y=4}

( )

3

( )

2

L 3 L

−2 qui donne :

(

^{7 3}

)

^{4 9 11 21 4 17 1}

2 2 2 2

x x ⎛ y y⎞ x y

− + +⎜⎝ + ⎟⎠= − ⇔ − + =

Nous obtenons alors le nouveau système :

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 3

2 3 2 7 L' L

2 4 L'

17 1 L'

4 2 2

x y z

x y

x y

− − − = =

+ =

− + =

⎧ ⎪

⎨ ⎪⎩

PanaMaths Mars 2002

Afin de simplifier l’écriture, nous multiplions la dernière ligne par 2 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2

2 2

3 3

2 3 2 7 L'' L' L

2 4 L'' L'

8 17 1 L'' 2 L'

x y z

x y

x y

− − − = = =

+ = =

− + = =

⎧⎪ ⎨

⎪⎩

On peut enfin éliminer l’inconnue x dans la dernière ligne en effectuant l’opération suivante :

( ) ( )

L''3 +8 L''2 qui donne : 17y+16y= +1 32⇔33y=33

Il vient donc : y=1

( )

L''2 fournit alors : x= −2y+ = − + =4 2 4 2. Soit : x=2 Enfin, on obtient la valeur de l’inconnue z en utilisant

( )

L2 :

( ) ( ) ( )

1 1 1

2 3 2 7 2 3 7 4 3 7 14 7

2 2 2

x y z z x y

− − − = ⇔ = − − − = − − − = − = −

Soit : z= −7

L’unique solution du système (S) est le triplet :

(

^{2 ; 1 ;−7}

)

^.

Résultat final

L’unique solution du système (S) est le triplet :

(

^{2 ; 1 ;−7}

)

^.