Que peut-on dire de la suite ( E ( ) u

PanaMaths Janvier 2010

Soit ( ) u

n

une suite réelle convergente.

Que peut-on dire de la suite ( ^E ( ) ^u

ⁿ

) ^?

Analyse

La fonction partie entière confère aux entiers un rôle particulier puisqu’en ces points elle est discontinue. Cette remarque initiale permet de mener la discussion.

Résolution

Notons : lim _n

n u L

→+∞ = .

Nous allons distinguer deux situations suivant que L est ou non un entier.

1^er cas : L n’est pas entier (L∈\ ]\ ).

On a donc : ^E

( )

^{L < <L E}

( )

^{L +1.}

Soit alors 0

( ( ) ( ) )

1min E , E 1

2 L L L L

ε = − + − .

On a : ^E

( )

^L < − < < + <^{L ε L L ε E}

( )

^L +¹.

Pour tout ε strictement positif tel que ε ε≤ ₀, on pourra trouver un entier N tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à N, on a : un∈ −

[

L ε^,L+ε

]

. On a alors : ^E

( )

un =^E

( )

L et on en déduit dans ce cas :

( ( ) ) ( ) ( ( ) )

lim E _n E E lim _n

n u L n u

→+∞ = = →+∞

On pouvait également utiliser le théorème suivant du cours :

Si la suite

( )

un converge vers L et si une fonction f, définie sur un voisinage de L, est continue en L alors

(

f u

( )

n

)

converge vers ^{f L}

( )

^.

En tout point de \ ]\ , la fonction partie entière est continue et on peut donc appliquer le théorème.

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2^ème cas : L est entier (L∈]).

Puisque la suite

( )

un converge vers L, on sait qu’il existe un rang N (prendre ε=1) au-delà duquel tous les termes seront dans l’intervalle

]

^L−1;L+1

[

. La partie entière d’un tel terme vaudra donc L−1 ou L. Ainsi, contrairement au cas précédent, la suite peut ne pas converger, converger vers L−1 ou vers L.

A titre d’illustration, on peut considérer les trois suites :

( )

xn ,

( )

yn et

( )

zn définies par :

( )

¹

*, 3

n

n xn

n

∀ ∈` = + − , 1

n 3

y = −n et 1

n 3 z = +n

On a facilement : lim _n lim _n lim _n 3

n x n y n z

→+∞ = →+∞ = →+∞ = .

Pour autant, les termes de la suite

(

^E

( )

xn

)

valent alternativement 2 et 3 (en fait, les suites extraites

(

E

( )

x2_n

)

et

(

E

(

x2_n+1

) )

sont constantes et prennent comme valeurs respectives 3 et 2 qui sont les deux valeurs d’adhérence de la suite

(

^E

( )

xn

)

).

La suite

(

^E

( )

xn

)

est donc divergente.

A contrario, pour tout n entier naturel non nul, on a : yn∈

[ [

^{2 ; 3} et donc : ^E

( )

yn =². La suite

(

^E

( )

yn

)

converge et admet pour limite : 2 lim _n 1

n y

= →+∞ − .

Enfin, pour tout n entier naturel dans ^`−

{ }

^{0;1 , on a} zn∈

] [

^{3 ; 4} et donc ^E

( )

zn =³. La suite

(

^E

( )

zn

)

converge et admet pour limite : 3 lim _n

n z

= →+∞ .

Résultat final

Si

( )

un est une suite réelle convergeant vers L alors :

• Si L∈\ ]\ , la suite

(

^E

( )

xn

)

converge vers ^E

( )

^{L :} n^{lim E}

( ( )

uⁿ

)

^{E lim}

(

n

( )

uⁿ

)

→+∞ = →+∞ ;

• Si L∈], la suite

(

^E

( )

xn

)

peut diverger ou converger (vers L−1 ou vers L).