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Problème D1903. Echange de politesse

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Academic year: 2022

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Problème D1903. Echange de politesse

Louis ROGLIANO

Dans un triangleABCdontOest le centre du cercle circonscrit,on trace la hauteurAHissue du sommetA. Le cercle de diamètreAHcoupe respectivementABetACen deux pointsDetEautres queA. Démontrer que le pointOest situé sur la hauteur issue deAdans le triangleADE.

Les triangles rectanglesAHB etAHC ont comme hauteurs issues de l’angle droit HD etHE. Donc AH2 =AD×AB=AE×AC. L’ inversion de centreAde puissanceAH2 transforme la droite(DE)en le cercle circonscrit au triangleABCet laisse la droite(AO)invariante. L’ inversion conservant les angle, le fait que la droite(AO)est orthogonale au cercleABC entraine que les droites(AO)et(DE)sont orthogonales.

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