D1903. Échange de politesse

D1903. Échange de politesse

Dans un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit, on trace la hauteur AH issue du sommet A. Le cercle de diamètre AH coupe respectivement AB et AC en deux points D et E autres que A. Démontrer que le point O est situé sur la hauteur issue de A dans le triangle ADE.

On note P le centre du cercle circonscrit au triangle AED, K le pied de la hauteur issu de A sur DE. On appelle A l'angle en A du triangle ABC et

B 

l'angle en B du même triangle. L'angle en C s'écrit alors

−  A−  B

^.

On appelle



les deux angles près de la base du triangle isocèle AOB.

Dans le triangle isocèle BOC, les deux angles à la base sont donc égaux à

B  −

^.

Dans le dernier triangle isocèle AOC, les deux angles à la base sont donc égaux à

−  A−  B

^-  B− ⁼

−  A− 2 B 

^.

Au point A, on trouve que

A 

⁼



+

−  A− 2 B 

, d'où on en déduit que

=  A  B−  2

^.

En s'intéressant au triangle rectangle AEK, on trouve que l'angle en E est égal à



2 −

; soit en fait



2 −  A  B − 

2 =−  A−  B

, qui est égal à l'angle en C du triangle ABC. De ce fait, l'angle en D est donc égal à

B 

et le triangle ADE se trouve alors l'image du triangle ABC par une similitude indirecte

S

laissant A invariant et changeant B en D et C en E. Cette similitude est la composée d'une symétrie par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle A et d'une contraction de centre A (homothétie de rapport k<1).

Un cercle étant défini par trois de ses points, l'image du cercle circonscrit à ABC par

S

est le cercle passant par les trois images des points A, B et C ; c'est à dire qu'il s'agit du cercle circonscrit au triangle ADE qui par construction est celui de diamètre AH.

En particulier, les centres P et O sont liés puisqu'on passe de O à P par

S

^.

Par ailleurs, une similitude conservant les angles, l'image de la droite (AH) perpendiculaire à la droite (BC) se trouve être la droite (AK) perpendiculaire à la droite (DE), image de (BC) par

S

. et l'image de H se trouve être K.

P appartenant à la droite (AH), son image Q par

S

appartient à (AK), et par construction, c'est le double composé de O par

S °S

^.

Or, lorsqu'on applique cette double similitude, les deux symétries axiales se neutralisent et il ne reste qu'une homothétie de rapport k². Les point O, Q et A sont alignés, et comme la droite (AQ) est aussi la droite (AK) par image par

S

de (AP) –puisque P appartient à (AH)–, les points O, A et K sont alignés.

θ θ