A810 Les 9 qui multiplient par 10 [* à la main et avec calculette]
Solution
On pose ak 89,99...9 avec k fois la décimale 9 après la virgule et tan(ak)tk
On raisonne par récurrence. La calculette permet de vérifier que la propriété 10 t
t
1 k
k
est
vraie pour k = 2, 3, 4…On suppose qu’elle est vraie jusqu’au rang k.
Or tk tan(ak)tan(ak-10,00...09) avec k-1 décimales 0 dans 0,00…09°.
On pose uk1 tan(0,00..09). Comme 0,00..09° est un très petit angle, on a
l’approximation k 1 k .10 (k 1)
2 π 180 . π 9.10
u .
D’où k 1
1 - k 1 - k
1 - k 1 - k
k 10t
.u t 1
u
t t
. Comme uk-1 est négligeable devant tk-1, on est ramené à
l’expression k 1
1 - k 1 - k
1 -
k 10t
.u t 1
t
ou encore tk-1.uk-1=0,9 . D’où
k k 1
k 5,7295...10
π 18.10
t et tk 5,7295...10k1
Il ne reste plus qu’à calculer tk1 tan(ak1)tan(ak0,00...09), soit
k k
k k 1
k 1 t .u
u t t
.
Comme
180 . π 9.10
uk (k1) , il en résulte que tk.uk est à nouveau très proche de 0,9.
Comme uk est négligeable devant tk, on vérifie ainsi que k k
k k k 1
k 10t
0,9 1
t .u
t 1
t t
.
