H150 --6 nœuds GRAPHE Soit un graphe à six noeuds nommés 1,2,3,4,5 et 6 et douze arêtes désignées par les numéros des noeuds qu’elles ont pour extrémités : 12,13,16,23,24,25,26,34,35,36,45,56.
Donner une représentation de ce graphe de telle sorte que : - chaque noeud n°i ( i = 1 à 6) est le centre d’un cercle Ci,
- pour tout couple de noeuds (i,j) qui sont les extrémités de l’une des 12 arêtes ij définies supra, les cercles Ci et Cj sont tangents entre eux,
- mis à part les 12 points de tangence, les six cercles n’ont pas de point d’intersection.
Ce tableau précise le nombre d'arêtes issues de chaque nœud :
Nœud n° 1 2 3 4 5 6
Arêtes 3 5 5 3 4 4
Les nœuds 2 et 3 sont les plus 'fréquentés', les nœuds 1 et 4 sont les moins 'fréquentés'.
On place d'abord les deux cercles C2 et C3 tangents extérieurement en T, puis la chaîne de cercles C1, C6, C5, C4 , tous tangents à C2 et C3, tous centrés sur la même branche d'hyperbole H23 de foyers P2 et P3 (centres de C2 et C3 ) qui passe par T.
La construction avec Geogebra du centre d'un cercle tangent à 3 cercles déjà construits, utilise l'intersection de H23 avec un nouvel arc d'hyperbole.
Annexe : Trouver un graphe de même nature mais où les rayons des 6 cercles sont mesurés par des nombres entiers . Etant donnés trois cercles de rayons a, b, c, deux à deux tangents extérieurement, le théorème de Descartes permet le calcul des rayons des deux cercles tangents à ces trois cercles : 2(a -2 + b -2 + c -2 + d -2 ) = (1/a + 1/b + 1/c + 1/d )² . Si on choisit a = 1 , on trouve d = bc[ +2√(bc(b+c+1)) + bc + b + c]/[b²(c-1)² – 2bc(c+1) + c²]
de sorte que pour que d soit rationnel il suffit que bc(b+c+1) soit le carré d'un entier.
Par exemple b=2 et c=3 donne bc(b+c+1) = 6² . Dans le tableau suivant R2=3, R3=2, R1=1 donne R6= 6/23. Dans la ligne suivante, ces résultats sont multipliés par 23. Puis R2=69, R3=46, R6=6 donne R5=69/25. Dans la ligne suivante, ces résultats sont multipliés par 25.
Puis R2=1725, R3=1150, R5= 69 donne R4= 1150/29. Une dernière fois on multiplie par 29.
Les six cercles sont tracés ci-dessous en respectant les proportions :
R2 R3 R1 R6 R5 R4
mult. par 3 2 1 Six/23
23 69 46 23 6 69/25
25 1725 1150 575 150 69 1150/29
29 50025 33350 16675 4350 2001 1150
